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摘要：首先本文对数学和金融学的结合情况进行了概述。接着本文研究了在金融学当中，学术和产业界使用的不同的数学方法。在金融学学术界中，主要使用OLS最小二乘数法来对金融学有关知识进行研究，在产业界中，则更多使用相关因素分析法和主成分分析法来进行研究。最后，再对数学和金融结合的未来前景进行研究，指出未来抽象数学将更广泛的得到应用，且学术界的最新研究成果，也将得到更广泛的应用的。
关键词：数学；金融学；复合学科；量化交易
1. 数学和金融的结合现状分析
随着金融学的发展，特别是金融衍生品的发展，金融学和数学的结合越来越广泛。在金融学领域，不光在资本资产定价模型中，在金融衍生品定价中，数学也发挥着更加重要的作用的[1]。
说到资本资产定价模型，这里就不得不介绍一下其来源了。资本资产定价模型，最早是由马科维茨的资产组合理论演变而来，其理论是说，一个资产组合的风险会小于该组合中所有资产的风险和，有风险对冲的效果。因此，我们通过不断丰富我们的投资组合当中的资产种类，就可以不断减少投资组合的风险，而在减小风险的同时，又可以不减少收益，这就使得资产组合理论大行其道了。我们通过多元化投资，可以减少我们投资组合当中的非系统性风险，可以使得我们的投资组合取得市场平均的收益水平。而资本资产定价模型又是什么呢？资本资产定价模型，就是将我们的投资组合与市场组合比较，何为市场组合呢？市场组合是指，该由无风险资产和风险资产组合而成，而该组合的风险水平等于全市场的风险水平。因此我们就可以将我们投资组合的风险和市场组合的风险进行比较，得出一个比例，而这个比例乘以市场组合的收益，就是我们自己的投资组合承担非系统性风险获得的补偿即收益，这个收益再加上系统风险对应的收益，就最终得到了我们这个投资组合的预期收益了。具体的公式如下：
资本资产定价模型，就使用了数学当中的“比例”等概念，特别是当投资组合中的资产种类非常多的时候，我们就要用数学方法去不断简化计算来得到答案。
而金融衍生品定价当中，对数学的要求就更加高了。其要使用市场上的资产构建出一个风险收益和该种金融衍生品相同的资产组合，而获得这个资产组合的成本，就是该金融衍生品的售价。这看似简单，但是在实际计算当中，构建一个风险收益的投资组合非常困难，这个时候要使用概率论当中的诸多知识，来将金融衍生品的价格计算出来。
而在最近，随着计算机系统的不断进步，量化交易已经成为美国华尔街的主流交易方法。量化交易就是所有的交易指令都是机器根据程序员事先用数学模型计算好的结果下达，例如，当市盈率上涨到多少，或者股票价格上涨到多少的时候，就买入或者卖出股票来获得收益。这整个过程，都是计算机去控制，没有人为干预的过程。而各种命令的下达，则都要依靠数学模型的刻画，这个时候，数学的作用就非常强大了。因为如果需要计算机进行庞大的数学计算的话，我们不仅要会编程，就是懂得计算机语言，告诉计算机他应该做什么，我们还需要知道，我们要告诉计算机的是什么，这个时候我们就需要非常丰富的数学知识，来建立一个良好的数学模式，来刻画股票市场的情况了。这样才能让计算机顺着我们的数学模型进行计算，从而得到计算结果，并做出反应。
2.研究中具体使用的数学方法
学界和业界不同，学界做的很多事情是在探索未来，而业界做的每件事情，都必须要创造价值，有非常高的使用价值得方法，才会被业界接受。所以往往是最前沿的方法，先被学界使用，然后学界将这些方法进行完善和整理，等这些方法成熟了之后，再让业界来使用。
2.1 学术界使用的数学方法
