让课堂成为“问题”的集散地——“导数的引入”课例与评析，本文主要内容关键词为：导数论文,集散地论文,课堂论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一个教师在一门课程中，到底是应该把学生教得没有问题，还是教得能提出更多的问题？一个学生在一门课程中，到底是应该学得没有问题，还是能提出更多的问题？时代在发展，课堂也在悄然发生变化，请看下面一则教学案例。
一、教学过程实录
1.背景动画，启迪思维
（播放苹果落地动画，再现牛顿当年由苹果落地想到万有引力的情景。）
师：牛顿由苹果落地的现象，发现了问题，经过深入的探究，最终发现了万有引力。这说明了……
生：凡事多问为什么。
师：也就是要有好奇心，要有“问题意识”。俗话说：处处留心皆学问。
2.观察照片，发现问题
［教师展示自己拍摄的两幅舞蹈演员照片，一幅清楚（快门速度为
），一幅模糊（快门速度为
）］。
师：观察了这两幅照片，你第一反应是什么？
【评析】坚持运用最简单、学生最熟悉的背景，从学生已有的感性经验开始。简单的背景中蕴含着数学本质。
生（迟疑了一会儿）：为什么快门速度大时拍摄对象清晰，反之模糊呢？
（学生无语。）
师：快门速度越大，也就是获得拍摄对象的时间越短，几乎可以看作一个……
生：一个瞬间。
生（小声地）：瞬间是静止的。
（立即招来大部分学生反对。）
师：运动物体瞬间是静止的，是我们有些同学想说而不敢说的想法。因为这好像与我们学过的物理知识矛盾。让我们探究一下吧。
3.拓宽范围，深入研究
(1)提出假设，寻找其他情景来例证（搜集资料）。
师：我从网上搜集了有关佐证“运动物体瞬间是静止的”的资料。
【评析】教师利用网络学习的示范作用，体现时代精神。
资料1：古希腊数学家芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的，还是不动的？”
“那还用说，当然是动的。”
“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”
“有的，老师。”
“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”
“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”
“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”
“不动的，老师。”
“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”
“也是不动的，老师。”
“所以，射出去的箭是不动的？”
资料2：生活中，在我们看电视时，一遇到激动人心的场面时，电视解说员经常说：“让我们记录下这一永恒的瞬间……”
师：“永恒”也就是静止的。
资料3：流星划过夜空，留下轨迹（轨迹是由一系列点构成的集合），轨迹上某个点对应着流星在此的瞬间，而点是不动的，所以流星在某一瞬间是不动的。
（学生此时满腹狐疑，有的学生开始转向支持“瞬间是静止的”的假说。）
师：事实上是这样吗？让我们再看一个汽车碰撞试验。
（教师播放一段视频，汽车碰撞试验的激烈场面，对学生形成强烈的感官刺激。）
师：如果运动物体的瞬间是静止的，那么汽车在撞墙前的一瞬间是静止的，还会碰撞到墙吗？
师：可见静止的假设太不合常理，与生活实际不符，因此我们坚信运动物体在瞬间是运动的，是有速度的。那么怎样解释这一问题呢？
（学生此时已经达到了“心求通而不得，口欲言而不能”的愤悱状态。）
(2)把问题简单化，从简单的情形入手。
师：例如，在一条笔直的道路上行驶的一辆汽车，某段时间内，位移s(km)与时间t(h)的关系是s=80t，那么在这段时间内的某一瞬间汽车是运动的吗？速度是多少？
生（脱口而出）：速度是80km/h。（说明：学生在物理课中已经学习过匀速直线运动。）
师：你怎么知道的？
生（不屑一顾、七嘴八舌）：物理课上早学过了，老师讲过了。
师：老师说的，就一定正确吗？历史上曾经多次发生过由于迷信权威，而延缓了科学发展进程的事件。我们还是来探究一下吧！
，当时间为1h时，位移是80km，所以速度是80km/h。
：好像这样求出的是平均速度，而我们要求的是某一瞬间的速度是多少？
（不服气）：不行，把时间取短一些，1s，也还是这个结果。
：1s也不能算是瞬间！
（两位学生几乎争执起来，其他学生附和。）
师：同学们至少有一个共同点，就是我们所求的速度其实是某段位移的平均速度，而所求的问题是某一瞬间的速度如何？平均速度与瞬间速度是不能画等号的，怎么办呢？
