“三角形内角和”教学研究报告，本文主要内容关键词为：内角论文,角形论文,研究报告论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“三角形的内角和”是人教版数学教材四年级下册第五单元“三角形”中的一个知识点，是在学习了“三角形的特性”和“三角形的分类”的基础上进行教学的.旧教材中只是研究了三角形的内角和，新教材则作了适当调整与扩充：例6为研究三角形的内角和，增加了例7研究四边形的内角和.例6研究三角形的内角和，重在探究过程与方法.学生先画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形并测量；发现三角形的内角和大约都是180°，然后用剪拼的方法验证三角形的内角和是180°.例7则在此基础上探究四边形的内角和，从特殊四边形（长方形和正方形）开始，再到一般的四边形，研究一般四边形的内角和时首先把“拼”的方法迁移过来，再介绍了分割的方法，渗透了转化的数学思想. 练习的编排也有很大的变化.旧教材中的思考题第16题如图1所示，新教材练习第4题如图2所示.与旧教材的练习题相比，这道题通过表格的形式让学生寻找规律，经历“猜想一验证一得出结论”的过程，渗透不完全归纳法.这也反映出编者的意图：三角形及多边形的内角和是多少度并不是最重要的，让学生经历数学知识的形成过程，掌握研究问题的方法才是数学学习的根与魂.
（一）教学实践中的问题 与旧教材相比，新教材中的三角形的内角和不仅内容增加了，难度也加大了，2个例题再加1个练习题，教学容量非常大.如何设计好这样一堂大容量的课？这节课要教给学生什么？ 根据课标的要求，通过对教材进行反复研读，我们从教与学两个维度进行了分析，以期通过研究这些问题，更好地进行教学. 1.教之困 （1）这节课的思维含量较高，动手操作活动较多，能否将三角形的内角和、四边形的内角和及多边形的内角和放在一节课进行教学？ （2）学生很容易想到用“量”的方法探究三角形的内角和，但很难想到用“拼”或“折”的方法，教师该如何引导与启发？ （3）教材中介绍了“量”和“拼”两种研究三角形内角和的方法，如果学生课前进行了预习，这节课的探究将失去它原本的价值；而如果一上课就有学生说“三角形的内角和是180°”，教师该如何应对，并且能够继续激发学生的探究欲望和积极性？ （4）新课标指出要帮助学生积累数学活动经验，我们认为本节课不仅要让学生掌握“三角形的内角和是180°”这个知识，更重要的是让他们通过探究掌握研究问题的方法，形成解决实际问题的能力，积累数学活动经验.那么教学中该如何有效地培养学生的研究能力呢？ 2.学之难 在课前调查时，我们发现学生学习这一内容时主要存在以下几个方面的问题. （1）大部分学生课前就已经知道特殊三角形（三角尺）的内角和是180°：90°+30°+60°=180°或90°+45°+45°=180°.又测量了几个三角形的内角和都非常接近180°，就比较武断地得出“三角形的内角和是180°”，他们难以想到更加科学的证明方法. （2）有些孩子不相信所有的三角形的内角和都是180°，因为教师说“量”有误差，就算是“拼”也有缝隙，更何况操作验证的三角形个数又有限，质疑的声音让教师非常尴尬. （3）为了让学生经历探究的过程，教学的时间都花在得出“三角形的内角和是180°”这个结论上，没有时间练习，更没有时间拓展到对四边形、多边形的内角和的探究.