引导学生体验枚举法的重要性，本文主要内容关键词为：引导学生论文,重要性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、背景·动因
新课程给予学生的感觉，应该是解题技巧被淡化了。但我们的教学往往舍不得放过一个“好题”，不自觉地就将其导引到巧法上。当然，巧解能够反映学生思维水平的程度，是良好素质的体现。而且，学生也喜欢追求简捷的方法、不屑用“笨拙”的方法。但是，现今的很多学生，还是掌握不了巧法，结果巧法没有想出来，笨法又因种种情况实施不了，分丢得实在是惋惜！
比如枚举法，在学生看来，是“弱智”方法，谁都能做得出来，用之来解决高中数学问题，实在是羞于运用。于是，在一些考试（尤其在学习概率、计数原理等时）后，基本上都会有某一道题空着。问及原因，答案很直接：“我没想到用枚举法。”可见多么“漠视”“蔑视”。也有的是在没有奇思妙解的情况下才想到用枚举法，但又因问题复杂，不知从哪里开始枚举，也不知枚举到什么时候才能结束，可见多么“生疏”“生气”。眼高手低不应是当今高中生该发扬的。反思我们的教育，除了强调基本方法的重要性，更要去着重引导学生认识基本方法如何重要。这是一块璞玉，等待着我们去开发、去雕琢。笔者就近期所在学校学生解题的情况，例析对枚举法的三点认识，与大家共讨。
二、案例·提升
枚举法就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。因而枚举法是一种直接的方法、具体的方法，它可以将一般的东西以具体的形式呈现出来，化复杂为简单；正因为枚举法的具体直观性，它可以帮助我们检验所得结果是否正确，揭示思维上的谜团；由特殊可到一般，枚举法还可做好推理的奠基工作，在枚举的过程中发现一般问题的解决方法。
1.枚举法化复杂为简单
枚举法将一般问题特殊化，将深层思维降维化。是转化，更是一种考虑问题的机智化，将百思难解的问题直白解决。而且，用好枚举法并不是一件容易的事，要做到不重复、不遗漏，就要有清晰的条理。
案例1 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球。
(1)共有多少个基本事件；
(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？
分析：这是苏教版《数学3》课本中关于“古典概型”的第一道例题，算是枚举法正式登上高中舞台的地方。看似一个再简单不过的问题，对教师而言，基本事件就是
（个），结束了，如果这里就这样简单处理，那么枚举法算是只走了个过场，没有在学生的头脑中留下应有的印象。而事实上，书中的解答已经明确了用意，即枚举法讲究顺序。分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，摸到1、2号球用(1,2)表示，则基本事件应是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)。先将对象排好一定的次序，拿第一个找完所有的组合，再进行第二个，这时就不要回头找了，如此，可确保不重复、不遗漏。这种缜密的思维应该得以贯彻。之后当然可以变式强化，可增加球的总数，也可增加摸出的个数。
提升：对教师而言，如何将“浅显”的知识方法讲得有“需要”、有“必要”是值得深思的。让学生不是感觉上的简简单单，要有体验、有感悟、值得回味。
案例2 从集合A=｛-8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,9｝中任取2个元素作为复数a+bi的实部和虚部(a≠b)，则能组成模大于5的不同虚数的个数为＿＿。
分析：可组成虚数的个数容易由组合数解决。先考虑b，可取
个数，余下的都可赋给a，有种可能，故共有
个虚数。在满足模大于5的要求下，就不是用排列组合能解决的了。因为只有a、b中的一个定下来后，另外一个的取值范围才随之而定。故分类计数是根本做法，也是枚举显威的时刻。观察数据特点，从反面考虑比较简单，枚举模不大于5的虚数。
若a=-4，则b=-2,1,3，有3个；
若a=-2，则b=-4,1,3，有3个；
若a=0，则b=-4,-2,1,3,5，有5个；
若a=1，则b=-4,-2,3，有3个；
若a=3，则b=-4,-2,1，有3个。
共可组成17个模不大于5的虚数。
这里，按照一定的顺序枚举，是得到正确结果的催化剂。当然，还可依据复数的几何意义，用几何枚举法（图1），也可很快找出模不大于5的虚数个数。
图1
提升：对学生而言，不妨将思维的“架子”放下来，走走寻常路，路边风景依然靓丽。
2.枚举法揭示思维谜团
