数学优秀课成长的基础、过程与方法，本文主要内容关键词为：过程论文,优秀论文,数学论文,基础论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从2006年国庆假期在北京参加“中学数学核心课程及教学设计的理论与实践”第一次课题会到现在已经四年多，回顾课题组的活动，感慨多、快乐多、收获多.本文从优秀课的成长这一侧面，总结参与课题研究的收获.概言之，优秀课不是从天上掉下来的，它不仅有自己内在的、本质的要求，也有其成长的基础、过程与方法.
一、理解数学——教学设计与优秀课成长的基础
（一）何为理解数学
理解数学是一个多侧面、多层次、无止境的过程.
就所教的数学具体知识而言，理解数学有如下含义：一是“知其然”，清楚该知识是什么；二是清楚该知识是用怎样的数学思想与方法得到的；三是“知其所以然”，清楚该知识为什么这样而不是那样，是这样的合理性、优越性在哪里；四是清楚该知识的上位知识和下位知识分别是什么，它“来自何处又去向何方”；五是清楚该知识的本质与结构.
就所教的数学整体知识而言，理解数学有如下含义：一是清楚数学的总体结构及其各大板块知识的地位与作用如何；二是清楚数学知识所蕴含的思想、方法以及数学特有的思维方式是什么；三是清楚对学生今后学习和发展最有价值的知识是什么；四是有正确的数学信念，对数学美、数学精神有深刻的感悟.
就学生数学学习而言，理解数学有如下含义：一是清楚所教知识与学生已有的生活经验、数学经验的联系；二是清楚哪些知识学生容易理解、适合于自学或探究，教师可以少讲甚至不讲，哪些知识学生容易混淆或难以理解，需要教师在恰当的时候给予恰当的点拨；三是清楚数学的教育价值，能为不同的学生提供不同的数学；四是清楚将不同类型的知识用不同的方式呈现给不同学生的策略与方法.
理解数学的实质是把成熟的、静态的、统一的、不利于学生接受和消化的学术形态的数学转化为发展的、动态的、个性化的、更有魅力、更利于学生接受与消化、更富营养的教育形态的数学.简言之，理解数学就是清楚如何把学术数学转化为教育数学.
（二）为何理解数学
当下学生对数学缺乏兴趣、不会学习数学，以及数学学习负担重的一个重要原因是教师在理解数学上做得不够.如果教师真正读懂了数学，那么许多教学的重点、难点问题即使不能彻底解决，也至少能解决一半.
第一，理解数学是正确、有效教学的基础.课题负责人、人民教育出版社中学数学室主任章建跃博士在第六次课题会上明确指出：“‘三个理解’是搞好数学教学的前提，数学教学设计的首要问题是理解数学.”美国著名数学家、数学教育家Hersh也指出：“问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议.”[1]事实也是如此，离开了理解数学，数学教学的有效性和科学性都无从谈起.
第二，理解数学是指导学生学会探究、学会创造的关键.教师只有懂得知识的成长过程与成长方法，才有可能引导学生重获知识的发展轨迹，指导学生学会学习、学会探究、学会自主建构知识.课堂上学生不会探究的背后是教师自己没有经历过探究，也不会探究.
第三，理解数学是展示知识内在魅力的需要.教师只有理解数学，才有可能还原数学好玩、有趣的本来面目，才有可能进行艰难曲折、生动活泼的数学探究与创造，才有可能用数学知识内在的魅力和学习过程的乐趣吸引学生.
第四，理解数学是教学实现“有的放矢”的前提.教师只有理解数学，才有可能把握知识的本质、核心与关键，占领教学的“制高点”，对学生的思维障碍进行“精确打击”，进而指导学生实现“以简驭繁”，抢占数学学习的“制高点”.
第五，理解数学是提升数学教学品质的保障.教师只有理解数学，才有可能充分挖掘数学中蕴含的育人素材，更好地促进学生思维优化、智慧生成和人格完善.
因此理解数学是全面落实“三维目标”，提高数学教学效益与品质，促进学生可持续发展和全面发展的需要.
