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读了楚白[2005]后，我认真阅读了鞠实儿先生研究三值命题演算SLO的论文：鞠实儿[1997]和鞠实儿等[2001 & 2003](以下分别简记为《文2》、《文3》和《文4》①)。现在写出自己的一些看法。不当之处，请读者指正，也由衷盼望鞠实儿先生不吝赐教。
《文2》中建立的SLO与“后继论文”《文3》中进一步讨论的SLO，只维持了名称的同一性，不具备实质的同一性，因为前者是后者的真子系统。为了消除歧义，我擅自决定改用SLO(Ⅰ)和SLO(Ⅱ)来称呼这两个非等价系统(详见下页表1)。事实上，甚至SLO(Ⅰ)的语言也跟SLO(Ⅱ)的语言不尽相同。但是，这两种语言的表达力偏偏相同。这样一来，在谈到这两个系统的(语言的)语义学时就不必加以区分，可以笼统地称作SLO-语义学。我想从这种貌似新奇的语义学谈起。暂且约定把变号
一 从亨德利定理看SLO-语义学
SLO(Ⅰ)与SLO(Ⅱ)的初始联结词集都包含乌卡谢维奇蕴涵号→，又都包含一个毫无认知价值的不像否定号的否定号～。在SLO-语义学中，→和～的语义解释由下面左侧的三值矩阵(也叫真值表)给出：
如所周知，右侧的三值矩阵给出乌卡谢维奇否定号
的语义解释。～和的差异是极其明显的。然而，从联结词的表达力来看，它们的差异究竟在哪里呢？根据宏逵师的提示，我从多值逻辑学者亨德利写于1975年的文章[Hendry 1980]找到了想要的答案。
让我们把t和f叫做古典真值，把u叫做非古典真值。按亨德利的用语，一个三值函数f叫做纯粹的，如果每当f的主目取古典真值时f取古典真值。因此，例如说，乌卡谢维奇的蕴涵号→与否定号表达纯粹函数，而～表达一非纯粹函数。有趣的是，亨德利那时已经建立了一个很一般的结果：
二 SLO(Ⅰ)研究中的主要错误
大概鞠实儿先生一开始并不关心联结词的可定义性，宁愿采用较多的初始联结词。结果，在SLO(Ⅰ)的语言中总共有6个初始联结词(常号u可以看成零元联结词)。毫不奇怪，他要模仿Hilbert-Bernays的二值命题演算P[，H]的格式(参看Church[1956]，页140—141)来设计SLO(Ⅰ)的公理系统，给每个初始联结词规定一组公理模式。(大致如此，但明明遗漏了有关等值号引入和消去的公理模式，如像(A
B)→(A→B)等等。由于这类疏忽，SLO(Ⅰ)一开始就呈现不完全的朕兆。)
《文2》的内容非常少，除了给SLO(Ⅰ)勾画了例行公事的一致性证明与健全性证明的轮廓，几乎没有讲别的。然而，文章末尾有一个大胆的预告：“在后继论文中，我们将证明SLO的完全性定理和演绎定理”。我们来证明，这个预告不可能实现。
1.SLO(Ⅰ)没有演绎定理
仿《文2》，用记号├表示演算SLO(Ⅰ)中的可演绎性。按惯用语，SLO(Ⅰ)的演绎定理是指以下元定理：
让我们姑且假定演绎定理对SLO(Ⅰ)成立。显而易见，根据分离规则，从p→(p→q)和p可演绎出q。因此，
p→(p→q)，p├q
应用两次演绎定理，由此得出
├(p→(p→q))→(p→q)
这意味着吸收律是SLO(Ⅰ)的定理。SLO(Ⅰ)的健全性定理告诉我们，SLO(Ⅰ)的定理永远是一SLO-重言式，在任何真值指派下均取值t。可是，给p指派u，给q指派f，吸收律(p→(p→q))→(p→q)会取值u。下面的真值计算表明了这一点：
(u→(u→f))→(u→f)=(u→u)→u=t→u=u
既然吸收律不是SLO-重言式，按SLO(Ⅰ)的健全性定理，它不该是SLO(Ⅰ)的定理。这个矛盾说明演绎定理对SLO(Ⅰ)不成立。
一个反例与十个反例同样有力。然而，不妨顺便说说，鞠实儿先生从Hilbert-Bernays的演算P[，H]的公理集中删掉了蕴涵自分配律(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))，或许是已经察觉它不是SLO-重言式的缘故吧。可是，假使演绎定理成立，它同样会变成定理。