学习了排列与组合，并不表示就不能用枚举法求解概率题了。课改的淡化技巧，有着现实的原因，排列组合已非现今学生可以“掌握”的了，仅是初步认识与应用而已。因此，重点不应放在到底是用排列还是用组合来解决问题，而是怎么去解决这个问题，回归到两个基本计数原理上来。枚举法又显神通，轻而易举地就能验证一个结果的错误性。
案例3 （2009年高考数学江西卷理科第10题）为了庆祝“六一儿童节”，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片则获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为()。
分析：要满足3种不同的卡片全散布在5个袋中这样一个基本要求，可先安排3种卡片各一张放于3个袋中，余下的可随便放，故能获奖的概率为
。
一个多么广泛的思维谜雾啊！所求的概率大于1，得到结果便知做错了。但问题在哪，这是学生在学习用排列组合求解概率中的“纠结”之处。在很多问题背景下，学生都会犯此等重复计数的问题。实际上，只要用枚举法验证即可。设甲、乙、丙三种卡片，装入1、2、3、4、5号袋。
包括选1、2、3号袋，设甲、乙、丙三种卡片分别放入1、2、3号袋，余下2袋均放甲卡片，此为一个基本事件；而同时，包括选2、3、4号袋，将乙、丙、甲三种卡片分别放入，余下2袋均放甲卡片，此也为所列式中包含的一个基本事件，但这两个基本事件为同一个事件，足可见重复计数了。
提升：虽然我们再三强调解决问题要先将其分类分清楚（避免重复），并举例说明验证，但仍学生问：“老师，我错在哪（不点就是不明白）?”对学生而言，要学会多元发展，不搭独木桥。“高级”思维和“低级”思维同时前行，它们是相辅相成的。
案例4 （2007年高考数学福建卷理科第12题）如图2，三行三列的方阵有9个数
(i=1,2,3；i=1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()。
提升：挑错误有时也是件很困难的事。顺着原有的思维思考下去，是找不出“对”中的问题的，换个角度常能豁然开朗。而计数问题，往往换种思维会得到另一个结果，但依然不对。唯有正视错误，顺着原有的思维，将满足“思维”的情况枚举出来，直观地发现问题所在。
3.枚举法导出一般规律
枚举法在数学发现中起着“先驱者”的作用。由特殊才到一般，考查特殊便可枚举。要证明一般性的结论，也可先枚举。理论形成后，也要以特例面目示人。可以说，有特殊的地方，就是枚举显威的地方。
提升：新课程更加关注学生学习的过程，这是一种信号，收获过程往往比收获结果更有用。关注解题的过程，常能引导我们对题目有更深刻的理解，而关注枚举法的过程，常使一般规律立现原形。
分析：题目的长度无疑给了我们做不下去的念头。但其所以长，是例释了所给的定义，使问题具体化。而后又提示先研究n=3、n=4的情况再猜测，给了做题的方向，归纳推理。所以绞尽脑汁想巧法，不如按部就班顺着方向走。
当然，下面可由几个最终的得数猜得一般结论。不过，关注得数之前的求解过程往往给我们以深刻的启迪。整理过程：
这里的求和过程，是学生已经连续几遍接触的一类问题。主要受限于不“敢”从具体中抽出一般的关系，甚至是并不注重具体的求解过程，只是简单计算，得到错的得数，或得到正确得数但归纳不出通项。
提升：枚举法是归纳推理得以展开的前提（具体己知特例），而又不只是为了得到几个具体的结论，更重要的是它包含了一般中的本质方法。这是枚举法沾了推理的光，还是推理沾了枚举法的光？推理是数学发现的主要手段，枚举是实现推理的垫脚石。可见，枚举法是数学发展的根基方法。
三、希望·实施
枚举法，作为认识自然界的原始方法，不同程度地受到儿童、小学生、初中生的青睐。理性认识的不足需要枚举的个例来辅助认识。但到了高中生这里，由于理性思维逐渐增强，便“鸟尽弓藏”，瞧不起这“弱智”的基石。枚举法，实不该受如此的冷漠！我们希望学生有扎实的基本功应对多变的考题；我们希望学生有丰富的联想解决综合试题；我们希望学生热爱数学、乐学数学、运用数学。
苏霍姆林斯基曾说：“如果教师不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度。”看来，只有教师重视基本方法，才可能引起学生的重视。教师需要转变，更加关注过程，颠覆“重结论，轻过程；重训练，轻意识；重演绎，轻发现”的讲授，与学生一同感受、体验、感悟，领略数学之美。高中数学课堂，枚举法的讲授应该体现出区别于初中（以期获得螺旋式上升）的地方。高中生运用枚举法解题，不光是解题，更是一种意识的体现，更多地关注过程之后，就可以去发现、去创造，这是我们所需求的优质高中生。