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我思考数学。我也在想，别的学科是否也需要思考。我们的学科在封闭的体系中是否徘徊的太久了，在越来越细的小路上是否走的太远了。
一、引言
世界上有许多不具备物理属性的名词，人们经常议论，经常使用，可是静下来扪心自问，却又很难说清楚。数学就是这样。现代的数学已经深入到自然科学和社会科学的许多领域，比如数理生物（biology-biometrics），比如数理经济（economics-econometrics）等等，但是依然很难说清，数学到底是什么。有人这样说：
柏拉图：数学是现实的核心。
罗素：数学是这样一门学科，在其中我们永远不会知道我们所讲的是什么也不会知道我们所说的是不是真的。
《辞海》和《马克思主义哲学全书》：数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
美国国家研究委员会《振兴美国数学》：数学科学是集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一身的一门学问。这个领域已被称为模型的科学。
上述的说法似乎都不够确切。柏拉图把理性世界与现实世界隔离，认为永恒不变的关系只能存在于理性的世界。数学中的关系是不变的，因此数学与人对现实世界的知觉无关。正因为如此，数学才构成了现实世界的核心。在这点上，罗素同意柏拉图的想法，认为数学是一种没有内容只有形式的逻辑体系。反之，依据《辞海》的定义，数学必须依赖外部世界。而美国国家研究委员会的报告又过于模棱两可，仅仅是在远处观望数学。还是让我们先来回顾一下数学的历史，特别是数学产生时的历史，并注意到数学与哲学的关系，然后再来讨论数学是什么。
二、古希腊的数学：抽象和逻辑
毫无疑问，数学起源于生活，起源于外部世界。就像人们常说的那样，几何学来自土地测量，代数学来自复杂计算。但是这个程度上的数学，原则上说应当是经验的数学，因为这里面缺少理性。这就像古埃及和巴比伦，在公元前4000多年就有了文字，有了艺术，有了金字塔和空中花园，但我们不能说那时已经形成了科学或者哲学。这也像中华文化渊源于5000多年前，但我们很难说在春秋战国时代以前，中国已经创造了科学和哲学。
西方认为，是古希腊的文明首创了数学、科学和哲学。那是一个奴隶制度下的民主时代，大约从公元前600年开始，到公元前212年结束。是从泰勒斯开始的。关于其结束，罗素在他的《西方哲学史》中是这样写的，“罗马军队之杀死阿基米德，便是罗马扼杀了整个希腊化世界的创造性思想的象征。”罗马军队杀死阿基米德的故事，几乎是众所周知的。
许多哲学史的书，都是从泰勒斯开始的。而理性的数学，也是从关于泰勒斯的传说开始的。泰勒斯生年无考，但他预言过一次日蚀，天文学家说那是在公元前585年，那也应当是泰勒斯活跃的时期。
泰勒斯说，万物是由水组成的。这个结论正确与否并不重要，重要的是他指出了世界不是由神创造的，他的思想激发人们去观察，去思考。泰勒斯证明了等腰三角形的二个底角相等，他还利用金字塔的影长计算了金字塔的高度。因为一些传说，许多几何定理都归于他的名下。泰勒斯应当还是一个经济学家。亚里士多德的《政治学》中记载，泰勒斯曾在冬天的时候预测来年橄榄的丰收，于是用很低的价格租用了当地的全部榨油机。第二年果然丰收，到处需要榨油机，他便抬高使用费，赚了一大笔钱。据说他只是想向人们指出，哲学家如果想成为有钱人，是轻而易举的，但是哲学家的雄心，却在其它方面。在这里亚里士多德过于美化了哲学家。但是故事中关于期权和期货的行为，在我们今天的经济生活中却是依然存在。