（三）如何理解数学
1.寻找知识的基础与萌芽
如同植物一样，任何数学知识都是在一定的“环境”与“土壤”中生长的，都有一个萌芽、成长、成熟的过程.因此理解数学，首先要搞清楚知识的基础和萌芽是什么，知识的“根”在哪里，知识的生长点与固着点又是什么.如生活中的你、我、他等蕴含着用字母表示数的萌芽，从1开始的数数蕴含着数学归纳法的萌芽，想知道菜的咸淡先尝一口蕴含着抽样调查的萌芽.
2.经历和体验知识的成长过程
既然任何知识都有一个萌芽、生长、成熟的过程，那为何我们往往看不到知识的“萌芽期、生长期”？这是因为我们的头脑只有“成年的结论性的知识”.因此理解数学需要暂时忘掉“成年的结论性的知识”，认真思考“怎样想到研究这个问题”“为什么要研究这个问题”“用怎样的策略与方法研究这个问题”等，切实经历知识“再发现、再创造”的过程.只有这样，我们才有可能真正体会和感受知识的成长过程与成长方法，体验其中所蕴含的发现与创造，体验发现与创造过程的曲折与艰难，进而避免把没有情感的、浮萍式的知识硬塞给学生.
3.把握知识成长的策略与方法
学习了等差数列的性质却不会用类比的方法探究等比数列的性质，学习了指数函数的性质却不会探究对数函数的性质，其主要原因是学生没有理解和掌握等差数列性质、指数函数性质背后所蕴含的思想与方法，因此教学需要把知识背后的数学思想方法、思维策略方法显性化、明朗化，让学生明明白白、真真切切地感受到知识是通过怎样的途径与方式“来与去”的.只有这样，我们才能把凝结在数学发现、数学创造中的数学家思维打开，把前人是怎样进行思考和发明的方法内化为我们自己的方法，进而为学生深层次地理解知识、学会学习、学会迁移、学会创造奠定基础，使数学真正成为“思维的体操”.
4.理清知识的联系与结构
任何数学知识都是一定结构和背景下的知识，都是与其他数学知识具有内在逻辑联系的知识.因此理解数学需要搞清楚它来自何处或者它的上位知识是什么，它去向何方或者它的下位知识是什么，它的平行知识又是什么.教师应该自己尝试画知识结构图，而不是看书本上现成的知识结构图.由于知识结构是比较隐性的、需要人们用心去感受和体会，所以看书本上的知识结构图与把书本上的知识结构图内化为自己的东西有很大的距离，把书本上的知识结构图内化为自己的东西与自己独立理清知识结构图并画出又有很大的距离.只有当我们能画出脉络分明、相互联系的知识结构图时，我们才真正明白知识发展的主线和结构.
5.把握知识的要点与本质
理解数学有两个阶段：一是“把书读厚”，二是“把书读薄”.为了“把书读薄”，必须搞清楚三个问题：一是知识的核心与本质是什么，如方程的本质是借助未知数用两种不同的方式表示同一个量，函数的本质是刻画两个量之间的一种对应关系；二是它的上位知识是什么，如三角函数的上位知识是函数，因此应在函数的观点下进行三角函数教学；三是构成知识的“基本要素”是什么，如首项、公差（比）是等差（比）数列的基本要素，“定义域、值域、对应关系”是函数的基本要素.也就是说，理解数学要寻找和把握牵一发而动全身的“知识的纲”，以实现“纲举目张”和“以简驭繁”.
需要指出的是，即使数学解题教学，也要善于抽象与概括，把零碎的知识系统化、结构化，把一招一式的解题技巧上升到解题策略和思维方法.
6.把握知识的学科意义、方法与价值
把握学科的整体意义、方法与价值是教学不偏离正确方向的前提，是实现教学效益之和最大化的必然要求.如从思维与方法角度看，创造、成长过程的数学充满了观察、比较、实验、分析、综合、抽象与概括，而作为结论性的数学却是严谨的、演绎的、公理化的.又如为了突出学科的意义与方法，我们应在用数和方程刻画图形特征思想的指导下探讨、建立斜率的概念，在通过研究方程来研究曲线的性质思想的指导下研究圆锥曲线的几何性质.