如此一来，学生很难体会到三角形内角和的真正作用与价值. （二）对问题的分析 （1）培养学生的研究能力和问题意识，教学时不仅要把重点放在对三角形的内角和的探究上，还要将“猜想一验证一得出结论”这样的研究方法渗透给学生，让学生真正成为数学知识的研究者、发现者.因此研究时要给学生足够的时间，促使学生深入思考，使他们体验到数学研究的快乐. （2）学生如果难以想到“拼”或“折”的方法，教师可以这样引导：“刚才我们用的测量方法是把三个角的度数量出来再合并，会出现误差，那我们可不可以不测量，直接把三角形的三个角合并在一起呢？”相信学生一定会跃跃欲试去“拼”了. （3）在经历“量”与“拼”的方法之后，学生如果出现质疑，教师可以借助长方形进行简单的演绎推理证明：把一个长方形分成两个完全相同的直角三角形，每个直角三角形的内角和是180°，任意的锐角三角形或钝角三角形沿着它的高剪开都能变成两个直角三角形，两个直角三角形的内角和是360°，剪开之后比原来的三角形增加了两个直角，所以原来三角形的内角和就为：360°-180°=180°.这样不仅向学生渗透了不完全归纳法，还能培养初步的演绎推理能力. （4）如果本节课只得出了“三角形的内角和是180°”这个结论，教师可以把探究四边形、五边形及多边形的内角和布置为家庭作业，让学生带着问题走出课堂，使课堂内外完美结合. 根据对教学中问题的分析，我们对教材进行了创造性的处理，本节课重点探究三角形的内角和，让学生经历探究过程，掌握研究问题的方法，渗透不完全归纳法、转化等数学思想与方法.有了这样的基础，学生探究四边形、五边形以及多边形的内角和就如同有本之木了. 片段一：激趣引入新课，利用特殊的三角形得到“三角形内角和是180°”这一猜想. 1.提出问题 师：孩子们，前面我们学习了三角形的分类，知道了任意的三角形中至少有2个锐角，最多只能有1个直角或钝角.你们知道为什么不能有2个直角或钝角吗？其实这和我们今天要学习的三角形的内角和有关系.（板书课题） 2.认识三角形内角 师：看到今天的课题，你们有什么想问的吗？
：什么是三角形的内角？
：三角形有几个内角？
：什么是三角形的内角和？
：三角形的内角和是多少？
：三角形的内角和有什么作用？ 师：同学们真善于思考，提了这么多问题，我们一个一个来解决吧！
：三角形的三个角就叫作三角形的内角.
：三个内角加起来的度数和就叫作三角形的内角和. 师：（多媒体课件演示三条线段围成三角形的过程）三条线段围成三角形后，在三角形内形成了三个角，我们把这三个角叫作三角形的内角.三角形的内角和就是三个内角的度数之和.今天我们一起研究三角形的内角和. 3.得到猜想 师：（播放课件）熟悉这副三角板吗？请拿出形状与这块一样的三角板，同桌互相指一指各个角的度数. 生：90°、60°、30°.（课件演示：由三角板抽象出三角形） 师：这个三角形的内角和是多少度？ 生：90°+60°+30°=180°. 师：（课件演示另一块三角板各角的度数）它的内角和是多少度呢？ 生：90°+45°+45°=180°. 师：从刚才两个三角形内角和的计算中，你发现了什么？
：这两个三角形的内角和都是180°.
：这两个三角形都是直角三角形，并且是特殊的三角形.