第一个把几何学作为一门学问来研究的是毕达哥拉斯，那大约是公元前523年左右的事情。关于在平方距离下，刻划直角三角形三个边之间关系的定理，就冠以他的名字。至今为止，仍然在沸沸扬汤的费尔马大定理，与其有密切的关系。毕达哥拉斯学派把数学从实际问题中抽象出来，去掉内容，形成概念，进行演绎，从而创立了纯数学。这一点是人类思维的一大进步，古埃及和巴比伦没有做到这一点，古代的中国也没有做到这一点。
毕达哥拉斯学派非常清晰地证明了，三维空间只有5种正多面体。他们偏爱整数。他们认为圆和球是完整的。现有的资料表明，毕达哥拉斯第一个提出地球是球形的，指出行星是沿着圆形的轨道，以同样的速度运动着。因为他们认为只有这样才是完美的。他们体会到数学的美，领悟了宇宙的和谐，并用cosmos这个词来表示这个有序而和谐的宇宙。这也不难想象，当他们发现边长为1的正方形对角线的长是无理数（用整数的比不能表示的数）时，是多么惊慌失措。他们扣留了这个结果，不向世间发表。
欧几里德的《几何原本》使古希腊数学达到了顶峰。那大约是公元前300年左右的事情。在这本书中，欧几里德明确地表述了点、线、面这些几何学研究的对象并给出了定义，虽然这些定义有着物理属性的影子。比如，点是没有部分的那种东西，线是没有宽度的长度，面是只有长度和宽度的那种东西，平面是与其上直线看齐的那种面。但是这完成了对现实世界的直观抽象，给出了空间形式的框架。《几何原本》的核心是演绎和逻辑，从5条公理和5个公设出发得到467个定理。《几何原本》标志着人类已经学会从对大自然的观察中抽象出本质的东西，从一些假设的前提出发，通过逻辑的思索去探寻真理。
从泰勒斯那里，我们已经看到了数学与哲学的渊源。《几何原本》更是融汇了古希腊哲学，特别是逻辑学的精华。在欧几里德以前，演绎法作为一种论证的形式，已经被亚里士多德确定下来。其核心就是现今世界仍然有着影响的三段论，即大前提、小前提和结论三个部分。三段论包括四个格，最为本质的是第一格。第一格有以下四种形式：
全称肯定形：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。
全称否定全称肯定全称否定形：没有一条鱼是有理性的，所有的鲨鱼是鱼，所以没有一条鲨鱼是有理性的。
全称肯定特称肯定特称肯定形：凡人都有理性，有些动物是人，所以有些动物是有理性的。
全称否定特称肯定特称否定形：没有一个希腊人是黑色的，有些人是希腊人，所以有些人不是黑色的。
现在看来，亚里士多德的论证过于僵化，黑格尔认为亚里士多德的论证方法“不能用于发现真理”。但是亚里士多德规范了抽象的思维及其形式，在其中我们已经欣赏到数学的韵味。
《几何原本》影响之深远，在科学史上是首屈一指的。几乎所有的民族在回顾自己的科学史特别是数学史时，都把《几何原本》的翻译作为一个大的事件。牛顿是从读了《几何原本》之后开始了他天才的思维，两年后他发明了微分法的计算。本世纪最伟大的数学家希尔伯特建造了几何公理系统，用纯逻辑的符号语言取代传统的自然语言。在他的名著《几何基础》中，取消了点、线和面这些几何学研究对象的任何直观上的意义，认定只是形式的语言符号；并用介于、合同于和属于等词来表示研究对象之间特定的相互关系。给出了20条研究对象整体结构的公理，按照演绎规则建造了体系，实现了更高的抽象。《几何基础》使公理系统满足了三条基本原则，即完备性、独立性和相容性。其中最重要的是系统的相容性，为此希尔伯特在他著名的23个问题中的第二个问题“算术公理的相容性”里进行了详尽的阐述。1936年根茨使用超限归纳法解决了这个问题，最终证明了欧几里德几何的无矛盾性，历时2200年。顺便提一句，罗素在《我的哲学的发展》中，对人们只注意他和怀特海1913年出版的著作《数学原理》中的哲学思想，而忽略其数学上的贡献大为不满。他举例说，关于超限归纳法，在《数学原理》的第三卷中有过充分地讨论，但是没有引起重视。或许罗素把问题阐述的过于深奥，使人难以理解。但是不管怎么说，在本世纪，欧几里德的实质公理体系走向了希尔伯特的形式公理体系。
