立体几何教学中培养学生主动学习的三步曲，本文主要内容关键词为：立体几何论文,三步曲论文,学生主动论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
立体几何是中学数学中最需要学生倾注学习热情的章节，本文就结合立体几何的教学谈谈培养学生主动学习的三步曲。
一、精心设计问题，启迪学生心扉
第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授，而在激励、唤醒、鼓舞。”注意问题情境的创设和意境的展现，造成某种气氛和环境，然后启迪学生分析问题，激励他们产生解决问题的欲望，唤醒他们为解决问题而不断思索。从解决问题中得到乐趣和鼓舞，那么就能诱发学生的思维和情景的交融，达到师生共赏的美妙境界，同时不断地提出新的问题，对激发学生深入思索，具有良好的启迪作用。
今年有幸帮一位教师代课，恰逢复习立体几何中直线与平面的位置关系。该班是史地班，大多数是女生，她们反映对立体几何有畏惧心理，为此首先精心设计了下列说词：大家先来猜一个谜语：一人站起，身高多少？——打一数学名词。学生一下子就兴奋起来，一位学艺术的男生很快回答出：立体几何！在学生的一阵掌声中，我立刻宣布他就是班里的“立几王子”，并激动地说去年一位学体育的学生成为了“立几王子”，他的立几基础几乎为零，但后来他迷上了立几，并且欲罢不能，爱上了数学，最终高考数学考了121分。我用不容置疑的语调，点燃了学生学习数学的信心。今天我们复习的内容“直线与平面的位置关系”正是立体几何中的黄金内容，从现在起我和这位“立几王子”以及在座的每一位就成为黄金搭档，首先将立几拿下，大家有没有信心？学生的学习热情立即高涨起来，异口同声地说“有”。这样的教学氛围连我自己都被感动，但是如何保持这份热情，下面的设计就更显重要。我的想法是：第一节课一定要从理解出发，打好扎实的基础。教学设计如下：
问题1 全等的两个矩形ABCD和ABEF的对角线。AE、BD上分别有点P、Q，且AP=DQ，求证：PQ∥平面BCE。
引导1 解题的过程就是寻找条件和结论的差距，并且不断缩小差距，直至消失差距的过程。
引导2 矩形条件能提供哪些信息？条件AP=DQ又有何用？如何判断直线与平面平行？
引导3 直线与平面平行的定义不便使用，那直线与平面平行的判定定理又是如何描述的？
引导4 欲证PQ／／平面BCE，如何在平面BCE内找一直线或作一直线与直线PQ平行？
通过层层引导，开启了学生的思维，认识到分析问题的一般程序，同时很自然地复习直线与平面平行的判断定理和性质定理。
判断定理剖析 定理中有三个条件一个结论，属“三导一”型定理。条件书写规范：两交待一证明，即：“面外一线面内一线要交待，千万不能耍无赖，线线平行要证明，降维思想记心怀。”
性质定理剖析 定理中也有三个条件一个结论，也属“三导一”型定理。条件书写规范：一作一交待一证明，即一作面面交线，一交待线在所作面内，一证线面平行。
至此学生已认识到本题需要利用性质定理来逆向分析。过PQ作平面与平面BCE相交，若交线记为MN，就应有PQ与MN平行。反之只要作出过PQ的平面与平面BCE的交线MN，设法证明PQ与MN平行也就行了。于是判定定理的使用关键在于将寻找线线平行转化为寻找或求作面面交线问题——就易被学生所接受。问题1的焦点已化为：如何过PQ作平面与平面BCE相交问题（本节课由面面平行导出线面平行暂不讨论）。
引导5 确定平面的途径有哪些？两平行线行吗？两相交线呢？面面交线又如何产生？
经过讨论学生顺利地找到了两种解决问题的方案，书写规范环节经过示范也成功突破。
变式1 M、N分别为三棱锥P-ABC侧面三角形PAB和侧面三角形PAC的重心，求证：MN∥平面ABC；
变式2 a∥α,a∥β,α∩β=b，求证：a∥b。
学生通过变式训练充分体会到了成就感！对于后进生一定要及时给予关心与帮助，千万不能听之任之，要舍得花时间，最起码作为班级的教学环境，你也要“理会”他，这样教师就能为学生主动学习建立了大后方。
二、设计探索平台，享受成功喜悦
数学既是一个充满矛盾的统一体，又是一个具有多方面联系的有机整体。因而教师在教学过程中要善于引导学生进行探索，给学生探究性的问题，这样的问题能启发学生思维的灵活性、逻辑的正确性，也有利于培养学生思维的深刻性。教师要善于设疑，以激发学生对问题的探索。朱熹说过：“读书无疑者，须教有疑，有疑者，却要无疑，到这里方是长进。”足见设疑、释疑是探索人生、获取知识、增长才干的重要途径。据此，再设计了下列的探索性问题。
问题2 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为AB中点，在PC上是否存在一点F，使得EF∥平面PAD?
