悟“和而不同”，品数学智慧——例谈“和而不同”之道在初中数学教学中的运用，本文主要内容关键词为：和而不同论文,之道论文,初中数学论文,智慧论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“和而不同”语出《论语》，指在为人处世方面，正确的方法应该是既坚持原则又不排斥不同意见，在相互争辩中达成共识.从哲学意义上理解，“和而不同”富有深刻的含义.“和”即统一、和谐，它是抽象的、内在的；“不同”是具体的、外在的.容“不同”，才能达到“和”的境界.现实中，“和而不同”就是在坚持原则的基础上，不强求一致，承认、包容乃至尊重差异，以达共存共荣.义务教育数学课程标准指出“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.”因而，初中数学教学内容兼容并包、多元并存.课程标准又指出“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要”，因此，数学课堂绝不是老师一个人的课堂，也不是少数几个“思维活跃”的学生的课堂，而应该是全体学生的课堂，是师生思维碰撞、情感共鸣，和谐相处的课堂.
教学实际中，我们面对的是文化背景、学习习惯、智力水平等都不同的学生，因而在课堂中我们不妨引用“和而不同”之道：承认并正视学生个性差异，尊重个性的独特性、自主性和创造性，让学生得到多元评价，能够“人尽其才”，“才尽其用”，在不同中营造一种“和谐相处”的课堂氛围，从而让数学课堂洋溢生命的激情，充满探索的快乐、绽放绚丽的个性之花.本文以一道数学习题课堂教学过程为例，细谈课堂教学中“和而不同”之道的运用，供读者参考、研究.
二、教学过程简录
问题：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在线段AC上，AP=2，若⊙O的圆心O在线段BP上，且⊙O与AB、AC分别切于点E、D，求⊙O的半径.
1.信息提取“和而不同”
师：请同学们先对此题的题设进行全方位审视，你能获得哪些信息？
生1：Rt△ABC的三边，Rt△PBC的三边，⊙O与AB、AC分别相切；
生2：切线与过切点的半径垂直，可能构造相关的直角三角形利用勾股定理解决；
生3：圆心到切线的距离等于半径，可能可采用面积法列方程加以加以解决；
生4：这里的⊙O与AB、AC都相切，则AO平分∠BAC，可从角平分线的这一信息出发试试.
评析 任何一个数学问题的陈述一般由一些题设条件（初始状态）和问题的要求（目标状态）两部分组成，它们在语言结构与思维逻辑上具有一定的形式，在知识结构也上蕴含一定的信息.这些信息往往隐含着如何从初始状态通向目标状态的启示，为思维的流畅进行树立第一块路标.但是不同的学生对同一数学问题可能存在不同的认识与理解，他们的直觉思维和数学建构方式也不尽相同，不同角度和不同层次的信息提取“和而不同”，学生的相互补充便能弥补某些信息的缺口及差异，从而将已有的概念性知识、理解方法和策略方面的程序性知识联系起来，最终形成关于问题的内在表征模型.
2.解法探究“和而不同”
师：审题很仔细全面，切线的性质掌握得很好，那就请同学们利用切线的性质试一试，同时想一想如何利用AO是∠BAC的角平分线这一信息呢？
评析 在探求过程中，由于学生信息提取点与思维发散点不同，获得的解题思路往往也各不相同.在平等、民主和谐的氛围中，在不改变条件和问题的情况下，给学生充分的思考时间与广阔的思维空间，引导学生多角度多方面“挖掘”，定能找出多种解题途径，这样不仅让学生的思维更加灵活和开阔，还能达到培养求异思维的效果，一举多得！“一花独放不是春，百花齐放春满园.”解法探究“和而不同”便是“百花齐放”的状态之一，在某种程度上巧妙地避免了教师“一言堂”的尴尬，也更能激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性.
3.课堂生成“和而不同”
教师准备就此罢休时，一位学生提出：若能找到∠OAD的对边OD与邻边AD的关系即能解决问题，即找
的正切值.
