平面几何是研究平面图形的性质和识别，是解析几何的基础，平面几何中的试题优美精巧，对学生的逻辑思维培养、智力开发功不可没。学生在解决平面几何问题是通过对图形的感性认识，利用已知的知识体系综合推究最终解决问题，在解决问题的过程中还会考察学生直觉和顿悟能力。本文章将利用解析几何中抛物线性质和平面几何中的特殊梯形，阐述笔者的思考。
一、特殊梯形的基本性质探究
直角梯形在平面几何中是一个很重要的研究素材，它对于培养学生直观想象的核心素养起到了重要作用，在学生前期的学习中，对于此类问题的研究已经非常透彻。直角梯形中还有一类斜腰等于两底之和的直角梯形，学生也早有接触。
这类特殊的直角梯形，笔者采用如下的作图方法画出：作圆A与圆B外切，切点为F，直线A1B1是两圆的公切线，连接线段AB，AA1，A1B1，B1B，则四边形ABB1A1为斜腰等于两底之和的直角梯形，笔者称这类梯形为特征梯形。
由图形易知，特征梯形中有如下等价结论：
1.以斜腰AB为直径的圆必与直角腰相切。
2.以直角腰A1B1为直径的圆与斜腰AB相切与F点。
3.∠A1FB1=90°。
4.∠A1AF(或∠B1BF)的平分线过线段A1B1的中点。
利用平面几何的知识容易证明这些结论，证明留给读者。
二、特征梯形融入抛物线的试题命制
特征梯形，同解析几何中的抛物线过焦点的弦有着深层次的联系，命题者时常抓住这点切入进行试题命制，使得命制出的试题精妙绝伦，处处都给人以美的享受。
在抛物线中，以抛物线y2=2px（p>0）为例（如图所示）：过焦点F做直线交抛物线于A,B两点，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1,则由抛物线的定义可以知道四边形ABB1A1为特征梯形。
设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,线段|FK|=p，用特征梯形的结论，在抛物线中可以编制如下试题:
编制试题1：过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为x0（x0≥ ），则|AB|= 。
此类试题，用到的特征梯形的定义，斜腰等于两底之和，命题者在命题时要注意线段AB的中点横坐标为x0，x0≥ 这个条件，这是因为抛物线中过焦点的弦长，最短为2p造成的。
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编制试题2：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，问：以弦AB为直径的圆是否与某条定直线相切？
利用特征梯形的性质，以斜腰AB为直径的圆必与直角腰相切，透过现象看到了提问问题的本质，得出答案，这条直线为直线x= 。
编制试题2的解答，解答者若仅利用解析几何中的知识，解决就很困难；但把这个问题放到特征梯形中，利用特征梯形的几何性质去解决，转换了解题维度和解题空间，不仅结论显而易见，解题时也会给人以赏心悦目的感觉。
利用特征梯形的定义和性质去解决抛物线中过焦点弦的问题，要求解答者具有较高知识迁移能力，对特征梯形的性质了然于胸，只有做到这样，碰到这类问题才能胸有成竹，游刃有余；解答者若想具备这种解题能力，需要一个长期积累和善于总结的过程，长期这样坚持还可以提高解题者的直观想象素养。
三、抛物线融入特征梯形的试题命制
在图2中，连接线段AB1和线段A1B，交于原点O，（具体解析证明可以参见：人民教育出版社选修2-2的例题）如图3。
上述问题转化到特征梯形中，可以解释为：在特征梯形中，过特征梯形的对角线交点，作上底或者下底的平行线段，交直角腰于点K，斜腰于点F，可利用解析几何的解析法，得到特征梯形隐性性质：
（1）|KO|=|OF|。
（2）∠A1FB1=90°（A1F⊥B1F）。
（3）若令A1B1的中点为H，AH⊥HB。
（4）∠HAF=∠HAA1，∠HBF=∠HBB1。
（5）A1F⊥AH，B1F⊥HB。
利用这类探究的知识，再去命制此类几何试题，会给编制试题的教师打开编题思路，试题的能力立意也会更高，试题也会更加的新颖。
上面的5种特征梯形隐性性质，也是特征梯形固有性质，但不通过解析几何的定性计算分析，很难直接通过观察推理得到，编题教师善于利用这些隐性性质，可以命制高观点下的几何试题，对于提高学生的直观想象能力很有帮助。
平面几何和解析几何，就其本质就是两个相辅相成的“知识空间”，同一几何问题，在不同的“知识空间”内都可以解答；但由于答题者接受的知识不同，思维方式也存在差别，所以选择的答题“知识空间”不一致，最终造就答题难度不同，答题思路也不同，解决时间也会天差地别，以至于答题者最后得分数不同。此类矛盾会贯穿答题者学习的整个过程，答题者也会随着知识面的拓宽，解题思路的选择也会慢慢的趋近统一，即在高立意下解决问题，更容易。
一道优秀的几何试题，不仅要求试题文字表述简洁，试题图形规范，更需要命题者给试题注入“灵魂”，这些“灵魂”实质上就是数学的核心素养；在几何试题命制过程中，要求命题教师融入直观想象、逻辑推理、数学分析等素养，要想达到这点，命题教师的命题立意要高，但对于考察知识的落脚点要低，要求命题教师要对几何的相关知识点要了然于心。
论文作者:舒登科 李平香
论文发表刊物:《教育学文摘》2020年4月总第334期
论文发表时间:2020/3/11
标签：梯形论文; 试题论文; 抛物线论文; 解析几何论文; 特征论文; 平面几何论文; 直角论文; 《教育学文摘》2020年4月总第334期论文;