：我猜想，所有的三角形的内和角可能都是180°. 设计意图：“为什么一个三角形内不能有2个直角或钝角？”教师利用学生的认知冲突，激发学生的探究欲望.学生从熟悉的三角尺入手，经历从特殊到一般的思维过程，得出“三角形内角和是180°”这一猜想. 片段二：验证“三角形内角和是180°”这一猜想，并渗透转化的数学思想. 师：我们知道三角形有各种形状，大小也不一，是不是所有三角形的内角和都是180°呢？这还只是一个猜想，需要进行验证.现在请大家想办法验证. 学生分组探究，教师参与指导.有的小组拿出量角器量每个角的度数，并记录下来；有的小组把三个角撕下来拼在一起；也有的小组在想办法折……学生动手验证完后汇报得出的结果. 师：哪个组汇报一下你们是用什么方法验证的，得到三角形的内角和是多少度？
：我们组用的是测量的方法，（板书：测量）通过测量发现，有的三角形内角和是180°，有的是178°，而有的是185°. 师小结：直接量的方法挺好，虽然测量有误差，但我们发现三角形的内角和很接近180°，那究竟是不是180°呢？谁还有别的方法？
：我们组采用的是剪拼的方法，分别剪下三角形的三个角，再将它们拼在一起，发现拼成了一个平角，也就是三角形的内角和是180°.（课件演示剪拼过程，如图3所示）
师小结：能想到这个方法，真不简单！拼成的图形看起来像平角，到底是不是平角，我们一起来试试看. 教师和学生一起动手剪、拼. 师：把三角形的三个内角拼到一起组成了平角，但在操作的过程中也会有误差，比如角与角拼接时会有缝隙.谁还有不同的方法吗？
：我们组采用的是折拼的方法.分别将三角形的三个角朝三角形的一边折，使三个角折拼到一起，成为一个平角.（课件演示折拼过程，如图4所示）
师小结：我们要研究三角形的内角和，就是想办法把三角形的三个内角合并到一起.刚才的剪拼与折拼都是把三个内角拼到一起组成平角，得出了“三角形的内角和是180°”的结论.而把三个内角拼在一起变成一个平角的过程，运用了非常重要的数学思想方法——转化.这是数学上经常用到的方法，是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法. 师：大家采用的这三种方法都不错，但在操作的过程中会有误差，都不够严谨.你还能想出更科学严谨的证明方法吗？ 学生一时难以想到，都沉默不语. 师：老师这里有一种方法：借助长方形，把一个长方形沿对角线分成两个完全相同的直角三角形（如图5所示）.你认为这种方法好不好？
学生计算长方形的内角和为90°×4=360°，进而再计算出其中一个三角形的内角和为360°÷2=180°. 师：大家都得出了一样的结论.我们一起看看是不是这么回事.（演示课件：由两个完全相同的直角三角形拼成的长方形内角和等于360°，那么其中一个直角三角形的内角和等于180°）那如果是锐角三角形、钝角三角形，又该怎样证明呢？ 学生先说，教师再课件演示（如图6所示）.
师小结：这种方法避免了在测量及剪拼过程中由于操作不当而出现的误差，能严谨地证明三角形的内角和是180°.我们进入中学以后，还将学习一种更加科学严谨的证明方法，大家敬请期待吧！ 设计意图：学生通过小组合作的方式学到方法，分享经验，更重要的是领悟到研究问题的方法.就学生的发展而言，探究的过程比获得的结论更有价值.学生用的方法非常多，这些方法的思维水平不应该是平行的：直接测量的方法是学生利用已有的知识，测量出每个角的度数后再求和；剪拼和折拼这两种方法都是将三个内角拼成一个平角；而演绎推理，即把两个完全相同的直角三角形拼成长方形，或把长方形沿对角线分成两个完全相同的直角三角形，这是一种更高级的思维方法，更加严谨与科学.前两种方法是不完全归纳法，能使我们确定研究的范围在180°左右.最后一种方法具有演绎推理的色彩，把一个长方形沿对角线分成两个完全相同的直角三角形后，因为两个直角三角形的内角和是原来长方形的四个内角之和360°，所以一个直角三角形的内角和就是360°÷2=180°.而任意的锐角三角形或钝角三角形都能沿着高剪开，变成两个直角三角形，从而证明锐角三角形或钝角三角形的内角和是180°.这种方法从科学证明的角度阐述了三角形的内角和，具有严密性和精确性.这样一来，学生的思维经历了从直观到抽象、从低级到高级的过程，体验了数学的严谨性. 4.验证猜想 师：现在我们已经研究了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三类三角形的内角和都是180°，那就可以说，所有的三角形的内角和都是180°.这个结论和课前知道的（或猜的）一样吗？ 设计意图：在一些学生知道三角形内角和是180°的情况下，引导学生知其然更要知其所以然.这既是研究问题的科学态度，更是一种学习数学的精神.有了这样的经历，学生在以后面对新知识或猜想时一定会想办法去验证，让自己成为一名研究者、发现者. 5.解释课前问题 师：现在你能用内角和的知识解释“为什么在三角形中不能有2个直角或钝角”吗？ 生：因为所有三角形的内角和都是180°，如果一个三角形中有2个直角或2个钝角，内和角就不止180°了. 6.小结学习方法 师：我们刚才是怎样得到“三角形的内角和是180°”这一结论的？ 生：先提出猜想，再想办法验证，最后才能得出结论. 师：其实，数学上任何一项伟大的发现都经历着这样一个复杂的探究过程，希望大家在以后的学习中大胆猜想，多动手实践，你也能够有伟大的成就！ 7.布置作业 师：今天我们学习了三角形的内角和，请大家利用今天所学的知识与方法完成下页的研究表格，明天的数学课我们一起交流.
