创造新局面,体现课程标准理念和考核能力--2010年高考数学创新试题赏析_数学论文

创设新颖情境,体现课标理念,考查探究能力——2010年高考数学创新试题赏析,本文主要内容关键词为:情境论文,新颖论文,试题论文,理念论文,课标论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。

纵观2010年各省(市)高考数学试题,不难发现:各省(市)的高考数学试题,不仅充分体现了新课标的基本理念,逐步向新课程标准的要求过渡,而且创设多种新颖别致的数学问题情境,呈现出多个有创新意识的数学问题,以考查学生的探究能力和应用能力等。本文归纳其中的部分上佳试题并赏析如下,以供参考。

1 普及科学文化基础知识

1.1 推广科普基础知识

例1 (湖南理9)已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间,若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是______g。

简解 根据0.618法,第一次试点加入量为110+(210-110)×0.618=171.8或210-(210-110)×0.618=148.2,应填写171.8或148.2。

赏析 本题意在考查优选法中的0.618法。

1.2 推介高数基础知识

其中,曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是

A.①④ B.②③ C.②④D.③④

简解 明确了本质,就能顺利作答:存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)-g(x)→0。

对于①,当x>1时便不符合,所以①不存在;

对于②,肯定存在分渐近线,因为当x→∞时,f(x)-g(x)→0;

因此存在分渐近线。

故存在分渐近线的函数是②和④,应选C。

赏析 本题从高等数学中数列极限定义的角度出发,构造“分渐近线”函数,将一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分式等常用函数有机地融于一题,考查学生分析问题、解决问题的能力,考生要抓住本质“存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)-g(x)→0”作答,思维较灵活,是一道好题。

考查高等数学基础知识的,还有

例3 (四川理16)设S为复数集C的非空子集。若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集。下列命题:

①集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;

②若S为封闭集,则一定有0∈S;

③封闭集一定是无限集;

④若S为封闭集,则满足的任意集合T也是封闭集。

其中真命题是________(写出所有真命题的序号)

答案:①,②(过程略)。

2 创设新颖的问题情境

2.1 引入新符号,定义新概念

赏析 本题引入两个高等数学中常用的数学符号“max”、“min”,以分别表示最大、最小。并定义了新概念“倾斜度”,考查学生的信息迁移能力及分类讨论思想,特殊化方法等。

类似地,还有

例5 (湖南理8)用mi{a,b}表示a、b两数中的最小值。若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线对称,则t的值为

A.-2B.2C.-1D.1

赏析 本题通过引入新的符号定义,考查函数的图象、数形结合思想、创新意识与应用能力等,易知选D。

2.2 规定新运算,实施新法则

例6 (山东理12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq-np,下面说法错误的是

A.若a与b共线,则a⊙b=0;

B.a⊙b=b⊙a;

D.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b)。

简解 若a与b共线,则有a⊙b=mq-np=0,A正确;因为b⊙a=pn-qm,而a⊙b=mq-np,所以有a⊙b≠b⊙a,故选项B错误,故选B。

赏析 本题在平面向量的基础上,加以创新,较有新意,考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。

2.3 规定新“关系”,编拟新命题

例7 (上海文22)若实数x,y,m满足关系:|x-m<|y-m|,则称x比y接近m。

赏析 本题规定了两个实数之间的一种关系,叫做“接近”,据此编拟了很有新意的考题:以递进式设问,逐步增加难度,又以学生熟悉的二元均值不等式及三角函数为素材,给学生以-亲近之感!将绝对值不等式、均值不等式、三角函数的主要性质等恰如其分地网络于其中,为了减轻考生在表述上的困难;命题人将第(3)问设计为简答题(只要“写出”结论,不要求证明),可谓匠心独具!

3 体现新课程标准的理念

赏析 本题以绝对值为载体,定义平面内两点之间的“折线距离”,第(1)题考查绝对值不等式,第(2)题则以绝对值不等式中等号成立的条件为背景编拟,考查分类讨论思想,数学化方法,探究能力等,体现了高中新课程内容选择的基本原则之一的“选择性——为适应社会对多样化人才的需求,满足不同学生的发展需要,在保证每个学生达到共同基础的前提下,各学科分类别、分层次设计了多样的、可供不同发展潜能学生选择的课程内容,以满足学生对课程的不同需求”。因此选修4-5“不等式选讲”的内容编拟,而彰显出新课程学习内容的选择性与高考升学的选拔性的双重功效。

3.2 试题的开放性与求解的探究性

赏析 本题以椭圆、双曲线为题材,从定义、离心率、标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,到第(3)题的开放式设问,综合考查学生的观察、推理以及创造性分析问题、解决问题的能力等,充分体现了“重基础,考能力”的命题思路。

3.3 考查综合素质与数学潜能

赏析 本题的创新,继承了2007年北京压轴题的立意,在离散情况下处理集合的新背景,有一定的组合技巧,综合性较强,重在考查学生的综合素质与数学潜能。学生的瓶颈在于读题,大多数同学读到复杂的符号和定义时便头晕眼花,说明部分考生对数学语言的理解层面尚浅,不能将抽象的符合语言转化为直观的认识,学生的学科综合素质有待进一步提高,学生的学习潜能有待进一步挖掘。

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