但是一个完整的体系的建立，必将引出一个意想不到但是在逻辑上却是成立的陷阱：以体系的公理为基础所作出的任何工作，不管多么复杂，都只不过是习题。因为给出的新的定理或者命题，在体系中本来就应当是存在的，只不过是在现在被证明了而已。
爱因斯坦是科学史上最伟大的奇才，他突破了传统的牛顿的物理体系。爱因斯坦之所以伟大，仅仅是因为他思想的朴素，朴素到再也不能化简的程度。他借鉴了欧几里德的思想方法去思考物理的问题，去探索宇宙的规律。他思考的出发点是单纯的：在宇宙中，无论何处都一律平等。也就是说，在大自然中存在一个共同的法则。在这个基础上，他给出了三个假设：宇宙中物质分布处处均匀；宇宙在所有方向看都是一样；光速是绝对的。他在这三个假设下去推演宇宙的规律。
上面的第三个假设看起来是荒谬的。因为小学的算数就告诉我们顺水行舟的道理，船的实际速度应为船速加上水流速度。那么我们在飞驰的火车上，顺着火车前进的方向射出一束光，不就得到比光更快的速度了吗？事实上就是办不到的。我们来看爱因斯坦的思考，爱因斯坦称之为思考的实验。
我骑着自行车来到十字路口，几乎与一辆横过的马车相撞。我急刹闸避免了事故。现在重新考虑这件事，并假定自行车和马车的速度都接近光速。如果你站在十字路口对面的马路上，通过阳光的反射，你看见我向你驰去。马车则是从你视线成直角的方向驰来。如果我的速度与光速相加，那么我的形象要比马车更早的到达你的眼中，你将在马车到达之前先看到我在刹车闸。而事实上我与马车几乎同时到达十字路口。那么哪一个是真正的事实呢？
从上述思考可以看到，如果光速不是绝对的，那么在“看见”这个意义上，在宇宙中将无法阐述两个事件同时发生，因而也谈不上无论何处都一律平等。而“看见”本身是有意义的，因为在我们生活的自然中，信息的载体是光。
在上述三个假说下，爱因斯坦把时间与空间联系在一起，大胆地构造了四维空间，并得出空间是弯曲的、是膨胀的结论。至今为止，天体物理学每一个新的发现，都在支持爱因斯坦的论断。在爱因斯坦的思维过程中可以看到逻辑的力量，看到数学演绎的力量。从而能够更深地体会到《几何原本》对于人类思维逻辑的贡献。
可惜的是，欧几里德以及古希腊的学者们过分地背离现实，在与现实相反的路上走的太远了。他们依赖于单纯的思考而藐视实验。从毕达哥拉斯开始，他们确信“自然的法则依靠单纯的思考就能引导出现”。据说有一个学生听了欧几里德的一段证明之后反问，学几何有什么用处，于是欧几里德叫进一个奴隶说：“去拿三分钱给这个青年，因为他一定要从他所学的东西里得到好处。”
古希腊的学者是固执的，他们鄙视经验因而轻视算术和代数，直至轻视关于数的运算，认为那些东西只是凭借直观而无理性可言。这里应当有一个更为深层的原因，就是因为他们解释不了无理数，建立不了关于数的体系。关于数他们无法进行那种严格的逻辑推理和演绎运算，于是就必须把这些排斥在数学之外。在这个思想之下，数与形将永远不能统一，因而一个和谐的数学结构将永远建立不起来。客观上，由于罗马人的入侵摧毁了整个古希腊的文明，因而也扼杀了数学的发展。事实上，由于过分地轻视经验，轻视直观，也必将阻碍数学的发展。正如爱因斯坦所说，直到文艺复兴时代的科学家把系统的实验同数学方法结合起来，才使得人们有可能精密地表达自然规律。
因此，从古希腊数学的产生与发展看，柏拉图或者罗素的定义是不全面的。数学并不仅仅是独立于经验的抽象物，这是因为只有逻辑体系的数学是无法进一步得到发展的，数学必须依赖于外部的经验。
三、古代中国的数学：现实与计算
与古希腊恰恰相反，古代的中国对于数以及数的运算格外感兴趣。殷周甲骨文上已经明确刻记了十进位的数字，并且确切地抽象出十、百、千和万这些数位的记号。这大约是公元前12世纪左右的事情。这可能是现代广泛使用的十进位的先驱，因为在巴比伦使用的是60进位，而古埃及人虽然很早就建立了十进位记数法，却没有抽象出数位记号。
