山东省淄博市博山区实验中学 255200
摘 要：最值问题是中学数学的重要题型之一，解决最值问题，经常用到基本不等式、消元法与换元法、导数法。
关键词：最值问题基本不等式消元法与换元法导数法。
最值问题是中学数学的重要题型之一，它的综合性较强，题型多样，解法灵活，涉及知识面广泛。在高考中，常以一些基础题、小综合的中档题，或一些难题的形式出现，几乎每年的高考试题中都有考查。解决最值问题，经常用到基本不等式、消元法与换元法、导数法。
本文结合两个典型例题进行分析和探讨，体会上述三种最基本方法的解题思路和解题技巧。
典型例题1：已知x＞1，y＞1，xy=16，求log2x·log2y的最大值？
思路一分析：利用基本不等式≥ ab，将log2x·log2y替换ab的位置，进而寻求最值。
解析：∵x>1，y>1，
∴log2x>0，log2y>0，
∴log2x+log2y≥2 log2x·log2y，
∵log2x+log2y=log2xy=log216=4，
∴log2x·log2y≤4，
当且仅当log2x=log2y，即x=y时等号成立。
∴最大值为4。
点评：利用基本不等式求最值，可以概括为“凑定和”与“凑定积”的问题，思路一灵活运用对数运算的性质，达到“凑定和”的目的。
思路二分析：先利用消元法，将y= 代入，转变为一个变量的函数，再利用换元法转变为二次函数，利用二次函数的图像与性质求最值。
解析：∵xy=16，y= ，
∴log2x·log2y=log2x·log2 =log2x·（log216-log2x）
令t=log2x，∵x>1，t>0，
∴原式=t·（4-t）=-t2+4t，
利用二次函数图像得：t=2时，即x=4，取得最大值4。
点评：消元法是求最值问题常用的方法之一，是学生所熟悉和乐于使用的方法。换元法中要特别注意中间变量的取值范围。二次函数在定区间上的最值问题一般借助二次函数图像解决。
思路三分析：利用换元法，将对数转化为指数，再利用基本不等式求最值。
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解析：令m=log2x，n=log2y，∴x=2m，y=2n,
∵x>1，y>1，∴m>0，n>0，
∵xy=2m·2n=2m+n=16，∴m+n=4，
∵m+n≥2 mn，∴mn≤4，
当且仅当m=n，即x=y时等号成立，
∴log2x·log2y取最大值4。
点评：必修一第二章对数函数是学生学习的难点，思路三的切入点是将对数转化为指数，达到化难为简的效果，换元后因m+n=4为定值这一条件联想到基本不等式。
思路四分析：大胆猜测，函数的最值一般在特殊位置取得，∵xy=16，不妨取x=4，y=4，代入得最大值4，然后进行检验。
教学中教师要鼓励学生大胆猜想。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”美国数学家哈尔莫斯也说过：“数学的创作绝不是单靠推论可以得到的，首先是通过一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下不十分有把握的结论。然后整理想法，直到看出事实的端倪，往往还要费很大的劲儿，才能将一切付诸逻辑式的证明。”可见大胆猜想对科学的贡献是巨大的。
典型例题2：设x＞0，y＞0，2x+y=1，求 + 的最小值？
思路一分析：巧用1的代换，利用基本不等式，凑出定积的形式，进而求最值。
解析：∵x>0，y>0，2x+y=1，
∴ + =（ + ）（2x+y）=2+ + +1≥2 2+3，
当且仅当 ＝ ，即y= 2x时等号成立。
∴ + 的最小值为2 2+3。
点评：这一思路体现了整体代换的思想，巧妙运用2x+y=1这一条件构造基本不等式。
思路二分析：用消元法转化为一个变量的函数，化简后函数较复杂，可考虑求导法求最值。
解析：∵x>0，y>0，2x+y=1，
∴y=1-2x，0<x< ，
∴ + = + = ，
令f（x）= ，0<x< ，
f`（x）= =- ，
f`（x）=0时，x=1± ，
f`（x）>0时，1- <x<1+ ，
f`（x）<0时，x<1- 或x>1+ ，
∴f（x）在（0，1- ）上递减，在（1- ， ）上递增，
∴x=1- 时，f（x）的最小值为：2 2+3，
∴ + 的最小值为：2 2+3。
点评：导数是高中阶段求最值一个极其常用的方法，研究复杂函数的单调性一般利用导数法。
学生误解：∵x>0，y>0，∴1=2x+y≥2 2xy，
∴xy≤ ，
∴ + ≥2＝≥ ＝4 2，
∴ ＋ 的最小值为4 2。
学生误解原因：连用两次基本不等式，在不等式变形过程中，等式成立条件不一致。对于 + ≥2＝≥
＝4 2，第一个不等号成立条件是x=y，第二个不等号
成立条件是2x=y。
总结反思：
（1）两个例题中的思路一均是采用基本不等式求最值，这是求最值的最常用方法，运用基本不等式求最值，必须满足“一正、二定、三相等”这三个条件，缺一不可。一正是指各项均为正数，二定是指各项的和或积为定值，三相等是指不等式两边的等号是否能取到，以及等号能取到的条件。有些题目可直接用公式解决，有些题目须进行必要的变形，灵活运用拆项、凑项、凑系数等技巧，不管用什么样的技巧，都可归结为“凑定积”和“凑定和”的问题。
（2）两个例题中的思路二均是采用消元法，这也是解决最值问题的通用方法，它体现了数学上减少变量的思想。若消元后可转化为二次函数或换元后是二次函数的形式，则可利用二次函数的图像与性质求最值；若消元后是复杂函数，则可考虑求导法，利用函数的单调性求最值。
本文通过两个简单例题介绍了中学数学求最值的三种最基本方法，大部分题目都可用这三种方法解决，当然还有许多其他方法。一道题目里面有时也是几种方法并用，因此不能把它们割裂开来。
论文作者:李佳
论文发表刊物:《素质教育》2018年7月总第276期
论文发表时间:2018/6/19
标签：不等式论文; 函数论文; 思路论文; 例题论文; 导数论文; 方法论文; 等号论文; 《素质教育》2018年7月总第276期论文;