随机固定给付下的养老金模型，本文主要内容关键词为：养老金论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O212.2文献标识码：A
引言
养老金计划是保险中非常重要的组成部分，每个人都必须为自己退休后的生活来源进行安排，在退休后能够连续保持过去的财务水平是非常重要的目标，但同时也非常困难。为了实现这一目标，则应该有计划、假设、基金等一系列问题。养老金计划有两种，固定给付计划（DB）和固定缴款计划（DC），固定给付计划是利用公式提前确定退休给付，则每个参加计划的被保险人应缴纳的款项可以明确确定。显然，退休收益在退休前是无法准确了解的，为了能够达到退休是固定给付，计划资助者的缴款数额也会随着实际情况而变动，固定缴款计划是提前确定养老金参加者和资助者每年应缴纳的金额，未来的退休给付是到期缴款金额和投资收益的函数。
对养老金的研究，一般主要对养老金模型和养老金的基金管理进行研究，Boulie，N.L.等（1986）（见文献[1]）就对养老金基金积累做了全面的阐述，其中给付假设为时间t的连续函数P（t）；Josa-Fombellida等（2001）（见文献[3]）在假设管理者的目标是最小化缴款率风险和偿付能力风险的组合下的养老基金的管理问题；Paolo Battocchio等（2003）（见文献[4]）对随机框架下的最优养老金管理进行了探讨，文中假设利率、通货膨胀率是随机的，基金投资于债券市场和风险市场，最后利用HJB方程解决了随机最优控制问题。这些对固定给付计划的讨论中，假设最后的退休给付都是固定的常值，而事实上，在精算成本法下，未来待付养老金给付不是在到达退休年龄时一次性确认的，而是在计划参加者的工作期间就逐步予以确认。
本文在假设退休给付P（t）是随机的情况下，对养老基金的积累进行了讨论，并给出了养老基金在不同的投资策略下的基金所满足的随机微分方程。
一、基本函数与模型
用F（t）表示在时刻t的养老基金；C（t）表示缴款率；NC（t）表示正常成本；AL（t）表示精算负债，与正常成本相联系的概念，在初时时刻为0，而逐步积累为退休后所有养老金给付的准备金；UAL（t）表示未偿精算负债，是精算负债超过基金的部分，即UAL（t）=Al（t）-F（t）；SC（t）表示附加成本，即SC（t）=C（t）-NC（t）；P（t）表示退休给付。
假定参与者进入计划时间为a，退休时间为b，养老基金按利息力δ积累。
根据Boulier，N.L.等（1986）引入积存函数M（x），表示未来给付的精算现值按精算成本法在x岁时应计的精算成本比例。M（x）是非减右连续函数，且0＜M（x）＜1，M（a）=0，M（b）=1。通常M（x）连续且可以表示为
其中非负函数m（x）称为养老金积存密度函数，通常，当x≤a或x≥b时，m（x）=0。
给定概率空间（Ω，
，P），其中F=｛F｝[，t≥0]是布朗运动｛B（t）｝[，t≥0]生成的σ-代数流，P是概率空间Ω下的概率测度。
假设给付满足随机微分方程
dp（t）=μp（t）dt+σP（t）dB（t）（1）
其中μ∈
，σ∈[，+]，初始条件为P（0）=P_0，P_0是一随机变量。我们可以得到如下简单结论：
命题 在退休给付满足方程（1）的情况下，有：
（1）精算负债AL（t）和正常成本NC（t）服从几何布朗运动，且与退休给付P（t）有如下关系
（2）AL（t）、P（t）、N（t）满足如下随机微分方程：
dAL（t）=（δAL（t）+NC（t）-P（t））dt+σALdB（t）（2）
证明：（1）在时间t，介于x和x+dx之间的成员在b-x年后的期末精算负债为E[P（t+b-x）│F[，t]]dx，对于积存函数和积存密度分别为M（x）和m（x）的精算成本方法，在时间t介于x和x+dx之间的期末（b-x年末）精算负债为E[P（t+b-x）│F[，t]]M（x）dx，正常成本为E[P（t+b-x）│F[，t]]m（x）dx所以精算负债和正常成本现值分别为
（3）
再利用性质（1）即得。
式（2）表示精算负债的变化由它所产生的利息、正常成本、随机波动和退休给付引起，若将精算负债视为一种基金，则该基金的变化等于利息收入、正常成本和随机收益之和减去期末的退休给付。
二、养老基金风险管理
养老基金的管理问题是养老金计划中一个非常重要的课题，对养老金的投资有多种渠道，可以投资于无风险市场（如债券市场），也可以投资于风险市场（如股票市场），如果养老金投资于多个市场，自然而然就引出投资组合的选择问题，要解决这一问题，就必须搞清楚各种市场的价格变化模式，如下考虑将养老金同时投资于一种无风险市场和一种风险市场的情形。
通常假定无风险市场价格和风险市场价格变化满足如下方程
dS[，0]（t）=rS[，0]（t）dt，S[，0]（0）=1
dS[，r]（t）=S[，r]（t）（γdt+θdW（t）），S[，r]（0）=s[，r]
这里假设布朗运动W（t）与B（t）独立，并假设投资于风险市场的养老金数额为F（t）。从而，养老基金满足如下微分方程
dF（t）=[（r（F（t）-π（t））+C（t）-P（t）]dt+π（t）（γdt+θdW（t））
=[（rF（t）+π（t）（γ-r）+C（t）-P（t）]dt+π（t）θdW[，t]（t）
利用式（3），得
dF（t）=（r（F（t）-π（t）（γ-r）+SC（t）+（μ-δ）AL（t））dt+π（t）θdW（t）（4）
由上面的微分方程可知，可控变量为SC（t）和π（t），又如同前面所述，假设决策者关心的是缴费率风险和偿付能力风险，令
其中β表示决策者对时间效应的反应程度，即若β越大，决策者越关心离评估日更近的时期，对相隔较远的时期关心程度较小，视决策者而定；0≤k≤1，表示决策者对偿付能力风险和缴费率风险的权重因子，视决策者而定；δ为评估利率，一般选择δ=r。
由前面叙述可以看出，养老金的风险管理问题归结为一个最佳控制问题，目标函数满足式（5），条件为（4），利用Hamilton Jacobi Bellman方程（简称HJB方程）可以得到如下定理：
定理 在假设（1）和δ=r下，如果β-2μ+σ＞0，则附加成本为
其中α[，1]为方程（6）的唯一正解。
要保证V（F，AL）就是我们要求的解，需要检验如下条件
三、结论
在假设退休给付为随机的情形下，我们给出了与养老基金积累相关的基本函数的性质，与以前的结论基本上是保持一致的，另外，在假设利率固定的情况的下，对养老基金的投资问题进行了探讨，要收取的附加成本等于未偿精算负债的一个比例，这与spread method方法是一致的，另外，投资于风险市场的基金金额也是本偿精算负债的一个比例，比值为（γ-r/θ[2]），如果未偿精算负债较多，则相应增加风险市场基金的投入，另外，在未偿精算负债不变的情况下，若风险市场的收益高（γ大），风险低（θ[2]小），则可以增加风险市场的投资，这一点与实际是很符合的。
（摘自《统计与决策》（武汉），2005.5）
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