中国古代数学发展的动力是现实的需要，这需要主要表现在两个方面：一个方面是对未来可能发生事件的预测，另一个方面是对生产以及生活的管理。
中国人从古代起就是现实的，他们并不过多地相信超自然的神，而宁可相信自然本身。中国人认为，在冥冥深处有一个自然的法则即道的存在，这个法则能够决定人或者事件的未来，因此人们热衷于探寻这个法则，热衷于窥视事件的未来。这促进了占卜学的发展，其集大成者便是列五经之首的《周易》。
大部分专家认为《周易》成书于春秋战国，那也是一个奴隶制下的民主时代。《周易》至少是几百年甚至上千年占卜经验的积累。其出发点也是非常朴素的，即阴阳之说。万物由阴阳而生，是中国传统的看法。《老子》中有这样的话“道生一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴而抱阳，冲气以为和”。道是自生的，是原本。由此“一”分为阴阳二气，这二气之和为冲气，这三气则生成万物。这思想或许受生物繁衍的启发，或许受日月交替的感召。这种思想是地球上人类的自然产物。无法知道，如果别的星球上也有高级生物的话，是否也会自然地产生这种一分为二，二生无穷的思想。我们还没有发现其他星球上的生物，但是美国海盗1号火星登陆的成功却为这种思想找到了新的证据。科学家在火星上发现了活性黏土，其复杂的活性表面能吸水并排出气体。可以想像，在地球上出现生物之前，地球的土中也发生过类似的化学反应，在生物诞生时，这种反应被吸收到生物体内。呼吸应当是生物学中的阴阳之说。
在《周易》中，用长横“—”表示阳，对应于数字的奇数；二个短横“－”表示阴，对应于数字的偶数。在阴阳中，有放回地取三次合成一卦，可用长短横表示，共有2的3次方8种不同的组合方法。八卦中每两个分别叠合，又可组成8的平方64个别卦。每个别卦又对应于6种解释，用现代语言说，对应于6种现实行为的模型。《周易》就是解释这些模型的。
在《周易》中我们看到了组合数字，看到了二进制布尔代数的雏形。特别是建立模型的思想，是近代数学的思维。在这个意义上，《周易》实在是高深莫测。
《周易》在哲学上是有建树的，其代表是孔子博大精深的解释《周易》的著作《系辞传》。但是在数学上，在预测理论上却是失败的。从古到今，延续几千年，许多人都期望在《周易》中探知未来的命运，其实他们得到的至多是精神上的安慰。现在社会上流行双日结婚，如果依据《周易》，双代表的是阴，如此这般，现代家庭中的阴盛阳衰或许与双日结婚多少有些因缘。
中国人对数字是崇拜的，他们把数字与自然万物，与悲欢离合相联系。但是，中国人不太喜欢通过逻辑把思维系统化。虽然《周易》使用了二进制，但是直到二千年后德国的数学家莱布尼兹看到了八卦，大为惊叹并进行了条理化的研究，才真正地建立了二进制。众所周知，二进制是现代计算机科学的语言。
《周易》把自然万物与世间行为进行归类，通过数字建立模型，并用这些模型去预测，其思想方法是极为宝贵的。当代的许多科学家称数学为模型的科学，其原始的提出应当归功于《周易》。但是《周易》中的预测实在是太僵化了，全然不顾对象的特征，不利于相关信息，完全凭借偶然。可能他们认为预测与被预测对象之间有灵气相通。可是再继续一次同样的预测时，得到同样卦的可能性仅为64分之一的平方即0.00024，实在是太小了。如果能连续二次得到同样的卦，真是只能相信天命了。
