法国数学教材中的勾股定理：文化视角，本文主要内容关键词为：勾股定理论文,法国论文,视角论文,教材论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
如何在教材中体现数学文化，如何在中学数学教学中融入数学史和数学文化，今天已受到数学教育界的普遍关注。现行教材对于数学史和数学文化内容基本采取了“附加式”的呈现方式，数学史和数学文化在中学的境遇是“高评价、低应用”，很多教师虽有数学文化的应用意识，但深感“巧妇难为无米之炊”。他山之石，可以攻玉。本文从文化视角对法国数学教材中的勾股定理作一考察，以供教学和教材比较研究之参考。本文所说的“数学文化”，是从广义上来说的，包括数学史（直接的或间接的）、生活中的数学、趣味数学、数学与科学等。
一、数学文化内容
在法国中学数学教材Math 4e中，勾股定理安排在第10章。表1给出了其中的数学文化内容在各栏目中的分布情况。以下我们分别对其作介绍。
表1 数学文化内容分布
1.数学史
章头第一张卡片给出16世纪意大利画家拉斐尔(Raphael,1483～1520)的名画《雅典学派》的一部分，画中的毕达哥拉斯正在展卷阅读。
第三张卡片称数学上“证法最多的定理就是毕达哥拉斯定理，约有400种证法，其中包含代数方法和几何方法。美国一位总统伽菲尔德在年轻时给出了一种证明。”第四张卡片上称“3800年以前数学家就证明了毕达哥拉斯定理，远远早于毕达哥拉斯。最古老的证明刻在一块泥板上，属于公元前1800年的古巴比伦时期。”第五张卡片上讲的是一个故事：英国数学家伯里加尔(H.Perigal,1801～1898)用“水车翼轮法”（如图2）证明了勾股定理，他为自己的证法感到十分自豪，临终前要求儿子将其刻在自己的墓碑上。
正文的第一部分是“预备知识”，包括直角三角形斜边的识别，满足已知条件的直角三角形的作图、平方与平方根运算等。第二部分为“活动”。活动1中，先是用图形计算器作出直角三角形ABC（A为直角顶点），计算
；移动点B和C，观察数值的变化情况。接着，不用计算器，已知两边作直角三角形，猜想的大小关系。然后是定理的证明。早在第3章的习题里，就介绍了美国总统伽菲尔德的证明（如图3），并对伽菲尔德的生平作了介绍，还附有一幅关于伽菲尔德遇刺的绘画作品（如图4）。
本章采用了学术界推测为毕达哥拉斯学派当年用过的方法，如图5所示。活动2为定理的应用，并推出逆否命题；活动3让学生猜想逆定理。在“方法”部分，分别给出例题，介绍定理和逆定理的各种具体应用：已知直角三角形的两边，求第三边；证明一个三角形不是直角三角形；证明三角形是直角三角形；解实际问题：“如图6，一棵大树在离地6米处被大风折断，树梢触地，树根离树梢8米。假设树干与地面垂直，问：大树原来的高度是几米？”问题改编自古代中国的“大风折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何。”印度数学家婆什伽罗也有类似问题：32尺的竹子为风所折，竹梢抵地，离根16尺，求折断处的高度。
图6
Math 4e的第三部分为“习题”，共计73题，分“练习”和“深化”两类，两类问题中各含一道“梯子问题”。第1题：“如图7，为了和朱丽叶在一起，罗密欧用7米长的梯子。已知朱丽叶的房间的窗户离地5.6米，问：为了和朱丽叶在一起，罗密欧至少需要将梯子下端置于寓墙多远处？假设墙与地面垂直。”第2题：“如图8，马里乌斯的梯子下端距柯塞特家的墙6米。梯子上端距地面8米高，距柯塞特房间的窗户1.6米。为了和柯塞特在一起，马里乌斯至少需要将梯子下端朝墙移动多远？”
“梯子问题”古已有之，表2给出其中的一部分，上述两个问题（已知b和c，求a）均改编自古巴比伦问题和斐波纳契《计算之书》中的问题。
在探化题中，有一题要求证明毕达哥拉斯定理的逆定理。如图9，已知三角形ABC,AB=a,AC=b,BC=c，其中a，b和c满足
