极限思想在解题中的应用，本文主要内容关键词为：极限论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
极限思想是一种基本而又重要的数学思想，通过考察问题的极端状态，灵活地借助极限思想解题，往往可以避开抽象及复杂运算，探索解题思路，优化解题过程，降低解题难度.
一、简化运算过程
在解决数学问题的过程中，尽量减少计算量则成为能否迅速、准确地解题的关键.若根据题目特点，着眼于问题的极限状态，灵活地运用极限思想解题就成为减少运算量的一条重要途径.
例1 已知数列｛a[，n]｝中，a[，1]=1，且对于任意自然数n，总有a[，n+1]=（a[，n]/a[，n]-2），是否存在实数a，b，使得a[，n]=a-b（-（2/3））[n]对于任意自然数，n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.
分析 解此题的一般思路是：按照“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维原则.先从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证，这样解题远不如用极限思想优越.因为本题有它的特殊性.借用极限考虑，不难发现，如果这样的a，b存在的话，则由a[，n]=a-b（-（2/3））[n]，可得
=a，对a[，n+1]=（a[，n]/a[，n]-2）两边取极限，得a=（a/a-2），解得a=0或a=3.
若a=0，则数列｛a[，n]｝应该是以1为首项，以（2/3）为公比的等比数列，显然，不可能对任意的正整数n都满足a[，n+1]=（a[，n]/a[，n]-2）；若a=3，将a[，1]=1代入a[，n]=a-b（-（2/3））[n]，可求得b=-3，此时，a[，n]=3+3×（-（2/3））[n]，验证a[，2]即可得出矛盾.
所以，这样的实数a，b不存在.
二、优化解题方案
有些数学问题，用常规的解题方法比较抽象难解，若通过分解有关对象在变化过程中的极限状态，则可找到合理的解决问题的途径和最优解法.
例2 已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是P（-1，1）和Q（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ的延长线相交，求m的取值范围.
图1 例2图
解析 若m=0，则直线l：x=0与线段PQ相交，不合题意.
故m≠0，此时l的方程为y=-（1/m）x-1.
易知直线l恒过定点M（0，-1）.不妨先考虑直线l的极限情形：由于直线l必须与有向线段PQ的延长线相交，如图1，l的斜率必须小于M，Q两点所在直线l[，1]的斜率k[，1]=（3/2）；当l离开l[，1]的位置绕点M顺时针旋转时，则l与PQ的延长线的交点N逐渐远离Q点.当交点N与Q的距离趋向无穷大时，l逐渐趋向l[，2]（l[，2]∥PO），这时l的斜率趋向PQ的斜率k[，2]=（1/3），故l应夹在l[，1]与l[，2]之间，则k[，2]＜-（1/m）＜k[，1]，即（1/3）＜-（1/m）＜（3/2）.
故-3＜m＜-（2/3）为所求.
例3 在坐标平面上，是否存一个含有无穷多条直线l[，1]，l[，2]，…，l[，n]，…的直线族，它满足：（1）点（1，1）∈l[，n]；（2）k[，n+1]=a[，n]-b[，n]，其中k[，n+1]是l[，n+1]的斜率，a[，n]和b[，n]分别表示直线l[，n]在x轴和y轴上截距.n=1，2，…；（3）k[，n]·k[，n+1]≥0，n=1，2，….请证明你的结论.
解 假设存在满足题设条件的直线族，则由（1）知l[，n]的方程为：y-1=k[，n]（x-1）.
从而a[，n]=1-（1/k[，n]），b[，n]=1-k[，n]（k[，n]≠0）.
由条件（3）知k[，n]·k[，n+1]≥0，由条件（2），k[，n+1]=a[，n]-b[，n]=k[，n]-（1/k[，n]），∴k[，n+1]-k[，n]=-（1/k[，n]）.
当k[，n]＞0时，数列｛a[，n]｝递减且有下界0；当k[，n]＜0时，数列｛a[，n]｝递增且有上界0，从而可设
矛盾.
故符合题设条件的直线族不存在.
三、探索解题思路
对于有些解题思路不明确的数学问题，若用极限思想对条件的某种极限状态进行考察，探索出解题方向或转化途径，然后再通过一定手段即可通向解决原题之路.
例4 给定抛物线y[2]=2px（p＞0），证明在x轴正向上必存在一点M，使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有（1/MP[2]）+（1/MQ[2]）为定值.
分析 假设点M确实存在，因为过这个M点的任一条弦PQ都有（1/MP[2]）+（1/MQ[2]）为定值，所以对过M的一条特殊的弦——垂直于x轴的弦P[，0]Q[，0]（如图2）也应该有（1/MP[2]）+（1/MQ[2]）为定值.设M（x[，0]，0），P[，0]（x[，0]，y[，0]），Q[，0]（x[，0]，-y[，0]），于是有（1/MP[2]）+（1/MQ[2]）=（1/（y[，0][2]）+（1/（y[，0][2]））=（2/（y[，0][2]））=（1/（px[，0]），从这个式子还看不出点M是哪个定点.
图2 例4图
下面再考察弦的一个极限情形——x轴的正半轴，它也过M点，它的一个端点是原点O，另一个端点可以看成是跑到无穷远处的极限点P[，∞].此时虽不能再称它是抛物线的弦了，它是弦的一个极限情形.此时显然有｜MP[，∞]｜→+∞，因此有（1/MQ[2]）+（1/（Mp[，∞][2]））→（1/（x[，0][2]））.它也应该是一个定值，且应有（1/（px[，0]）=（1/（x[，0][2]）），由此可得x[，0]=p.
于是可以猜想定点M（p，0）.剩下来只需验证过M（p，0）的任一弦PQ均有（1/MP[2]）+（1/MQ[2]）=（1/p[2]）（定值）.
解 设过M（p，0）的直线参数方程为：
（1/9）+（1/25）+…+（1/（2n+1）[2]）＜（n/4（n+1））
（2）
证明：①当n=1时，（n/4（n+1））=（1/8）＞（1/9），不等式（2）成立，
②设n=k（k》1）时，不等式（2）成立，即（1/9）+（1/25）+…+（1/（2k+1）[2]）＜（k/4（k+1））
那么，当n=k+1时，
（1/9）+（1/25）+…+（1/（2k+1）[2]）+（1/（2k+3）[2]）
＜（k/4（k+1）[2]）+（1/（2k+3）[2]）
＜（1/4）·（k/k+1）+（1/（2k+2）（2k+4））
=（（k+1）/4（k+2）），
即当n=k+1时，不等式（2）成立，
（1/9）+（1/25）+…+（1/（2k+1）[2]）＜（n/4（n+1））＜（1/4）.
评注 如果c是一个常数，用数学归纳法证明f（n）＜c（或f（n）＜c）一类不等式时，从k到（k+1）往往思路不通.此时利用
（n）=c且g（n）＜c（或g（n）＞c）把命题强化，即把c换成g（n）.由于假设也随之加强，这样利用极限思想强化的命题更容易用数学归纳法证明.