图1
探讨1 你能直观猜测点F的位置吗？若F是PC的中点，你能证明它符合题意吗？
回答是肯定的，问题2就转化为问题1了。
探讨2 能否理性探索出F的位置呢？
执果索因：假设EF∥平面PAD，过直线EF可作与平面PAD的相交面或平行面，作相交面有两种。
一是利用两平行线确定一平面。如过F作FG∥CD，与PD相交于点G，连AG，就应有EF∥AG，从而应满足AEFG为平行四边形。因此FG∥AE且FG=AE，从而获知F是PC的中点。由此探求出点F的位置。
二是利用两相交线确定一平面。利用以静制动的观点，选择过EF的平面PEC，平面PEC与平面PAB已有一公共点P，注意到AD和CE的交点Q也为两平面的公共点，所以EF只要与PQ平行，F点就合题意。由平行线截得线段成比例知F为PC的中点。当然选择AB与EF两条相交线来确定平面，也能分析出F的位置，可让学生自行比较，自我感受一下。
在利用降维思想做过后，鼓励学生考虑升维思想，即利用面面平行推导线面平行。事实上，此法操作性很强，只要以静制动，过定点E作AD的平行线交CD于中点G，再过定点G作PD的平行线交PC的中点，此点即为需求作的点F。此作法的根据是正确命题：一平面内的两相交直线分别平行于另一个平面内两直线，那么这两个平面平行。但是教师要向学生讲清楚，此命题只能作为分析的根据，不能作证明的根据。证明面面平行一般用定理（“五导一”即：五个条件推导出一个结论，书写规范：三交待两证明）。
上述分析，不但让学生感受到探索的多样性、规律性，而且学会思维的选择性、书写的规范性。
变式1 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，E为AB中点，AD=2PA=2AB=2BC，在PA上是否存在一点F，使得EF∥平面PCD?
变式2 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为AB中点，PA=AD，在PC上是否存在一点F，使得EF⊥平面PDC?
变式3 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，AD=2PA，在AB上是否存在一点E，使得平面PEC⊥平面PDC?