二、教学设计框架——优秀课成长的过程与方法
当下许多课堂教学没有取得预期效果最重要的原因有两个：一是没有在理解数学的基础上进行教学设计，从而使教学设计失去了学科基础；二是教学设计的思路、过程、方法、步骤存在严重的偏差与不足，从而使教学设计失去教学论基础和程序保障.
（一）“三个理解”是搞好教学设计和优秀课成长的前提
“三个理解”是指理解数学、理解学生、理解教学.[2][7]它是针对当前教学设计中普遍存在“掐头去尾烧中段”、就教学设计论教学设计的现象提出的.这里的“去头”是指在对数学知识缺乏深刻理解、对学生情况缺乏具体分析、对教学问题缺乏有效诊断的情况下直接进行教学过程设计；“去尾”是指去掉了本该有的教学设计的重要组成部分——目标达成程度检测设计；“烧中段”是指只有如何教的设计而缺少如何学的设计，是“以教定学”而不是“以学定教”“学教结合”.
理解数学前面已有较详细的论述.理解学生是指清楚学生学习数学的基础、潜能、需求与差异，清楚学生学习特定数学知识时已有的知识萌芽、生长点与潜在的困难，清楚学生的认知特点与认知规律.因为数学教学服务的对象是学生，离开了对学生现状的准确把握，最漂亮、最完善的教学设计也难以取得好的效果.
理解教学是指理解教学的本质与功能，理解教学的教育价值，理解学生的认知规律和教学的基本原则，清楚如何在恰当的时机为不同的学生提供不同的帮助，进而使教与学成为有机统一、相互促进的整体.理解教学要求教师理解教学所具有的科学、艺术、技术三方面的属性.教学的科学属性要求我们遵循教的规律、学的规律、教学做合一的规律；教学的艺术属性要求我们充满激情地创造适合不同学生的不同教学；教学的技术属性要求我们把作为科学的教学与作为艺术的教学操作化、规范化，寻找实现教学效益最大化的具体途径与方式.
（二）科学合理的框架是优秀课成长的过程与方法
教学设计是一项专业性很强的工作.课题组在2006年11月召开的课题会上就达成如下共识：教学设计由内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教学过程设计、目标检测设计六个部分组成.其中内容和内容解析主要是“阐述教学内容的内涵，在揭示内涵的基础上说明本课内容的核心所在，必要时对该内容在中学数学中的地位进行分析，明确内容所反映的数学思想方法，在此基础上确定教学重点”.目标和目标解析主要是“以内容及由内容所反映的思想方法为载体，将数学能力、情感态度等隐性目标融于其中，并用了解、理解、掌握等及相应的行为动词经历、体验、探究等表述目标，特别要阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事”.教学问题诊断分析主要是“教师根据自己以往的教学经验，对学生认知状况的分析，以及数学知识内在的逻辑关系，在思维发展理论的指导下，对本内容在教与学中可能遇到的困难进行预测，并对出现困难的原因进行分析”.[2]（8-9）这个教学设计框架的突出优点有：（1）总体框架比较科学合理；（2）在关注如何做的同时，也关注这样做的理由与根据；（3）操作性比较强；（4）从程序的规范来保证教学设计的质量.
（三）好的设计策略是优秀课成长的技术保障
教学目标设计是教学设计的灵魂，教学过程设计是教学设计的主体.好的设计策略是优秀课成长的技术保障.
策略一：基于教学目标进行教学过程设计
基于教学目标的教学过程设计有三层含义：一是观念与意识方面，在教学目标的指导下进行教学过程设计，避免教学目标设计与教学过程设计“两张皮”的情况；二是过程与方法方面，思考通过怎样的载体、怎样的过程和怎样的方式实现教学目标，尤其是如何把能力目标、思维目标、情感目标等隐性目标体现和落实在教学过程中，使学生学习成为高认知水平活动；三是反馈与检测方面，考虑如何加强形成性评价，并有效检测教学目标的达成情况.