。过点A作AD⊥AB（点D和C位于AB的两侧），取AD=b，连结BD。(1)用c来表示BD；(2)证明A、B是位于CD的垂直平分线上，A、C和D三点共线；(3)给出结论。这里，教材运用了欧几里得《几何原本》中的证法（第1卷命题48）。
表2 历史上的一类勾股问题
图10
在深化题中，还有一题是对勾股定理的推广。如图10，分别以直角三角形三边为直径作半圆，得两个弓月形，其面积之和等于直角三角形面积。阅读材料“你知道吗”称：人们将证明归功于希波克拉底（Hippocrates of Chios，公元前470～公元前410），故将两个弓月形称为希波克拉底弓月形。
2.生活中的数学
章头的第二张卡片上，提出巧克力问题（如图11）：如果让你选择一块大正方形巧克力和两块小正方形巧克力，大正方形的边长等于一个直角三角形的斜边，而两个小正方形的边长分别等于同一直角三角形的两条直角边。问你如何选择呢？
Math 4e中的习题中，有5题涉及生活中的数学。其中一题如下：如图12，阿兰躺在自家花园的毯子上，他的头距信号发射塔底500m，塔高30m。问：信号传送距离最短为几米时，阿兰不用站起来就可以打电话？
深化题中，有一题是过马路问题：如下页图13，列奥纳多在十字路口要穿过相互垂直的两条街，第一条街道宽8米，第二条街道宽18米。由于时间来不及，列奥纳多沿对角线穿过十字路口。已知列奥纳多的速度为1 m/s，他有多长的安全时间？另一题为橱柜问题：如下页图14，天花板距地面高2.20m，橱柜的正方形底面边长为70cm，高2.10m。尼科尔在试图把橱柜竖起来时，自言自语说：如果选择底面边长为60厘米的橱柜就好了。为什么？试说明理由。
3.趣味数学
练习题中有国际象棋棋盘对角线长度问题。深化题中有两道动物问题。如图15，ABCDEFGH为一长方体水箱，AD=80cm,DC=56cm,AE=100cm。三只蜗牛同时从同一顶点H出发，分别沿绿(HA+AB)、蓝(HF+FB)、红(HC+CB)三条路径爬向点且问哪一只获胜？如图16，莫德家的院子是一个矩形DEFG，其中DG=27m,DE=36m，狗躺在点C处，猫躺在点M处。求两者之间的距离。
4.数学与科学
图17
在深化题中，有一题涉及地震知识。如图17，点F为震源，A为震中，S为观测站。从F发出的地震波有直达波（路径为FS），也有反射波（路径为FRS）。1991年1月19日，阿尔卑斯山发生地震，已知震源深度h=11km，震中至安纳马斯观测站的距离d'=63.3 km。(1)求直达波的传播距离FS；(2)反射波在直达波到达2.96秒之后到达安纳马斯观测站。已知阿尔卑斯山下岩石圈上部地震波的平均传播速度为6.25km/s，试计算地震波在2.96秒内所传播的距离li说明反射波传播距离L=FS+l；(3)设F'为点F关于直线d的对称点，证明F'S=L，并计算AF'；(4)求莫霍面的深度h'。
二、数学文化的运用水平
数学教材中运用数学文化，有其独特的教育价值。Math 4e中勾股定理的四项相关数学文化内容所对应的教育价值见表3。
表3
数学文化的教育价值
考察外国数学教材中的数学文化内容，目的是为中外教材比较研究服务。为了进行有效的比较，除了对于数学文化内容分布进行统计外，还需要对文化材料的运用水平进行划分，划分的标准是文化内容与数学知识的关联度。数学文化的运用方式有附加式和融入式两类，前者可以剥离，而后者不可以。表4给出Math 4e中勾股定理相关文化材料的运用水平划分情况。
表4 数学文化的运用水平划分
从表4可见，就勾股定理而言，Math 4e对数学文化的运用主要采用了融入式，达到了水平4。事实上，用图形计算器进行直角三角形三边关系的探究，并没有借鉴勾股定理的历史，不符合历史上勾股定理的发现过程（从特殊的直角三角形——等腰直角三角形入手）。
有了栏目分布与水平划分，就可以对中法初中教材中的数学文化内容进行定量的比较研究了。
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