变式1 能使学生构建线面平行的常规方法，让学生细细品味，真正吃透，在逐步探索的过程中体验成功给他们带来的喜悦，从而建立起浓厚的数学学习兴趣。
变式2和变式3对学生具有挑战性，培养学生的迁移能力和创新能力，真正让学生主动地去求知、去思辨、去归纳、去总结，在纷繁的表象中寻找到一般的解题规则，从而极大地鼓舞学生学习数学的土气。
对于变式2和变式3，最终我们探求出的不仅是一道题的结论，而是一类题的求解规律。无论是探求线面垂直还是面面垂直，总可转化为先寻找平面的一条垂线（这往往很易找到或作出），再将该线“平移”到“指定”位置，就能得到探求结果。这里的“平移”一般也要靠作辅助平面来实现。通过由条件局部满足题意转化为条件完全符合要求的分析过程，树立学生“以退为进，逐步完善”的辩证思维的观点，由此学生学习数学的意志力也能得到有效地培养。
教师还应在日常教学中，多积累学生在学习和作业中常出现的错误问题。在辅导时提出来，让学生再认识，避免这样的错误重犯，这样有利于学生知识的巩固、成绩的提高，从而建立起学习的热情和兴趣。
三、揭示数学本质，感受数学魅力
弗赖登塔尔说过：“反思是数学创造性思维的重要表现，它是一种高层次的数学创新活动，是数学活动的动力，必须教育学生对自己的判断与活动进行思考并加以证实，以便他们学会反思。”很多数学试题有多种解法，解题后要从多角度思考是否还有其他解法，通过寻找新的方法可以开拓思路，防止思维定势，及时总结出各类解题技巧，养成“从优、从快”的解题思维方式，从而使思维更具有创造性。
笔者在教学中立足于立几题的审题规则和立几解题方法本质的反思，以期让学生更深刻地理解数学本质，感受数学自身的魅力。
(1)过好审题关，掌控半“江山”
立体几何空间图形的信息必须从题目中来，而学生往往忽略了图形的层次感以及信息的标注意识，从而很难及时把握题意，增加了审题难度，甚至与目标失之交臂。在教学中引导学生对图中的条件和目标的层次标注，对信息的及时加工，往往能达到水到渠成的效果。
在教学中笔者常风趣地说：“立体几何图形就是要给它点颜色看看，否则它就会把‘颜色’给你看。”目的在于让学生用色彩笔将图形有层次地呈现出来，甚至将某些局部图形平移出来，便于我们认识是非。笔者经常说：“标注标注就会清楚”，学生也就习惯于主动参与。针对垂直条件既具有位置特征又含有数量特点（常常用到勾股弦）的双重性，鼓励学生“疯狂追垂”，只要发现垂直关系必定全部标注，哪怕是导出的垂直都不放过（如等腰三角形三线合一，菱形的对角线互相垂直，面面垂直导出线面垂直等）。让学生体会到连接中点、对角线，条件目标常自现。这样的审题习惯一经养成，立体几何就不难下手。对立体几何审题规律性的掌握和使用，会给学生带来明显的做题效果，所以培养起来相对容易，一旦学生意识到这其实就是“化简和转化”在立几审题中的应用后，在其他章节就会自觉地类比去做。
(2)反思揭本质，不易有过失
方法本身也是有规律可寻的，前面讲到的两种与已知平面相交的辅助面的作法，也可看成构造这样一个模型：“三棱柱或三棱锥加上与底平行的截面”（图略），与之对应的命题是：“三个平面两两相交于三条交线，这三条交线要么平行要么相交于一点。”这对我们把握解题本质以及整体感知图形都有着决定性的作用。
问题3 如图2，四棱锥P-ABCD中，PA上平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，若平面PAB∩平面PCD=m，问直线m与平面ABCD是否平行？
图2
变式1 四棱锥P-ABCD中PA上平面ABCD，四边形ABCE是梯形，若平面PAB∩平面PAE=m，问直线m与平面ABCD是否平行？
变式2 如图3，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD。(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)设平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l是否与平面ABCD平行？请说明理由。
利用反思后总结出来的模型一下子就能判定：问题3的结论是肯定的，变式1、变式2结论是否定的。
(3)动静相结合，转化显神力
运动是绝对的，静止是相对的，运动和静止又是可相互转化的。在数学学习中，我们常常用到这种辩证思想，将数学中的变量和常量，动量与定量的相对关系适当转化，巧妙地解决问题。
问题4 点P、Q为正方体
对角线
上两个动点，正方体的棱长为4，PQ=1，则四面体ACPQ的体积为＿＿（图略）。
图3
思考1 将Q点移到B点处，此时三棱锥P-ACB的体积与四面体ACPQ的体积相等吗？
思考2 设O点是底面正方形ABCD的中心，则AOPQ面积为定值吗？三棱锥A-OPQ的体积与四面体ACPQ的体积关系如何？
思考3 将△CPQ拓展为对角面
后，你会求三棱锥A-CPQ的体积吗？
通过上述多角度的思考，让学生体会到思维的灵活性，联系的普遍性，方法的多样性和本质的不变性。