生：不断缩小位移差来逼近瞬间。（说明：这一点学生在物理学习中已经有所涉及。）
师生共同操作：记汽车运动过程的某个瞬间为点A，利用几何画板演示，计算到点A的位移差△s与相应时间差△t的比值，即平均速度，发现无论△s如何变化，平均速度始终不变。
师：那么现在我们是否可以认为在点A的瞬间速度也是80km/h呢？
生（齐声回答）：可以。
(3)构造模型，把研究引向深入。
（观看跳水视频。）
师：运动员在跳水过程中，其速度显然是不断变化的，那么请试着解决如下问题。
假设ts后运动员相对于水面的高度为
，试确定t=2s时运动员的速度。
（大部分学生急切开始计算，取△h为0.1，发现求△t时很麻烦。注：这里△h的取值只是单一个例子，事实上学生取的值各种各样。）
师（提醒）：求平均速度一定要先取位移差吗？
（适时点拨：换一个角度思考，思维量决定运算量。学生恍然大悟，于是纷纷改取At的值进行计算，得出的答案也五花八门）。
师：这些答案哪一个是正确的呢？
生：△t取得越小的越对。（注：学生在这里默认△t的值为正，教师暂没点破。）
师：那么△t取0好吗？
生：没有意义了，只能取非常接近于0的数。
师：我们利用Excel来计算一下。先求出运动员在2s到2.1s的平均速度
，同样，可以算出更短时间内的平均速度，观察结果，发现：当△t越接近于0时，平均速度
越接近于常数-13.1。（注：由于计算机本身精确度的问题，当△t非常接近于0时，的计算结果就是-13.1。）
师：这个常数-13.1，可作为t=2s时的瞬时速度。你信服吗？
（有学生小声地说：“会不会是一个非常接近-13.1的数呢？”）
师：请同学们想一想在这里每一个△t的值，都有一个的值与之对应，这种关系是……
生：函数关系。
师：大家一起动手，把它求出来。
经过一段时间，用实物投影仪展示学生运算过程，如以下内容：
师：现在你们对t=2s时的瞬时速度是-13.1，还有意见吗？
生：没有了。
练一练：根据此方法，求t=1s时的瞬时速度。
4.由实践到理论，抽象升华
生（笑）：不可以了。
：平均函数值。
（学生七嘴八舌无法统一。）
师：大家想一想，所谓平均速度，也就是位移在一段时间内的平均变化情况，而比值可以称为“率”，所以某段时间的平均速度也可以说是位移在这段时间内的……
生：平均变化率。
即该函数在x=2处的瞬时变化率为2。
师：注意上述(*)步，可以把“→”换成“＝”吗？
生：不可以。
师：以后，我们称这个瞬时变化率为导数。下面大家讨论一下如何给导数下一个确切的定义。
（注：至此学生基本上能大致说出导数的定义，只是用词上需要教师修正一下，在此不再赘述。）
师：函数在某点处的导数意味着什么？
（学生无语，迷惘地看着教师。）
师：太抽象了，能形象化吗？有什么手段？
生：函数图象。
利用几何画板演示：画出上述函数图象，在函数图象上另取一点Q，请学生分别指出△x、△y所对应的线段，接着拖动点Q，向点P无限逼近。
学生首先发现平均变化率
其实就是弦所在直线的斜率，当△x→0时，弦PQ就变成了切线，于是有学生惊呼原来导数就是切线的斜率。
师：是切线的斜率吗？你能验证一下吗？
（学生通过计算后，也就是根据一元二次方程根的判别式值为0来验证，再次表示信服。）
师：准确地说，函数在某点处的导数就是以该点为切点，与函数图象相切的直线的斜率。这就是导数的几何意义（如下图）。
5.回顾小结，思想方法整合
师：好的问题是只下蛋的鸡，人称哥德巴赫猜想是一只下金蛋的鸡，在数学家们努力寻找它的论证过程中，大大地推动了数学的发展。今天我们经历了“两幅照片→瞬时速度→导数”的实践过程，是我们的问题意识引发出来的；感受了“问题意识→发现
发现的一般方法，在问题的解决过程中学习了平均速度、瞬时速度、平均变化率、瞬时变化率（导数）及其几何意义等相关知识。
师：导数的定义及其几何意义是本节课的主要知识，同样我们“问题意识”一下，本节课还有未解决的问题吗？或者说有什么新的问题呢？
（此时投影幕上又出现了上图为背景的画面。）
生（沉默了一会儿）：这里的切线好像与函数图象不止有一个交点，与以前的想法有点矛盾。
师：那么切线是如何定义的呢？这个问题由于时间关系下节课我们再探讨。
（本节课结束。）
二、案例评析
这一节是导数学习的第一节课，根据教材（苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-2）》第一章）的安排，前面至少要有三节课的学习内容，才能进入导数概念的学习。我们从上面的教学过程发现，执教者进行了大胆的改革，循着“问题解决”的思路组织教学。这样安排应该来说有一定的争议性。下面笔者根据个人观点试作一个简略评析。
