中国传统数学的逻辑过程，本文主要内容关键词为：中国传统论文,逻辑论文,过程论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文所谓“中国传统数学”（下文简称“中算”）指在与西方数学合流之前在我国古代独立发展起来的数学方法和理论。众所周知，在数学哲学观的问题上，不论是弗雷格和罗素的逻辑主义，还是布鲁沃和布尔的直觉主义，以及大数学家希尔伯特的形式主义，都有着众多不可克服的局限性。我们却认为，逻辑可以是数学的工具，数学亦可成为数学的工具，数学与逻辑可以是工具的互换使用，现今数理逻辑（符号数学）、计算机模糊逻辑的飞猛发展就是最好的例证。数学不是逻辑，逻辑也不是数学，二者不能等同，只能互用，中算与逻辑的关系也是如此。
一、中算的逻辑起源
图示1：中算的实用性演绎起源
中算具有很强的社会实用性特色。中算从诞生之日起就与社会现实结下不解之缘，尤以与天文、历法的关系最为紧密，《畴人传》中所列举的中算家（“中国古代数学家”的简称）绝大多数都参与或协助过所处时代的历法革新工作。中国古代最早的数学专著《算经书》中也有历法的痕迹，《算经十书》中最早的一部《周髀算经》是一部讲天文的数学著作。而且中算史上众多具有划时代意义的杰出成就就直接来自于历法推算，如秦九韶（1202—1261）的“大衍求一术”产生于历法上元积年的推演；又如应调整历法数据的要求，历代中算家逐渐发展起了完善的分数近似法。
中算实用性的特征，决定了它的发展趋势是以解决实际运用问题和提高计算技术为主要目标。一方面是几何对象的度量化，另一方面是几何方法与代数方法的相互渗透与借用，形成“形数结合、以算为主”的格局。算术与代数的许多理论与方法被广泛应用在几何学领域，表现为几何的代数化倾向；几何的原理与方法又被成功地用于代数、数论等领域，充分体现了辩证逻辑的思想。
以算为主，决定了中算成果表现为算法的形式；而数学问题的模式化和使用算具又带来了计算方法程序化。中算家大多善于应用演算的对称性、循环性、递进性，将演算程序设计得十分简洁明了，开方术、增乘开方法、大衍求一术等无一不是筹算程序设计的典范。由于需要提高数学计算的速度与准确性，除改进算法外，就是改进算具算器，在这方面，中算独具特色，从算筹演进到算盘，就是中算发展历程的重要方面之一。
二、中算理论的演绎过程
中算以算为主，并不是说中算家或在中算著作中没有逻辑论证，更不等于说中算没有形成自足的理论体系。由于中算有讲究实用的特点，中算家们在中算著作中一般不把算理写出来，而花大量的篇幅去叙述一个个具体的算法。通过这些算法可以使读者或后人明了算理、找出算理、掌握算法。就是就其中算的外部结构而言，中算也充分体现了逻辑的特点。如中算著作的篇目的划分、题序的安排、内容的处理都或多或少地体现了理论归属与逻辑的联系，如《九章算术》（下文简称“九章算术”为“九章”）各章的题序大多遵循内容由易到难原则，《海岛算经》（简称《海岛》，下文同）的九问也是由简到繁的编排，反映出重差诸术“类推衍化”的造术发展过程，《九章》商功章的求积公式采取柱、锥、台体的方、圆对比的排列，暗示出这些公式的类似性是通过截面原理推导的结果。
图示2：中算几何算理的演绎
中算家处理数学理论的手段与西方古代数学家有所不同，前者主张“寓理于算”，将算理蕴涵于演算的步骤或过程之中，使算理呈现“不言自喻、不证自明”状态，而后者多是先列出算理，依理而算，先有理后有法，比较起来，按照现代逻辑思维的理解，前者更有利于激发读者或后人的逻辑思维力和创造力，这也许就是为什么中算在众多问题上遥遥领先于世界数百年甚至上千年的原因之一吧！
由于“寓理于算”不利于数学的普及，为使普通人掌握算理，学好数学，对中算典籍进行注解诠释就显得非常之必要，于是注经之风兴盛不衰，历代相传。可以这样说，著名的中算著作无一没有注释。当然，注经必然会加进自己的新观点与新方法甚至新理论，“注”不仅是使算理呈现显性，更是注入新理，使之进步和升华。如刘徽《九章算术注》堪称注经之典范。
图示3：中算代数算理演绎
中算理论高度概括，精炼而深刻。中算家善于从错综复杂的数学现象中抽象概括出深刻的数学概念，提炼出最一般的数学原理，并从非常简单的基本原理出发解决重大的实际问题和关键性的理论、方法的论证。在几何学领域，田亩丈量、天文历法导致面积问题和勾股测量问题；容器容积的计算、土木建筑工程的设计与施工导致体积问题；并从前二者总结提炼成一个简单明了看起来微不足道的一般原理——出入相补原理。利用此原理，使多面体的体积问题得以解决，并升华为刘徽原理。进一步的球体积问题的解决，产生了祖恒原理（截面原理）。中算几何学以勾股形式代替一般三角形处理直线问题，较少讨论角的性质与度量，也尽量避开平行线与一般相似形的繁琐理论，使得几何理论的结构（体系）异常简明扼要。至于代数，其理论体系比几何复杂得多，这是由中算代数的性质与特征所决定的。中算中代数与几何分家并不明显，形数结合、相互促进；以算为主，融进大量计算方法。中算代数的结构体系复杂于几何体系这是很明显的，但不能说没有基本的线索、基本的结构。