不难看出，只要→是乌卡谢维奇的蕴涵号，只要一个三值逻辑有分离规则，演绎定理对它就不能成立。
2.SLO(Ⅰ)不具备语义完全性
SLO(Ⅰ)的语义完全性定理是健全性定理的逆命题：SLO-重言式永远是SLO(Ⅰ)的定理。为了表明这个命题是假的，最好是能够从SLO(Ⅱ)的公理中去寻找不是SLO(Ⅰ)的定理的SLO-重言式，因为这会直截了当地证实SLO(Ⅰ)仅仅是SLO(Ⅱ)的一个真子逻辑。有点出乎意料，这样的重言式很快就找到了。
例1(三段论律) (p→q)→((q→r)→(p→r))
鉴于SLO(Ⅰ)不含常号u的部分是直觉主义命题演算的真子系统，而例2中的两个公式分明不是直觉主义可证的，我们很自然地想到G
del[1932]中的n值矩阵的某种轻微变形多半能显示这两个公式在SLO(Ⅰ)中的不可证性。不出所料，取n=3就够了。具体地说，我们起用由0，1，2组成的三值系G[，3]，其中2为特指值。除了规定常号u指称2，我们用以下三值矩阵给出各联结词的解释：
所以，强逆换律和弱皮尔士律不是SLO(Ⅰ)的定理。
3.替换定理失效也是SLO(Ⅰ)没有语义完全性的有力证据
设A在A[，1]中的若干出现被B替换后得到B[，1]。这时不费任何气力就能得出一语义定理
(1) 如果AB是SLO-重言式，那么A[，1]B[，1]也是SLO-重言式。
鞠实儿先生在《文2》中把这个语义定理命名为“替换定理”。按惯例，“替换定理”其实应当是下面这个语法定理：
(2) 如果AB是SLO(Ⅰ)的定理，那么A[，1]B[，1]也是SLO(Ⅰ)的定理。
很奇怪，《文2》从来没有提起这个真正的替换定理。
谁都明白，替换定理对SLO(Ⅰ)成立的充分必要条件是所谓“合同规则”对一切联结词都成立，也就是说，(ⅰ)AB/～A～B；(ⅱ)对*∈｛→，∧，∨，｝， AB/A*CB*C并且AB/C*AC*B。经过初步核查，差不多所有的合同规则都对SLO(Ⅰ)失效。
举合同规则AB/(C→A)(C→B)为例。由于～～pu是SLO(Ⅰ)的公理模式12的特例，如果该规则成立，(～～p→～～p)(～～p→u)就应该是SLO(Ⅰ)的定理。然而，这不是事实。让我们沿用SLO-语义学中→，∧，∨和～的矩阵，仅仅把的矩阵换成以下矩阵：
容易验证，(～～p→～～p)(～～p→u)独立于SLO(Ⅰ)的所有公理和推论规则。由此看出，上述合同规则不成立。
用同样的矩阵还能证明合同规则对∧和∨一概失效。就∧而言，可以令A=～～p，B=u，C=～(p→p)。就∨而言，可以令A=～～p，B=u，C=p→p。
假使SLO(Ⅰ)真的是语义完全的，从SLO(Ⅰ)的健全性定理和语义定理(1)就能自动得出替换定理。既然如此，既然替换定理失效了，SLO(Ⅰ)又怎么谈得上完全呢？
三 SLO(Ⅱ) 研究中的主要错误
楚白[2005]已经指出《文3》中最严重的错误，那就是“作者将‘语法完全性’(亦即通常所说的Post-完全性)误用于只以公理模式和分离规则为初始的形式系统”L。我想先讨论一下这个错误的来由。
1.从SLO(Ⅰ)到SLO(Ⅱ)的畸变过程中，为模拟
产生了误解
《文2》引用了Rescher[1969]，想来鞠实儿先生写《文2》的时候一定知道该书第155页上所表述的乌卡谢维奇三值逻辑的一个最最著名的公理系统(出自Wajsberg[1931],S
upecki[1936])。他当时不理睬。等到他试证SLO(Ⅰ)的语义完全性失败之后，才想到走捷径，靠亦步亦趋地模仿来另搞一个与SLO(Ⅰ)大不相同的演算SLO(Ⅱ)，然后从的波斯特完全性导出SLO(Ⅱ)的语义完全性。改变主意是研究工作中常有的事，但应当说清楚。鞠实儿先生既不去证明SLO(Ⅱ)与SLO(Ⅰ)等价，又不声明等价性有待今后核查，径直给新演算加上老名称SLO。这是不是要制造他仍旧在研究同一系统的假相呢？