师：“找的正切值”的想法很深刻，切线的问题转化为角平分线的问题，很好地运用了转化的数学思想，现在继续将原问题转化，老师没想过也没想到这个想法，你们又是怎么认为呢？静观其变中……
生9：三角形的内心即角平分线的交点，作△ABC的内切圆⊙N，AC边上的切点为M，此内切圆的半径
评析 有些问题蕴涵丰富的程序性和策略性知识，具有延伸性和方向性，能扩大学生学习的心理空间，激活日知，联系新知.学生由于知识结构、思维方式存在差异，思考问题的角度有时会出人意料，但找的正切值既合乎培养学生化归思想的教学流程，又能真实反映学生情况，使得课堂充满理性和灵动，教师及时将学生所想重新设计并组织学生的学习活动，顺势将课堂向纵深推进.“和而不同”的课堂生成常常会碰撞迸发出绚丽的火花，生成新的更有价值的见解，无论是作三角形的内切圆还是外部直角三角形的构造与外部等腰三角形的构造，都是学生个性化的想法，正是数学逻辑整合的生动和谐的最佳体现！
4.问题变式“和而不同”
师：大家对这个问题已经有了精彩的分析、新意的解法、深刻的认识.但对数学家或好的问题解决者来说，一个问题的解决往往孕育着新问题的产生.同学们，你们能否通过改变数字、改变图形或交换部分条件与部分结论或一般化、特殊化等方式，提出一些类似的问题，并体会上述的解题思想和解题方法对新问题是否适用呢？
生12：已知原问题中⊙O的半径为1，其余条件不变，求AP的长.
生13：将原问题中的条件AP=2改为AP=3，其余条件不变，求⊙O的半径.
生14：将原问题中的条件点P在线段AC上改为点P在线段CA的延长线上，其余条件不变，求⊙O的半径.
生15：将原问题中的条件点P在线段AC上改为在点P在直线AC上，其余条件不变，求⊙O的半径.
生16：将原问题中的条件点P在线段AC上，AP=2改为在点P在直线AC上，CP=6，其余条件不变，求⊙O的半径.
评析 学生如果没有经历有深度的过程，没有在过程中去体验、感悟、发现，这样的学生便是没有思想的学生.问题变式则可引导学生进行深度思考，且学生的思维是活跃开放的，只要教师创设合适的环境，并给予恰当的引导，学生的创造性便可得到极大激发！利用主图，进行“和而不同”的迁移变化，由此及彼，由正向反，由表及里，由点到面，这种多种思维方法的训练，不仅可缓解、克服不良定势和意义障碍，还能培养学生多层次、多角度提出更多问题，是提高学生数学学科自我监控能力的关键措施.
5.数学感悟“和而不同”
教师情不自禁地说：“老师为你们的出色表现而自豪.一题多解与一题多变，妙极了！请问不同的‘解’与‘变’之间有联系吗？对于上述‘解’与‘变’的获得，你在知识和方法上有何体会和感悟？”
生17：在数学解题过程中审题不能只看题目的表层，要全方位审视、多角度联想.此题从切线信息的搜集、获取、运用，到AO是∠BAC的角平分线信息和的正切值信息的处理和制作，模型的探究与建构，都离不开信息的提取和整合.
生18：化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程一步步地把数学对象转化到相对简单的问题模式的过程.
生19：抓住问题实质，广泛联想，敢于猜想.作三角形的内切圆或外部构造直角三角形或等腰三角形，找到角α的半角，都需以一些常见的基本图形为基底，构造已经认识的某个符合整体结构与局部特征联系的数学模型的图形，往往可快捷地获得解题思路.而且构造直角三角形不仅仅限于在原有图形的内部，也可大胆在外部开拓新天地.
评析 数学感悟就是要把数学的知识内化为学生个人的知识，把数学的方式内化为学生自身的行为方式，把数学的思想内化为学生个体的观念品质.从学生交流的感受可以看到，我们的学生也渴望能参与教学过程，希望成为主角.作为教学中的主导者，我们教师应努力为学生创造这样一种新氛围，让学生有时间去思考，去交流自己的所思所得，让学生展现个性，释放灵性，真正成为数学学习活动的主人
“和实生物，和以处众，和也者，天下之达道也.”数学课堂教学不仅需要“统一”更需要“个性”，数学课堂应体现思维的“多元并存”与“和而不同”的价值观，让学生在数学课堂上倾情展示，尽情交流，得到智慧的生成，素养的提升，生命的发展，绽放绚丽的个性之花！让数学课堂在“和而不同”中演绎精彩！