学界使用最多的就是OLS最小二乘数法，来对金融问题进行实证研究。那什么是OLS最小二乘数法呢？这个方法简单来说，就是两点可以连成一条直线，那么如果我们有很多个x和y的数据一一对应，我们如何把描述他们之间关系的那条直线找到呢？而OLS最小二乘数法就是让每个点到这个直线距离最短的直线，那么这个直线就是描述x和y的关系最好的直接。通过OLS最小二乘数法的优化，我们可以找到x和y即解释变量和被解释变量之间的关系，从而使得我们可以研究如股票价格、股票收益率等和什么因素相关，如果我们发现了相关因素，那这个相关因素的变动，就可以用来预测我们的收益率变动，而我们如果可以观察到相关因素的变动，也就知道了收益率的变动，这样就可以提前知晓股价和股票收益率的变动，从而快人一步，获得股票收益。
下面介绍一下具体求OLS最小二乘数法的方法：
2.2 产业界使用的数学方法
由于金融业界的特性，和量化交易的兴起，金融工程受到了越来越多的重视。金融工程就是将我们股票市场中的一切变动，全部转化为数学表达式，代入数学模型来计算结果。
具体而言，除了学界经常使用的OLS最小二乘数法，业界还会使用相关性分析法，和主成分分析法等方法。
相关性分析法就是将两组数据进行相关性分析，用两组数学的协方差大小来衡量他们之间的关系。协方差的计算如下，期望值分别为E[X]与E[Y]的两个实随机变量X与Y之间的协方差Cov(X,Y)定义为[3]：
其中，Cov(X,Y)为X与Y的协方差，Var[X]为X的方差，Var[Y]为Y的方差。协方差代表的是相关关系的一个绝对数，而相关系数则代表的是相关关系的相对数，是一个标准的化的变量，在两组不同数据比较的时候，我们将采用相关系数这个相对量是更好的选择，在同组数据比较的时候，我们采用协方差这个绝对量来考察则是更好的选择。具体使用哪个指标，还是要根据我们实际应用的场景进行特殊性分析才行。
而主成分分析法，就是对方差进行研究，如果有n组数据，我们就将方差大的那组数据看作是对我们最后分析影响较大，造成误差较大的数据，赋予较小的权重，将方差小的那组数据看作是对我们最后分析影响小，造成误差小的数据，赋予较大的权重[4]。而最后，我们只要取赋予权重最大那前几个因素，作为主成分，就基本可以概括被解释变量的变动了，这样就减小了很多计算量，但是又不会对我们最终研究被解释变量产生较大影响。
产业界通过使用相关性和主成分分析法，来辨别金融市场市场上各个因子之间的关系，找到与市场走向相关关系最大的因子，并通过该因子来预测未来市场的走向，从而比其他人更早预测出市场未来的走势，并进行套利[5]。
3. 数学和金融结合的未来前景
在未来，随着我们计算机算力的不断提高和数学等基础学科研究的不断深入，我们将可以运算更加复杂的数学模式和公式，这将推动数学在金融学中发挥越来越重要的作用。以前，我们更多使用的数学的现有公式进行金融学推导工作，而在未来，抽象数学的应用越来越广泛。由于现有数学公式的研究已经较为成熟，如泰勒展开式、洛必达定理、各类中值定理等都已经在金融当中有了广泛应用，而抽象函数研究由于是数学分析当中的知识，研究还不是十分完善，因此在未来可能越来越受到应用领域的重视。
此外，有许多学术界的前沿研究如博弈论等还没有得到广泛的应用，在未来，在金融的实际交易中，也将更多的使用学术界的研究成果，且随着数学研究的进入，我们建立数学模型的假设条件也将不断减少，从而使得数学模型更加贴近于实际情况，从而获得更好的研究和预测的效果。
参考文献
[1] 张开菊. 浅析数学方法在金融学中的应用[J]. 科技创新导报, 2010(3):162-162.
[2] 王穗辉．误差理论与测量平差：同济大学出版社，2010
[3] 谢明文. 关于协方差, 相关系数与相关性的关系[J]. 数理统计与管理, 2004, 23(3): 33-36.
[4] 高钦姣, 张胜刚, 贾晓薇. 金融学研究中的数学方法运用举例[J]. 教育现代化, 2016(36).
[5] 王艺润. 浅谈金融领域中的数学应用[J]. 科技风, 2016(3):34-35.
论文作者:郑好
论文发表刊物:《科技新时代》2018年11期
论文发表时间:2019/1/10
标签：数学论文; 组合论文; 金融论文; 资产论文; 协方差论文; 方法论文; 风险论文; 《科技新时代》2018年11期论文;