不幸的是，还没有开始模拟，已经把本身弄错了。简单说，鞠实儿先生漫不经心地把表2(见下页)中的等同于L了。然而，它们真的是一回事吗？第一、从公理出发，L从公理模式出发。每条公理只是一个特殊的公式，每个公理模式代表无穷多条公理，因为其中的语法变号A，B，C取任意公式为值。第二、有代入规则，在L中改成了替换规则。既然《文3》给出L的时候要人参考Rescher[1969]，我猜想，这是因为鞠实儿先生误认为该书中的rule of substitution(代入规则)是指rule of substitutivity of equivalence(等值式的置换规则，也经常简称“替换规则”)。这两者又是有本质区别的，因为代入规则只保存有效性而不保存真实性，替换规则像分离规则一样保存真实性。我们不久就会看到，以上违背逻辑常识的误解会引起灾难性的后果。
2.在SLO(Ⅱ)的基础中怎么会出现显然是多余的东西？“证不出就往里添”不是好办法
鞠实儿先生从的讹版L得出SLO(Ⅱ)的策略简单之极，不外是按T和的定义作翻译。我们在第一节说过，联结词集｛→，～｝是函数完全的，没有什么三值函数不能用它们来定义。鞠实儿先生于是给出定义
TA=～～A
A=(～A→A)→～A或A=A→～(A→A)
然后照这些定义写出L的六个公理模式的译本，只不过对最后那两个译本作了不大的简化。
不大的简化惹出不大的麻烦。鞠实儿先生需要证明L的所有公理模式的译本都是SLO(Ⅱ)的定理模式，在他看来L5和L6的译本不太好对付。在这种情况下，他采取了两项补救措施。
第一、求助于替换规则。本来，表明从SLO(Ⅱ)的公理模式和分离规则可以导出替换规则并不怎么难，有直接的证法，也有间接的证法。鞠实儿先生似乎对任何技术细节都避之唯恐不及，就干脆把非独立的替换规则列为初始规则之一了。
第二、为了对付L6的译本，只有替换规则好像不够。这时，鞠实儿先生又发现引入公理模式3能够一步跨过难关。实际上，这又是多余的。如果一个人肯仔细读读Wajsberg[1931]，他会明白仅仅依靠SLO(Ⅱ)的公理模式1，2及5就能得到定理模式A→((A→B)→B)和A→A(参见该文中的定理14和19)。所以，只要把前一模式中的A取为A→A，B取为A，便立即分离出公理模式3。Wajsberg[1931]当然不好读，所有的公式都是用波兰学派的无括号记法写的。不过，逻辑学者命中注定是要读“天书”的。
3.波斯特完全的，但L不是，因此从L的波斯特完全性导出SLO(Ⅱ)的语义完全性的证明计谋行不通
《文3》的骨架是这么一条推理链：已知是波斯特完全的。L就是，它当然也是波斯特完全的。可是，如果L是波斯特完全的，那么SLO(Ⅱ)也是。如果SLO(Ⅱ)是波斯特完全的，那么它一定是语义完全的。所以，SLO(Ⅱ)是语义完全的。
一切都好，只可惜L不就是。
我们说，演算S是波斯特完全的当且仅当把S的任何非定理作为新公理添入后所得演算S[*]的定理集为全体公式集。在这里，给定演算S原有的初始推论规则仍是新演算S[*]的规则，应当适用于被添入的新公理。正因为如此，S原来有没有代入规则就成了决定S有没有波斯特完全性的重要因素之一。
演算的波斯特完全性是由斯乌佩茨基在Supecki[1936]中首先宣布的，他当时未予证明。我们效法Church[1956]中介绍的通用方法，利用的语义完全性(见Wajsberg[1931]第Ⅱ节，Goldberg et al[1974])来给一个证明。
这整个证明的症结在于代入规则要求新演算的新公理A的代入特例A[σ]也是它的新定理，否则得不出原演算的波斯特完全性。注意，我们并没有说凡有代入规则的系统都是波斯特完全的。这话不真。事实上，的不含最后两条公理的那个真子系统，虽然有代入规则，却是波斯特不完全的。可参看Prior[1962]第237页。
让我们转向演算L。前面说过，L是的讹版，它从公理模式L1—L6出发，它的初始推论规则中没有代入而只有分离和替换。
L的波斯特不完全性的半语法证明。用记号├表示演算L中的可演绎性。L没有演绎定理，但有一较弱的斯图特勒演绎定理：
(详见Goldberg et al[1974]。它的证明要用L的定理模式(A→(A→(B→C)))→((A→(A→B))→(A→(A→C)))，在SLO(Ⅰ)中也是不可证的。)