中国古代数学的代表应首推《九章算术》。大约成书于西汉年间，作者不详。这本书体现了中国数学的传统，一切为了实用。全书通过解246道应用问题来说明田亩应用怎样计算，应当怎样记帐，怎样分析盈亏等等。解法是规范的、清晰的，但是没有更多的抽象，没有任何逻辑上的推理。其中最抽象的是关于勾股定理，书中写到“勾股各自乘，并而开方除之，即弦。”其中勾和股分别代表直角三角形的二个直角边，弦代表斜边。上述勾股定理当然是正确的，但是没有给出证明，只是用其解决了二十个应用问题，或者说用实例来论证其正确性。直到东汉末年赵君卿在给《周髀算经》作序时，才用图形的方法证明了勾股定理。像拼七巧板那样，用四个红色的直角三角形和一个黄色的小正方形，拼成一个大正方形，利用面积相等阐述了这个定理。方法直观简捷，令人叹为观止。可是这种一味凭借经验的思维模式，使人总觉得缺少些东西。到底缺少些什么呢？
中国传统数学在宋朝达到顶峰，其中代数学的结果遥遥领先于欧洲。关于二项式系数的杨辉三角形，《数书九章》中关于剩余定理、关于高次方程求解的方法，至今仍然是辉煌的。《数书九章》的作者是南宋的秦九韶，他利用81道应用问题去解决九大类问题，包括天文历法、田亩计算、几何测量、赋税征收、仓库储粮等等。可以看到整个体系的原则依然是实用，是在经验的大海中漫游，始终没有跳到理性思维的岸上来。
实用型的研究，贯穿了整个中国古代数学。我们看到的是零散的，是与土地，与粮食融化在一起的数学。这种无抽象，无明确定义的数学，是无法借助逻辑推理的，是无法上升为理性的，因而也不会得到更好的发展的。由此可见，《辞海》和《马克思主义哲学全书》中关于数学的定义也是不全面的，数学仅仅描述现实世界是不够的。
四、数学是什么
在对东方和西方数学起源的探讨中我们知道了许多事情。为此，我们称颂大自然的和谐，称颂大自然对人类思维的启迪和教诲。大概是历史的巧合，在公元前400多年前，在爱琴海沿岸和黄河之畔，这两个相距遥远的土地上，分别产生了科学和哲学，与其相随的也产生了数学。都是千年以上的文明的结晶，都是在奴隶制度下的民主时代。
也许是因为地缘的差异，也许是因为商业与耕种这两种生产方式之间的不同，在这两块伟大的土地上蕴育的传统和思维大相径庭。一个赞美神明，偏爱抽象、辩论及逻辑；一个崇尚自然，依赖经验、实用及运筹。毫无疑问，这些都深刻地影响了数学的产生与发展。我们已经论及到，无论是古希腊之路，还是古中国之路，都不可能引导数学走的很远。因为一个缺乏外部世界实践的活力，一个需要内部世界逻辑的动力。
现在，我们似乎可以比较确切地来描述数学了。数学是什么呢？数学是对现实世界的数量关系、空间形式和变化规律进行抽象，通过概念和符号进行逻辑推理的科学。数学与现实若即若离，一方面，数学解决自身逻辑的矛盾得到发展；另一方面，数学又必须通过与外部世界的接触汲取活力。特别是在现代数学中，对变化规律和模型的研究，更需要随时得到外部世界的经验。
事实上，逻辑推理本身也应当是外部世界的反映。原则上，每一个人都可以建立自己的逻辑体系。世界之大无奇不有，逻辑体系应当是千差万别的。可是在地球上，关于数学却可以建立一个共识的逻辑体系，利用这个体系进行演绎推论。至今还没有发现这样一个命题，是因为逻辑体系的不同而引起人们争论不休的。非欧几何是因为公理假设的不同，伽罗华域是因为对新概念的不理解，罗素悖论是因为对集合本身定义的模糊。只能得到这样的结论：我们的逻辑体系是这个地球上事物之间相互关系的产物。因为这些相互关系在地球上是一致的，使得我们有可能建立一个共识的逻辑体系。逻辑体系应当是数学的核心，但是逻辑体系不是数学的本质。
我们回顾一下文艺复兴后数学的发展，并借此检验我们关于数学的描述。
欧洲的中世纪是黑暗的。欧洲的中世纪是漫长的，也是短暂的。人类有文字记载的历史大约有五千年了，中世纪占据其五分之一，可谓漫长。在这漫长的岁月里，人类的生产方式和生活方式、科学和哲学均无大的变化，在科学史或哲学史中，几乎只需一页便可翻过，可谓短暂。在中世纪，哲学的主要任务在于论证上帝的存在，科学则被禁锢在托勒密的地心说之中。如果地球是静止的，那么地球也是寂寞的。
这漫长的寂寞孕育了巨大的能量。先是商业的兴起，富商阶级的形成，然后是新大陆的发现，再后是工业革命到来。沉闷的欧洲动了起来。
