【学法指导】
统计学中几个容易混淆的问题
张明亮
（河南大学 民生学院，河南 开封 475004）
摘要： 统计学是一门重要的学科，在日常生活中有着极其广泛的应用。本文对统计学教学中几个容易混淆的问题进行阐明，旨在帮助学生对统计学中的一些概念有个正确的理解。
关键词： 统计学；直方图；总体；相关系数
统计学是一套处理和分析数据的方法和技术，是一门数据分析的学科。统计学作为一门基础课程，越来越受到人们的重视，呈现着新的发展趋势及活力。但是，学生往往对一些概念产生模糊认识，甚至一些教科书中，也出现对一些概念表述不清的情况，这里就学生在学习中容易产生混淆的几个问题进行阐述，旨在帮助学生对一些概念有一个正确的理解。
何良诸相信了，在北大坎矿区，掀起过寻宝狂潮。盗墓者的手，才会那么粗野贪婪；常年在荒郊野外死人堆里干活，声音才会这么沙哑沧桑。另一位呢？
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一、直方图与条形图
直方图是统计学中对数据描述的一个图形，在高中教材中也有介绍，但有一部分学生对这个概念理解不清。曾对学习统计学一年以后的大三学生做过一项统计学方面的调查，班级共有68名学生，有36名学生对直方图与条形图不能很好地区分开来，约占53%。有的学生把二者混为一谈，对于二者的应用范围分不清楚。条形图是用宽度相同的条形的高来表示数据多少的图形，每一矩形表示一个类别，其宽度没有实际意义，每个小矩形不相连。条形图有单式条形图和复式条形图之分，它一般适应于品质数据。
直方图是用于展示定量数据分布的一种常用图形，它是用矩形的宽度和高度来表示频数的分布，矩形的宽度表示分组数据的组距，由于分组数据具有连续性，所以每个矩形是相连的，通过直方图可以观察数据分布的大致情况。一般用每个小区间内的频率比上组距来表示小矩形的高度，这样做是为了使得直方图围成的面积为1，因为一维连续型随机变量的概率密度函数与x轴围成的面积为1，通过对直方图的折线近似拟合，观察这条折线与已知分布的哪个概率密度函数拟合得比较好，可得出这组数据的大致分布。
根据式（4.11）得标准差为
（元）。
二、对总体的理解
总体是指研究的对象的全体或试验的全部可能的观察值。由此可见，总体是指研究对象，一般是一些具体的数值。如，要考察一个班级《统计学》期末的考试成绩，不能把这个班的学生看作总体，而应是每个学生的《统计学》成绩组成的集合为总体，因为这里考察的仅仅是《统计学》的成绩，而不是其他学科的成绩。有的学生对总体理解不到位，甚至一些教材上也犯有同样的错误。
三、方差与标准差的单位
当rXY=1时，称随机变量X与Y正相关；当rXY=-1时，称随机变量X与Y负相关；当rXY=0时，称随机变量X与Y不相关。说明相关系数定量地刻画了随机变量X、Y的线性相关程度，这里需注意的是：相关系数为零，只能说明随机变量X与Y不具有线性相关关系，未必没有关系；相关系数为1，也只能说明随机变量X与Y之间以概率1存在着线性关系，直观来说，就是几乎所有的点（X、Y）都在直线Y=aX+b上，允许个别点不在这条直线上，不在这条直线上的点的概率应为0，但不能说二者具有函数关系。在有些教材中，把
=1与二者具有函数关系等同起来，此教材这样描述相关系数：“可以证明，相关系数的取值范围在+1和-1之间，即-1＜r＜1。若0＜r＜1，表明x与y之间存在正线性相关关系；若-1＜r＜0，表明x与y之间存在负线性相关关系；若r=+1，表明x与y之间为完全正线性相关关系；若r=-1，表明x与y之间为完全负线性相关关系。可见当
=1时，y的取值完全依赖于x，二者之间即为函数关系；……”
回归分析是数理统计中的一个重要概念，它是刻画一个变量或者一些变量对一个特定变量是否有影响，影响程度如何，如果有影响，怎样把这种关系用一个函数式子近似地描述出来，即建立回归方程。对于一元线性回归模型Y=β0+β1x+ε，这里β0，β1为未知参数，并假设随机误差ε要服从正态分布，E（ε）=0，D（ε）=σ2。即进行n次独立观察，得到样本（xi，yi）（i=1，2，…，n），这里x1，x2，…，xn不全相同，有
但是，在有的教材中，往往把直方图的高这一数据标错，给学生理解带来困难。右图为某公司电脑销售额分布的直方图，从图中可以看出，纵坐标标出的高度都不是频率与组距的比，直方图围成的面积自然也不能保证是1。
可数和无穷多是两个不同的概念。可数可以简单地认为是可以按一定顺序排列出来，所以也称为可列。如所有自然数{0，1，2，3，…}是可数个，只要能与自然数一一对应就是可数的，如所有奇数、所有偶数、所有有理数都是可数的。不可数就是没有办法一一排列出来，如区间［0，1］内的所有实数就是不可数的。
四、无限与不可数
这里方差与标准差的单位都写成了“元”，这是一个明显的错误。
五、相关系数及其含义
随机变量X、Y的相关系数一般用rXY（简记为r）或ρXY表示，定义为
，这里随机变量X、Y协方差存在，它们的方差存在且不为零。它具有性质