设计意图：将探究四边形、五边形、…、n边形的内角和作为家庭作业，既能够帮助学生巩固本节课所学的知识与方法，又能够使学生的问题意识与研究能力得到进一步的培养. 本课我们既遵循了新课标的要求，又创造性地处理教材，让学生在对新知的探究过程中掌握研究问题的方法，渗透不完全归纳法、演绎推理、转化等数学思想与方法，为学生今后研究类似问题提供了研究思路和方法.在实践的过程中，我们进行了反思，既有研究的收获，也产生了新问题. 1.研究中的收获 （1）实践操作中激发理性思考 荀子的《儒效篇》中有一句名言：“不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若知之，知之不若行之；学至于行之而止矣.”在数学教学中，动手实践是非常有效的学习方式之一，教师要鼓励学生通过“做数学”的方式达到对问题的理解.本次教学在验证三角形内角和的环节设计了如下两个层次：一是用量、剪、拼、折的方法验证；二是用演绎推理的方法验证.学生的操作活动存在误差，没能完全实现对“三角形的内角和是180°”的精确感知，似乎经历的是“不够严密的数学”.但正是由于误差的产生，学生才从另一个角度体会了数学是一门严谨的学科，从而产生对更严密的证明法的好奇和渴望，萌生进一步探究的欲望.这样设计有利于学生对知识的正迁移. （2）理性思考中实现知识的迁移 经历了“猜想—验证—得出结论”的过程，学生掌握了解决问题的方法，并通过把任意一个三角形分成两个直角三角形，推理出三角形的内角和是180°，培养了严谨的思维. 对于四边形、五边形、…、n边形的内角和这一问题，学生可以将本节课所学的演绎推理的方法很自然地进行迁移.证明四边形的内角和是360°，就是把任意一个四边形分成2个三角形，每一个三角形的内角和是180°，四边形的内角和就是2个180°，即360°.依此类推，学生可以得到n边形的内角和是（n-2）×180°.这样，学生通过理性思考，在体验研究的过程中使知识掌握得更牢固. 2.新问题的产生 不管学生是选择测量出每个内角的度数后再相加，还是想办法将三个内角拼在一起看是不是一个平角，都会出现误差.如何看待操作验证过程中出现的误差呢？诚然，忽略误差显然不是一种科学的态度，误差过大也会造成学生对结论正确性的质疑，使验证所期望达到的效果受到影响.因此，尽可能帮助学生掌握科学有效的操作方法，便成为在学生验证时教师需要关注的问题.比如，教师在组织教学时，可要求学生先标注出三角形的三个内角，同桌两人先后多次测量同一个三角形的内角度数再相加.这样能够有效地减少操作验证产生的误差.正确的操作方法有助于学生深化对三角形的认识，伴随活动而产生的成功体验，会给学生带来对这种研究方法的认同，并主动地在今后的实践中加以运用. 今后的学习中还有哪些知识的研究可以经历这样的过程？这是值得教师思考的.通过对三角形内角和的研究，教师更应宏观地研读教材，在今后的教学中注意收集和整理相关的知识，使研究方法进一步完善，对数学思想方法的运用更加恰当、到位.抓住数学知识的本质，将学生的思维引向深处，让他们学会数学地思考，从而感受到数学的力量，是我们进一步努力的目标.
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