哥白尼的地动学唤醒人们重新思考科学的含义。在分析了大量的观测数据后，开普勒惊奇地发现行星运行的轨道是椭圆的，这完全击破了圆是最完美的这个几千年的传统观念。人们开始怀疑过去，人们开始自己去创造未来。这时大自然又在不断地启发人类，一个苹果落在了牛顿的头上，于是这个大脑悟出了万有引力。抽象被引进了物理学，一个看不见摸不着的力出现在物理学的词典中。另一方面，开普勒的同时代人伽利略开辟了科学实验的先河，确立了一个崭新的研究方法。既然过去说的不一定对，那么就清晰地研究现实吧。为了观察天体，他自制了高倍望远镜，发现了太阳的黑子，月亮表面的深谷；为了研究自由落体，他登上了比萨斜塔；为了揭开重力加速度的秘密，他设计了斜面刻度实验。于是理性的思维与科学的实验结合在一起，人类开始有目的地去探索大自然的规律。
在文艺复兴的大潮中，哲学与数学又一次走到一起来了，其代表人物就是笛卡尔。受物理学和天文学中新奇发现的影响，笛卡尔给哲学和数学带来了新鲜的空气。他提出了怀疑论，但他相信物质的运动是有规律的，是客观存在的。他重新规范了演绎法并骄傲地说：“我思故我在”。我们已经看到，新科学的本质在于对动态的研究，星体在空间位置是变化的，落体随时间是变化的。为刻划这些，笛卡尔引入了坐标。于是数与形被合为一体，一个方程与平面上一条曲线相对应，代数与几何结合起来了。虽然笛卡尔本人并没有意识到他的工作的重要性，但是就在这不知不觉中，一个新时代的数学开始了。
微积分的产生标志着数学进入了一个全新的时代。因为变量被引入数学，人类开始思考如何通过计算来描述自然的规律，比如运动方程中的瞬时速度，开普勒第二定律中曲线下的面积，圆周运动中的角速度与切线曲率等等。笛卡尔的解析几何，费尔马关于极值的讨论，为解决这些问题作了必要的准备，但是问题真正的解决，还需要一个创造性的思维，一个全新的方法。因为必须迫使变量进行非常规性的变化，即极限变化及随之而来的无穷小的分析。这个变化导致一个新的概念，变化率即导数的产生。今天我们已经知道，运动方程的导数是速度，速度的导数是加速度。我们也知道，曲线的曲率可以用导数来刻化。这关键的一步是由两位伟人牛顿和莱布尼兹完成的。
由于微积分的出现，使得人类恍然大悟，发现了数学的无穷奥秘，发现数学也可以创造，于是出现了非欧几何，出现了微分方程、群论、集合论、分析基础、概率论与数理统计。数学得到了长足的发展。
可以看到，我们对于数学的描述基本上是对的。正因为对现实世界的进一步的抽象，引进了变量的概念，建立了微积分，使得数学在内部逻辑中得到了突破性的发展。可是现代的数学，是不是在内部逻辑体系中停滞的太久了呢？
五、纯数学的批判
我们已经看到，数学产生于现实世界，是对现实世界的抽象。但是数学可以在内部逻辑的世界中得到发展，近百年的数学史充分地说明了这一点。数学家们忙于修补体系，津津乐道地去解决猜想或者提出一些新的猜想，在解决猜想的过程中又努力去构造出新的体系。特别是近些年来，一些理论物理学家和理论化学家们在数学中找到了他们的语言和工具，称颂纯数学的前瞻性，更引发了数学家们的激情。于是近百年的数学极为活跃。
这里必须强调的是，即便数学可以在内部世界中得到发展，但仍然是在现实世界的影像中。正象我们在第四节中论述过的那样，逻辑等数学依赖发展的基础是我们生活的大自然的反映，是我们生活经验的结晶。我们对逻辑体系顶礼膜拜，并且希望借此来说明无穷的宇宙。但是，我们并不知道，我们的逻辑体系是否可以在宇宙中任意遨游而通行无阻。回忆爱因斯坦朴素的假设：在宇宙中无论何处一律平等。平等意味着什么？逻辑体系是否也属于平等的范畴？为此，必须清楚我们的逻辑体系的根基是什么，必须明确这些根基在宇宙中是否是原本的。我们希望爱因斯坦朴素的假设是正确的，希望整个宇宙是一视同仁的。那样的话，我们似乎可以借助逻辑与宇宙对话。