的充分必要条件是：存在常数a，b，使得P{Y=aX+b}=1。
随机变量X的方差用D（X）或Var（X）表示，若E[X-E（X）]2存在，则D（X）=E[X-E（X）]2称为随机变量X的方差。它刻画了随机变量X的取值与其数学期望E（X）的偏离程度，若方差较小，意味着随机变量X的取值比较集中在E（X）附近，反之，说明随机变量X取值比较分散。方差的开平方
称为标准差或均方差。方差和标准差是否有单位，应该怎样定义单位呢？关于这个问题有很多人认识不清，方差和标准差是否有单位，取决于“样本数据”，若“样本数据”有单位，那么方差和标准差均有单位；若“样本数据”是没有单位的数值，那么方差和标准差均没有单位。由方差的定义知，一个随机变量X的方差，是这个随机变量与它的数学期望的差的平方的数学期望，若这个随机变量X有单位，它的数学期望就与这个随机变量具有相同的单位，二者差的平方的单位应该是原单位的平方，再求数学期望则单位不变，因此，方差的单位应该是“样本数据”单位的平方，而标准差是由方差开方得到，所以标准差的单位与“样本数据”的单位相同。如果数据的单位是千克，方差的单位就是千克的平方，标准差的单位就是千克；如果数据的单位是秒，方差的单位就是秒的平方，标准差的单位就是秒。只是现在教科书中对方差的单位比较淡化，一般考试中，所求的方差不要求写单位。但是，在有的教材中仍会出现单位标注错误。有本教材给出的例题是这样的：
六、一元线性回归模型
例：根据例4.1的数据，计算9名员工月工资收入的方差和标准差。
壳体类铸件(或阀体)通常采用直浇口多层内浇口或单独直浇口每组1件的浇注系统设计。阀体类的工作要求是耐压、不渗漏，故在设计浇注系统时主要考虑要避免缩松、缩孔缺陷。阀体类浇注位置主要有两种，即中法兰向上和中法兰向下。对于底座类铸件，在热节处设置拉筋，目的是一方面防止铸件变形，另一方面利用拉筋的厚大截面，兼起冒口作用来实现对两端热节的补缩。对于大型复杂铸件的浇冒口设计，需要考虑浇注时及浇注后型壳和铸件上的温度场分布情况。避免液流大量地冲刷型壳以及在型壳散热不好的地方形成新的热节。
这里的εi要求是独立同分布。但在一些教科书中，它只强调回归方程，对回归模型所要满足的条件只字不提，如“对于只涉及一个自变量的一元线性回归模型课表示为：y=β0+β1x+ε，在一元线性回归模型中，y是x的线性函数（β0+β1x部分）加上误差项ε。β0+β1x反映了由于x的变化而引起的y的线性变化；ε是被称为误差项的随机变量，它反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响，是不能有x和y之间的线性关系所解释的变异性，式中的β0和β1称为模型的参数”。
丁香酚微乳(pH=7.0)及海藻酸钠修饰丁香酚微乳(pH=4.5)中加入不同浓度的氯化钠溶液，使其离子浓度最终达到0，250，500 mmol·L-1，再分别用相同离子强度的氯化钠溶液稀释100倍，测定其粒径分布。
总之，有些概念在一些教科书中介绍不清，老师在讲授时又不够重视，使得学生对这些概念不能很好地掌握，这是造成学生错误的根本原因，值得重视。
参考文献：
[1]贾俊平.统计学基础[M].第3版.北京:中国人民大学出版社,2013.
[2]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京:高等教育出版社,2011.
Several Problems that are Easily Confused in Statistics
ZHANG Ming-liang
(Minsheng College,Henan University,Kaifeng,Henan 475004,China)
Abstract: Statistics is an important subject and has a wide range of applications in daily life.This article clarifies several confusing issues in statistics teaching to help students have a correct understanding of some of the concepts in statistics.
Key words: statistics;histogram;population;correlation coefficient
中图分类号： C81
文献标志码： A
文章编号： 1674-9324（2019）24-0188-02
收稿日期： 2018-11-24
基金项目： 本文系河南大学民生学院教育教学改革研究项目“统计学课程教学改革与实践探究”（项目编号：MSJG2014018）研究成果
作者简介： 张明亮，教授，硕士生导师，研究方向为概率统计、数学教育。
标签：统计学论文; 直方图论文; 总体论文; 相关系数论文; 河南大学民生学院论文;