策略二：基于知识的发展轨迹与本质进行教学过程设计
生物重演律告诉我们：个体发育史重蹈种族发展史.类似地，数学教学也应根据知识的发展轨迹，详略得当、不平均用力但不跳过知识成长的每个环节；应依据数学知识不同发展阶段的不同特点进行教学，使数学发现的经验性、数学结论的形式性在教学中得到充分体现.在明晰大背景、大问题、大思路的前提下，围绕着知识的核心与本质，教给核心知识牢固、结构良好的知识.如数学概念教学通常可分如下六个环节：①播种种子——揭示概念产生的背景，明晰研究和建立概念的必要性；②生长发芽——对典型丰富的具体例证进行分析、比较，找出它们的共同特征；③破土而出——通过比较、概括、归纳、抽象，得到概念的本质属性；④刻画命名——下定义，用准确无误的数学语言刻画、描述概念；⑤浇水施肥——用正反两方面的实例对概念进行辨析，并建立它与相关概念的联系；⑥实现价值——运用概念解决相关学科问题和实际问题.
策略三：基于学生的认知基础与认知规律进行教学过程设计
基于学生的认知基础与认知特点的教学设计有三层意思：一是基于学生的认知基础，提高适切性.正如美国著名的认知教育心理学家D.Ausubel所指出：“如果我不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学.”教学设计的出发点是学生的认知基础，而不是课标、教材和考试的要求.教师不要从自己良好的愿望出发，只顾考试要求而不顾学生的接受能力；也不要拘泥于课标和教材，限制学有余力的学生的发展；要把“眼睛向上的备课”（指根据课标与教材进行备课）与“眼睛向下的备课”（指根据学生实际进行备课）结合起来.二是基于生命的能动性，提高自主性.学习、成长是学生的事情，是教师无法替代的；教师可以浇水、施肥、播撒阳光，可以做“助产婆”，但不能越俎代庖、拔苗助长，不能做“产妇”.教师应该有依“法”教学的意识，在实施某种教学行为之前认真思考自己应不应该这样做、有没有权利这样做；要警惕好心办“坏事”、辛辛苦苦做“坏事”（这里的“法”不仅指教育政策、法规，也指教学规律和认知规律）.三是基于生命的差异性，提高针对性.智力活动与体力活动一样，人与人之间存在很大的差异，对张三来说好的教学设计对李四来说不一定好.教学要关注差异、尊重差异、研究差异、用好差异，鼓励学生有差异地发展；要妥善处理学生个体需求与群体需求的矛盾，关注学生个体的学习方法与学习效率，提高每个学生的有效学习时间.
简而言之，数学教学设计要时刻牢记“以数学知识为载体，以人为目的，以人为手段”，即要以数学知识固有的特点、功能与价值为载体，以促进学生作为人的发展为根本目的，以基于学生作为人的特点、激发人的内在动力为根本手段.
三、超越应试——优秀课的基本要求与历史使命
也许我们无法回避应试，但我们必须有效应试、科学应试，坚决反对和杜绝以牺牲学生健康和长远发展为代价的分数教学，因此超越应试是优秀课的基本要求与历史使命，也是课题组的理想和追求.
（一）深化对课堂教学有效性和教学品质的认识
可从四个维度、用定性与定量两种方法全面衡量课堂教学的有效性.第一，课堂教学对多少学生有效；第二，课堂教学对学生的哪些方面有效；第三，课堂教学对学生多大程度上有效；第四，课堂教学对学生多长时间内有效.
要正视、重视课堂教学品质问题.与树木、产品等有品质高低之分一样，数学教学也有品质高低之分.数学教学品质是指数学教学对人影响的广泛程度、深刻程度、持久程度、有用程度.数学教学品质由低到高分为四个层次：一是数学知识技能教学层次，重在解决是什么、怎样做的问题；二是数学思想方法教学层次，重在解决用怎样的思想与方法做的问题；三是数学思维教学层次，重在解决怎样想到这样做、为什么要这样做的问题；四是数学精神与文化教学层次，重在促进学生心智、个性、观念、精神等和谐协调地发展.
