合理安排教学过程，提高类比推理教学的效益，本文主要内容关键词为：教学过程论文,合理安排论文,效益论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）指出“类比推理是创新思维的基础，在科学发展中有重要作用，类比推理训练是培养创新思维的有效途径.”因此，新课程新设“推理与证明”一章.
人教A版教材先安排两个引例，并从中概括出类比推理的含义，再安排了两个例子，一个是代数的例子（比较简单），另一个是几何的例子（未强调证明方法上的类比）.本着既尊重教材，又要从学生实际出发，创造性地使用教材的理念，笔者对教材进行了二度开发.本文就此做一介绍，以期抛砖引玉.
一、合理引出类比推理的概念
高中类比推理教学安排在高二下学期，但由于初高中数学已将类比推理渗透到教材的很多章节，学生已经在自觉不自觉地应用着，因此在类比推理概念的引入过程中，教师不必列举太多的例子，可直接从学生已学过的数学实例出发，唤起学生的经验，找到知识生长点的主脉.而教材在引入过程中安排了两个引例，一是科学家将火星与地球作类比，二是将空间的球与平面上的圆作类比.为了更符合学生的认知规律，使得教学的系统性更强，将两个引例作了一定的调整.
在具体教学中，采用学生熟悉的向量与数的类比的一个例题，引出类比推理的概念及注意点.
引例 下列实数的乘积运算与向量的数量积运算类比中不成立的是（）.
（A）a·b=b·a类比a·b=b ·a
（B）a（b +c）=ab +ac类比a·（b+c）=a·b+a·c
（D）（ab）c=a（bc）类比（a·b）·c=a·（b·c）
解析：通过上述例题的练习，一是复习了向量数量积的某些性质，二是使学生了解了向量数量积与实数的乘积之间的联系与区别，明确了类比推理所得的结论不一定是可靠的.再让学生自学教材中的第一个引例，使学生知道类比推理不仅在数学中应用广泛，而且在科学家的研究与发明中也常常用到.接着得出类比推理的定义：若两类对象具有某些类似特征，则由一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.最后教师指出：类比推理是“先比后推”；“比”是类比推理的基础，“比”既要比相同点，又要比不同点；“推”是类推、猜想，是类比推理的关键.在数学试题中，常常要我们写出类比推理后的正确结论，要得到正确结论，不仅要注意形式上的类比，而且要注意证明方法上的类比.
二、合理引导代数运算及其性质的类比
在引出类比推理的概念后，教师指出等差数列与等比数列之间，不论是定义、通项公式，还是性质都具有类似特征，请学生填写表1.
学生完成上表后，教师提出：在等差数列类比到等比数列时，你能从运算符号的变化中，发现类比的本质及规律吗？要求学习团队展开讨论，并与学生共同归纳得出类比的本质及规律是：等差数列公式中的“和、差”，类比到等比数列中变为“乘、除”，等差数列公式中的“乘、除”，类比到等比数列中变为“乘方、开方”，即相应提高了“一级运算”.为了让学生更好地掌握上述类比的本质及规律，给出如下两个例题逐一进行练习、讲解.
证明方法上的类比，注意引导学生利用数列前n项和的定义加以证明.
为了让学生更好地掌握其他代数运算及其性质类比的本质及规律，再给出如下解析几何中的一组题组，逐一进行练习、讲解.
证明方法上的类比，圆的切线方程的证明有多种方法.方法1：根据圆的切线垂直于过切点的半径，求切线的斜率k；方法2：设切线方程，将其代入圆方程中，由判别式Δ=0，求切线的斜率k；方法3：利用导数，求切线的斜率k.其中方法2、方法3才是求圆锥曲线切线方程的通性通法.这里可就方法3讲解求圆的切线方程的证明过程，再让学生自行证明其他圆锥曲线对应的切线方程.
三、合理引导几何图形及其性质的类比
在学习完代数运算及其性质的类比推理后，请学生填写表2.（人教A版选修1-2第25页探究内容）.
让学生填完上述表格后，教师指出：由于平面图形是二维空间的图形，而立体图形是三维空间的图形，因此，在从平面几何类比到立体几何的过程中，既要注意图形的变化，又要注意性质的变化.据此师生共同填写表3.
为了让学生掌握上述平面几何到立体几何类比的一般规律，给出下列题组，逐一进行练习、讲解.
例4 由平面内三角形的下列性质类比出空间四面体的有关性质.
（1）三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；
证明方法上的类比，三角形的面积公式可将三角形分成三个小三角形面积之和来证明；而四面体的体积公式可将四面体分成四个小三棱锥体积之和来证明.
例5 （人教A版选修1-2第26页例4）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
解析：图形与形式上的类比是：直角三角形→三个面两两垂直的四面体，斜边→斜面，直角边→直角面，边长→面积，两个数的平方和→三个数的平方和.因而得出的结论是：三个面两两垂直的四面体“斜面”面积的平方等于三个“直角面”面积的平方和.
证明方法上的类比，勾股定理及上述四面体的结论都可利用面积来证明.
例6 在△ABC中，∠C=90°，BC =a，AC =b，则其外接圆半径
.
运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R=（ ）.
解析：形式上的类比，学生容易错误的认为是：分子中根号内的“两个数的平方和”→“三个数的平方和”，分母中的2→3，因此选B.要说明选B是错误的，就要掌握证明方法上的类比.
在图1中，Rt△ABC的外接圆就是以CA、CB为邻边的长方形的外接圆；在图2中，三棱锥的外接球是以DP、DF、DE为棱的长方体的外接球.
总之，在整个类比推理教学过程中，主要是以问题链的方式展开，以学生活动为主，教师启发为辅.在问题链的设置过程中，注意根据教材中的例题、练习题、习题和复习参考题精心选编、改编或创编有层次的题组练习.在解决问题的过程中，不仅解决了类比推理在叙述方式或数学结构等外层表象的东西，而且注意对数学结论的推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系.可以说这种设计不仅符合数学的发展规律，以及人的认知规律，而且符合高考对能力考查的要求，自然教学效益是高的.