三、中算书的演进
16世纪以前的中算书原则上大多遵循《九章》的体例，而且很多也是应用问题及解法的集成，当然理论与方法是各有千秋的，一般后世中算对前世中算都有所推进。《九章》正文用“题、答、术”三段式写成，尤以“术”段为算理蕴含最多，但一般十分简约，不易看懂，必须借助“注”才能明了算理。基于此为便于常人或后学阅读，后世中算家多对前世中算书作注（也有为同代人或自己算书作注的）。公元263年， 刘徽对《九章》作注，公元7世纪李淳风为刘徽的注作了注， 除《九章》外，其它中算书几乎都有“注”，有的还不只一个，多的有四、五个。对算书作注可以说是中算家发现或表达自己数学思想和理论的主旋律。中算家作注的主要过程不外有二，一是用传统的方法给算法作出更让人理解的解释，并加入一些新的见解、观点与方法，二是突破原书的体系与内容，另写新的内容或新书，附于原书后面，以达到创新说、立新意的目的，如刘徽的《九章》注尽管已十分透彻与深刻，但他仍觉得不能彻底表达他的数学思想与理论，因此另写《重差》附于“九章注”之后。除《九章》外，许多中算书都使用“题、答、术”三段式的基本撰写方式。不过“题”中不仅有内容叙述，还有设问，因此“题、答、术”与现代数学解题的逻辑过程：“已知—求（设问）—证（解）—答”是完全一致的，这表明中算家们已很好掌握数学解题的逻辑思维过程。
“算经十书”中除《九章》、《周髀》外其它几种原则上都是对“九章”的某一部分某一内容某一观点作些修补或者作些深入或者引用到实际的社会需要中，后者就形成最早的应用数学，如《五曹算经》、《五经算术》之类。
继“算经十书”之后，宋元数学是中算发展的又一高峰，尤以秦九韶的《数书九章》（下文均简称《数书》）最具成就和代表性，可以说它与《九章》同为中算不同时期的划时代巨著。不过总体而言，它仍然是对《九章》及秦汉数学的继承和发展，这表现在体例、内容、理论等诸方面。例如，《数书》集秦汉以来中算开方术之大成，最终解决了数学高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题；推广孙子剩余定理使一次同余式解法成为可能；对《九章》“方程术”继承并改进了计算技术；对《九章》与《海岛算经》中的测望之术发扬光大，对勾股、重差之术多有阐发，造“三斜求积公式”等等。不仅如此，《数书》对《九章》在编写体例、社会反映、题目类型、术名关联、解题方法设计等诸方面也作了继承和发展。与《数书》同时期的宋元算书也有类似的情况，《测圆海镜》、《益古演段》中用代数方法列方程的天元术实际上是以增乘开方法为基础的；杨辉的著作是对秦汉实用数学和各种简捷算法的杰出继承；《算学启蒙》则系统地由浅入深、循序渐进地展现了前世数学的全貌；《四元玉鉴》发展天元术到四元术，发展内插法到高次内插，发展《张邱建算经》的等差级数求和到高阶等差级数求和；等等。
宋元以后，随着明朝社会经济生活的变化与发展，珠算成为中算的一个重要标志和特色，《算法统综》是珠算与中算的杰出结晶，至于《九章算注比类大全》不但沿袭《九章》体例，而且内容上也多有引用古代中算书，尽管在局部上是有所变化的。明朝时期，西方数学已开始传入，但就整个明朝时期的中算而言，整体上还属于中算的范畴。到了清朝初叶，梅文鼎、焦循、汪莱、李锐等人工作，以及清中叶戴煦、李善兰的数学研究都或多或少体现了中算的特色与传统。说清代的数学属于中算的范畴也符合实情。
四、中算书内容编排的逻辑
成书于东汉初期（约公元50—100 年）的《九章》其编辑体例深受儒家传统思想的影响。郑众、马德、马融等儒士以为：人民在生产实践中产生的数学概念和计算方法都不能超越儒家六艺中“九数”的内容。进而，把前世相传的算法分别隶属在“九章”之内。同时，《九章》的编集工作也受到荀子学说的唯物主义思想影响，紧密联系社会实际与需要，详尽具体问题的“术”（方法），而对“理”（数学理论的东西）适可而止，表现重感性认识轻理性认识的倾向。
算经十书及宋元明清中算书大多采用“题答术”之类的编写体例，都采用问题集的形式。如《九章》收集246“题”及“答”，212“术”，不过“题、答、术”不完全一一对应，有的一问一术，有的多问一术，有的一问多术，体现了归纳与归类的观点。比较《数书》与《九章》，两者都采用问题集的形式，把所有问题分成九类，有问、有答、有术。不过两书分类的标准不一，问题的模式不同，问答术的次序有异，而且《数书》“术”后有“草”（具体的演算记录），有的“草”后还有“图”（演算图或示意图）。
在问题编写的分类上，许多中算书都依据一定的标准，对书中问题进行分类编写。如《九章》分246个问题在九章之内， 有几章按问题的性质分类，如“方田”、“粟米”、“商功”等，有几章则按解题的方法分类，如“盈不足”、“方程”等；《五曹算经》把67个问题按其问题的适用性分属于田曹、兵曹、集曹、仓曹和金曹；《数书》81题分为九类，除第一类按解题方法分类外，其它八类都是按问题的性质进行分类。