1.两种教学模式的对比
为了表述方便，本文把教材（苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-2）》第一章）中的教学安排称为前者，而把上述课堂教学安排称为后者。
(1)从教学内容安排看。
前者用一个课时引进平均变化率概念，接着用一个课时定义切线，再用一个课时解决瞬时速度、瞬时加速度问题，然后才转入导数的定义学习。
后者侧重问题解决，知识跨度大，采取删繁就简、直奔主题的方式。从上文可以看出一节课时间出现了平均速度、瞬时速度、平均变化率、瞬时变化率、导数等相关概念以及导数的几何意义，但侧重点在瞬时速度和导数的概念上。
(2)从教学过程看。
前者为了解决导数概念的难点，采取各个击破的战术，一节课解决一个知识分点（这里不能称为知识点，因为它们都是为导数概念这一知识点服务的），学生容易接受，学习起来比较轻松。
后者围绕一个情境问题，调动学生运用所学知识去解决，并在解决问题的过程中不断产生新的知识和新的问题，学生在学习过程中要不断地动脑想、动手算。但由于所设计的问题切合学生的实际生活，学生学习主动，积极性高。
(3)从学生的学习情况看。
前者基于学生对于导数的认知是从无到有的过程，一切从头开始，同时有效地回避以往导数的切入方式，即由数列极限，到函数极限，最后再到导数。学生带着空白头脑来，载着满满的知识回去，教师教学目标明确，易教，学生学习任务清楚，好学。
后者基于学生有一定的物理知识（对平均速度的认识）和一定的类比理解能力。课堂上要求学生能由物理上的平均速度到瞬时速度类比到数学上的平均变化率到瞬时变化率，进而归纳出导数的概念。课堂设问环环相扣，对教师的教学技能有较高的要求，学生学习有一定的延伸性。课是结束了，问题好像还没有完全解决，如最后并没有最终解决情景中的问题（照片模糊问题），以及曲线的切线问题等，这些都要学生进一步去思考。
德国生物学家海克尔曾经提出一个著名的生物发生学定律——“个体发育史重现种族发展史”。导数的发明是数学史上的一件大事，在对导数的理解上，许多大数学家都陷入过困顿、疑惑，对于今天的学生而言，当然也是一个学习难点。现代化信息论告诉我们，大脑在接受信息时，具体概念较一般概念要容易学得多。抽象的道理是重要的，但是要用一切办法使它们能看得见，摸得着（波利亚语）。本节课把教学的重心放在对具体例子的分析上，通过学生的感悟、体验，通过在学生的最近发展区设计一个又一个问题，使学生对导数概念的理解逐渐由模糊到清晰。在“心求通而不得，口欲言而不能”的愤悱状态中，学生始终有高昂的求知内驱力，处于一种“欢娱恨时短”的激情状态中。
2.如此教学设计的理论支撑
由前面对比我们还不能简单地判断这种教学设计是成功的创新，还是失败的冒进。让我们寻找一种成熟的理论来剖析这节课的各个教学环节。
(1)数学教学的主要任务。
美国物理学家劳厄曾说过，当一个学生毕业离开学校时，如果把学到的知识都忘光了（这显然是不可能的），那么，这时他所剩下的，才是学校教师在他身上进行教学的真正成果。毫无疑问，真正的教学成果是知识之外的东西，是能力，更是能力之上的智力素质，特别是思维的品质。
亚里士多德有句名言：“思维是从疑问和惊奇开始的，常有疑点，常有问题，才能常有思考，常有创新。”
《普通高中数学课程标准（实验）》中也强调：“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断……应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展‘数学建模’的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。”也就是教师应积极引导学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。
(2)“问题解决”在数学课堂内的运用。
数学开放教学已成为世界性的数学教育热点和数学教学新趋势，这种教学新模式着力发挥学生的自主性、能动性，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。心理学研究表明，现在的中小学学生的独立自主需要特别强烈，要适应这种心理特征需要一种创新教学。新课程也特别强调创新教学，问题解决教学体现了这种教学内涵，主要表现为教学在时间、空间、内容、方法等方面的进一步拓展。
在时间上表现为数学教学要从学生未来发展的需要出发，在传授知识的同时，更要侧重于学生科学思维方法的获取和处理信息能力的培养。使学生在离开教师、离开学校以后仍具有获取数学知识的方法和技能。