由于提升数学教学品质处于现实教育与理想教育的交会点和结合点上，它既能有效提高学生的数学素养，使学生不至于沦为“考试的机器”和“只会考试的文盲”，又能有效地迎接融知识、能力、素养考查为一体的数学考试的挑战，提高学生的考试成绩，所以提升数学教学品质是现实条件下推进数学教学改革最重要、最可行、最有效的途径与手段，是走向超越应试的数学教育的必然选择.
（二）深化对过程性知识和过程性目标的认识
《普通高中数学课程标准（实验）》把过程与方法目标分为经历/模仿、发现/探索两种水平，其中经历/模仿所涉及的行为动词有经历、观察、感知、体验、操作、查阅、借助、模仿、收集、回顾、复习、参与、尝试；发现/探索所涉及的行为动词有设计、梳理、整理、分析、发现、交流、研究、探索、探究、探求、解决、寻求.[3]从课标的表述看，过程性目标主要指向过程性活动.这相对于原来没有过程性目标是一个很大的进步，但表面化、形式化十分明显.实际教学工作中，教师对过程性目标的理解和落实则更不尽如人意.
我们需要深化对过程性知识和过程性目标的认识.第一，要关注过程性知识，即关注知识成长的基础、过程与方法，尤其是知识成长过程中思维障碍与心理障碍的突破过程与突破方法.第二，教学时“快速通过而不跳过知识成长的每个环节”，尤其是让学生经历知识“诞生”的“阵痛”过程.第三，明确“过程性目标”的目标是学生掌握活的、有根的、有血有肉的、充满智慧与创造的数学知识，其实质是学生学会学习、学会探究、学会自主建构知识、学会创造.第四，加强过程性知识教学是落实情感态度与价值观目标的关键，是培育学生理性精神、完善学生人格的有效载体.
（三）教给学生高品质、高附加值的知识
L.W.安德森等修订的《学习、教学和评估的分类学》把知识分为事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识（也称反省认知知识）.其中事实性知识是指学生通晓一门学科或解决其中问题所必须知道的基本要素；概念性知识是指能使各部分共同作用的较大结构中的基本成分之间的关系；程序性知识是指如何做什么，研究方法和运用技能、算法、技术和方法的标准；元认知知识是指一般认知知识和有关自己的认知的意识和知识.[4]（26）可是，现实中的数学教学往往教给学生孤立的、表面化、傻瓜化的知识，而对学生成长最有用、影响最深刻的概念性知识和元认知知识却认识和重视不够.我们需要认真思考怎样的知识对学生今后的发展最有价值，进而教给学生高品质、高附加值的知识.
（四）实施高认知、高情感水平的数学教学
《学习、教学和评估的分类学》把认知过程维度分为记忆、理解、运用、分析、评价、创造6个层次.这样所有认知教学目标都可置于下表一个或多个单元格中.[4]（29）
我们应该努力把握数学知识背后的认知维度，并以此作为对教学内容进行分析和加工的框架，实施高认知、高情感水平的数学教学.以“数系的扩充和复数的概念”教学为例，对复数概念的认知可分为如下6个层次.
记忆层次：知道
=-1和复数及其相关概念.
理解层次：理解引入虚数单位i的必要性与合理性，理解复数的概念及其分类.
运用层次：能利用复数、复数相等等概念及复数分类解决相关问题，能独立完成书本上的命题与练习.
分析层次：理解数系扩充的原因与基本方法，认识到建立复数相关概念、对复数分类是有效研究复数的需要.
评价层次：理解引入虚数单位i、建立复数相关概念、进行复数分类的必要性、合理性与内在的逻辑性；能感受数系扩充过程中所蕴含的真善美，感悟有与无、可能与不可能之间的辩证关系.
创造层次：能从以前学过的数系扩充的过程中寻找数系扩充的策略与方法，能自主探索、建构复数相关概念、复数的代数形式、进行复数分类.
总之，参加课题研究使笔者从理论到实践对数学教育都有更深刻的认识，但学无止境，教无止境.我们不仅应关注优秀课的表现形式与评价标准，更应关注优秀课成长的基础、过程与方法.优秀课研究大有可为，优秀课研究任重道远.