为归谬，假定L是波斯特完全的。由于L是语义健全的，变号p不是L的定理。按归谬假设，p├p。按斯图特勒演绎定理，├p→(p→p)。另一方面，吸收律的特例(p→(p→p))→(p→p)是L的定理，于是得出├p→p。这是荒谬的，因为p→p不是三值重言式。足见L不具有波斯特完全性。
丘奇提醒人们：把变号当公理添入一公理模式系统而不产生矛盾，从语义上说，与这种系统有一类比无模式的公理系统的健全解释更广的健全解释相关，因为，这种丧失了代入规则的系统已经没有规则能区分命题变号与常号了。(见Church[1956]，页150)
L的波斯特不完全性的纯语义证明。把变号p作为新公理添入L，形成一新演算L[*]。维持其他变号和联结词的正常解释，但规定变号p指称t。在这样的解释下，L[*]的所有公理都是三值重言式，分离规则和替换规则也保存三值重言性，因而L[*]的定理集仍是一个三值重言式集，不同于全体公式集。例如，任何异于p的变号依然不是L[*]的定理。
4.SLO(Ⅱ)语义不完全，保留不保留初始常号u其结果都一样
除了把SLO(Ⅱ)的语义完全性归结为L的波斯特完全性之外，《文3》和《文4》没有一处暗示过解决SLO(Ⅱ)的语义完全性问题的其他任何途径。我们只好认定，鞠实儿先生拿不出这个问题的解。实际上，这是一个不成问题的问题。
说到这里，我们必须指出《文3》和《文4》中给予SLO(Ⅱ)的表述有一个“小小”的差别，前者把常号u列入初始符号表，后者把u删去了。然而，不管u是否作为初始符号出现，SLO(Ⅱ)都是不完全的。下面这个不完全性证明适用于这两种 SLO(Ⅱ)。给定如下二值解释，其中t为唯一的特指值：
在SLO(Ⅱ)含初始常号u的情况下，只要令u指称t，我们就很容易发现SLO—重言式u→～u在上述新的二值解释下也不再是重言式了。事实上，为了要证明SLO-重言式u→～u不是SLO(Ⅱ)的定理，我们有一个更简便的办法：令u指称t，而维持其它联结词在SLO-语义学中的解释不变。能这样做的原因很简单：SLO(Ⅱ)的任何一条公理都不含u，从中不可能推出所有含u的SLO-重言式。
5.为什么追求完全性？为什么喜欢SLO？
我已经说了不少与SLO相关的具体问题。可是，我最想不透的是鞠实儿先生研究SLO及其完全性的动机。
像SLO(Ⅰ)和SLO(Ⅱ)这样的逻辑演算，即使证明了它们的语义完全性，其定理集也是地道的“封闭类”。在任一给定时刻，我们只能把握其中有穷多条定理，总会有无穷多的定理留在主体可望而不可即的“彼岸”。从理论上说，既然三值矩阵提供了重言性的判定方法，那么，一旦有了语义完全性定理，我们永远能够说出一个公式是不是定理。但也仅仅是“从理论上说”。如果从实践上说，计算复杂性还是会成为主体不可逾越的根本障碍。我确实不明白，拼命提倡“开放类”的人为什么要孜孜不倦地去追求定理集的语义完全性？这个事实能不能看成“开放类理论”的一种归谬呢？
谈到SLO本身，我很同意我的老师们的判断：鞠实儿先生的新型“否定号”～丝毫没有认知意义，因为，对任何句子A，～A决不可能被主体所相信。没有一个有头脑的认知者会立意去证明、反驳、证实、猜想、质疑～A，因为他从一开始就对～A有全知：不论A取什么真值，～A永远不真。我非常想知道，在某个演算中把～的逻辑特性作透彻的刻画能达到什么实用的目的吗？
SLO(Ⅱ)可供欣赏的唯一优点大概是｛→，～｝这个联结词集比较经济。但是就减少联结词数目而言，SLO(Ⅱ)还有待继续努力。Martin[1954]报告过一个计算结果：“在三值逻辑的19683个二元联结词中，有3774个是谢弗函数”。所谓“谢弗函数”不是别的，就是单用它已能定义所有三值函数的二元函数。其实，大约比Martin早 20年，Webb[1935]就证明过“任何n值逻辑(n
2)都能由一个二元函数的复合生成”。看来，节省联结词的最佳方案“古已有之”，无需今人操心。
SLO研究中的错误还有很多，这里谈及的是几个比较突出的问题。其他的在此就不一一指出了。
注释：
①为阅读方便，这里使用了与前文一致的文献简记。——编者