在空间上表现为数学教学应与社会、生活、实践广泛结合，要从教材内向教材外延拓、链接，接受有益信息，拓宽知识视野，增强动手能力。
在内容上意味着书本世界向生活世界回归，向儿童世界回归，尊重“儿童文化”，发掘“童趣”的课程价值，同时加强学科之间的联系和渗透，增强综合能力。
在教学方法上鼓励学生不畏师，不唯师，不唯书，不盲从，敢于大胆质疑。
毫无疑问，这种创新式的课堂教学必将为学生的创新精神和能力培养装上助推器，插上腾飞的翅膀，使学生最终拥有数学的基础性学力、发展性学力和创造性学力。也只有这样学生才能迈上自能发展之旅，从容不迫地去应对未来的各种挑战，
(3)在本教学案例中课堂变成了“问题”的集散地。
根据上述理论，我们可以看出本教学案例有诸多亮点，也反映出此种独具匠心的设计的过人之处。
由于学生长期以来习惯接受问题（常常由教师提出），学生发现问题的意识受到较大的抑制，一开始的“苹果落地”动画起到激发学生问题意识的作用，也暗示了本节课将打破传统，让学生真正成为课堂的主角。
一组生活中的普通照片，拉近课堂与生活之间的距离，也激发了学生的兴趣，接下来让学生提出问题。当然由于课堂的时间与空间的限制，这里多了执教者斧凿的成分，同时学生的问题意识被长期禁锢，实际教学中学生的问题没有发散开，并迅速进入教师预计的问题中来。否则在众多的问题中，让学生甄别出有价值的问题进行研究，更符合科学发现的实际。
在引起争论后，执教者展示了搜集好的资料（佐证“瞬间是静止的”的一方观点），这里也是课堂教学的局限性决定的。作为“问题解决”的一个重要环节，问题发现者的下一步行为是什么？搜集相关信息，这里信息应该包罗万象，如是否有人做过相关研究，一些相关知识的准备，更有与人交流的合作情景等等。执教者在这里采取了折中的办法，既让学生感悟了问题解决的一般步骤，又便于课堂教学的顺利进行。
“汽车碰撞”的视频，对学生形成了强烈的感官刺激，在学生快坠入“瞬间是静止的”的陷阱时，把学生推向迷惘无助的矛盾状态。“不愤不发，不悱不启”，起到承上启下，顺利引导学生进入下一个“问题解决”的环节。
把问题特殊化，使问题变得更明了，结论也变得那么显然，执教者没有让学生停止探索的脚步，而再激发学生“问题意识”，鼓励学生大胆质疑，一句“老师说的，就一定正确吗”，让学生有了不畏师、不唯师的勇气，扬起继续探索的风帆。
学生间的争执，反映了学生进入了“我是课堂的主体”的角色，同时由于思维的碰撞，闪现出“不断缩小位移差来逼近瞬间”的火花，尽管这一思想方法在物理学习中有所涉及，能迁移过来也实属不易。这里我们也看到学生“问题解决”的能力在适宜的环境和适当的情境中发挥得淋漓尽致。
特殊问题的解决思路，为一般性问题的解决提供了借鉴，学生稍作思考就可以动手解决。如何处理计算的结果是一个难点，这里执教者活用了教材中的处理手段，充分利用现代技术，把学生从机械的运算中解脱出来，使学生能集中精力观察、思考。在得出瞬时速度为-13.1m/s时，教师再次触发学生质疑，引发学生思考，探究这个数据的根源。一个个新的子问题产生，不断推动认识的深入，最终使学生顿悟出瞬时速度的意义，但这里执教者并没有要求学生给出瞬时速度的确切定义，而是通过练习进一步巩固对瞬时速度的认识，是舍小节取大义，让学生轻装上阵，继续奔向主题。
执教者由“平均速度、瞬时速度”转为“平均变化率、瞬时变化率”的处理方法，体现了数学来源于生活，又高于生活，是对生活现象的深入性的研究和一般性的概括。巧妙利用了逻辑上的类比推理和合情推理，把具体的实际演变为抽象的理论。
在得出导数定义后，执教者能及时捕捉学生的心理（撷取成功果实后，而不知是什么），引导学生利用图象，把抽象的概念形象化。在这里先让学生感知（看出是切线的斜率），再质疑，迫使学生利用所学知识验证，而后教师给出导数的几何意义的同时，为了培养学生的问题意识，刻意选用了一个背景图（案例中的图），为下节课的学习埋下伏笔。
执教者的课堂小结也别具特色，没有让学生进行知识点回顾，而向学生进一步阐明“问题意识”的重要性，同时重点带领学生一起回顾了解决问题的过程，最后再次引发学生思考新的问题（带着问题走出课堂）。
本节课从数学知识发生发展的关节点上、数学思想方法的概括点上和学生数学思维的症结点上提出问题，通过学生的交流、讨论，培养了学生的问题意识，而问题意识可以说是一个科学文化人必备的素养之一。
从总体上看，执教者始终以教学生如何思考、如何质疑为目标，以“问题解决”模式为线索，以激发学生兴趣为切入点，大胆创新，而又不规范地组织教学。此中争鸣之处在于如何打破课堂的时空局限，少一点教师引导，进一步放手让学生充分思考，组织学生形成合作学习的态势，长期以往必定能培养出一批善思维、能创新的学生来。