非常遗憾的是，就是在地球上，我们的逻辑也会引起矛盾。我们必须小心谨慎地使用逻辑。在讨论近代数学最为基础的概念集合时，人们发现了悖论。罗素曾用理发师的故事生动地阐述了这个悖论。在一个村庄里有一位非常自傲的理发师。他宣称他不给自己刮脸的人刮脸，但给所有自己不刮脸的人刮脸。有一天他发现自己陷入了困境：他是否应当给自己刮脸？要是给自己刮脸，按他声明的前一半，他不应当给自己刮脸。可是他如果不给自己刮脸，那么按他声明的后一半，又必须给自己刮脸。逻辑在这里出现问题了，庞大的数学体系的基础在这里动摇了。数学家为此恐慌，为此争论不休，可是直到今日，依然是无法摆脱这个困境。虽然尴尬，数学家们仍然在使用着集合的概念，仍然在这个基础上建造着逻辑的大厦。
我们曾讥笑孩子，孩子计算在场的人数时常常漏数自己。其实在某种意义上孩子是对的，因为孩子数的是他看见的，孩子看不见自己。因为他看不见，所以他体会不到他自己的存在。笔者认为，“我本身”这个命题是逻辑上的盲点。我们可能会很坦然地评述他人，可是涉及到自己则经常会出现逻辑上的混乱，条理的思维也会出现迷茫。在理发师的故事里，理发师本身就是逻辑上的盲点。在讨论集合时也是这样，或许不应当把所有集合构成的东西作为集合进行研究，因为必须把自己本身放在封闭系统的外面。这便是地球上的逻辑。
不管怎么说，凭借逻辑的威力，我们已经营造了一个相当庞大的数学体系，并且这个体系可以无限制地膨胀下去。数学杂志的不断增厚，每年新刊的出现就是一个佐证。现代数学的研究领域越划分越细，越来越专业化。人们不断地在制造新的符号，在各种假设的前提下，利用逻辑去构造问题，并且利用逻辑去解决刚刚构造出来的问题。于是今天的数学已经发展到这种程度，一个专家只能在一个领域中工作，而无法对其他领域的研究有较为深入的探讨。不仅如此，就是在他工作的领域中，也只能在一两个方向上有所建树，而对其他方面至多是有所了解。这不仅是隔行如隔山的问题了。
我们又一次陷入了困境，逻辑体系本身是一致的，只是因为符号的不同，逻辑前提不同，共同语言就消失了。这显然是不合理的。数学通常被描述为严密的、清晰的、有条理的，可是为什么我们现在统观数学时，数学又是这样杂乱无章了呢？我们必须从某一个领域中跳出来，甚至从数学中跳出来，重新审视我们的学科，重新规范符号，重新运用逻辑来统一我们的学科。否则的话，我们生存的地球将容纳不下这个无限膨胀的体系。数学是这样，别的学科呢？我们有一个时髦的词，叫做信息大爆炸。这并不是一件好事情，这只是对于我们现阶段人类的无条理性的一种回报。事实上只有简单和自然才能真正体现美，真正体现和谐。
另一方面，现代数学几乎渗透到各个学科领域，包括古板的历史学和严肃的法学。这是因为社会正在逐渐走向理性，分析手法逐渐走向定量化。我们在各个领域建造模型，利用模型去归类，去分析，去预测。这是一个极好的思想方法。正如我们在分析《周易》时谈到的那样，从远古起，人类就希望探知大千世界中的法则。由于计算机和通讯技术的发展，这一希望在今天有可能成为现实。可惜的是，现在的渗透原则上是单向的，是从数学的概念出发，遵循的也是数学的体系。事实上，我们应当返朴归真，应当在历史学或者法学中去抽象，并且在其中进行逻辑推理。当然要借用数学体系中的已知结果，但那是次要的。我想，总有一天我们会做到这一点，而且我们得到的新的体系依然应当被划归在数学的范畴，因为是符合第四节中我们给出的关于数学的定义的。
在上述意义上，数学不仅仅是一个学科，而应当是一类科学，应当游离于自然科学和社会科学。在这个意义上，数学应当是有内容的，虽然抽象与逻辑是其核心，但是内容却是其赖以生存的土壤。这或许也是未来数学可能得到飞速发展的基础。
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