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一、我国数学教育中存在的一些问题 1.课程内容与结构体系 课程内容方面，一是比较庞杂、臃肿，基础性不突出；二是开放性不够，对学生建立完整的数学思维方式不利；三是不能反映信息化社会的需求以及技术环境下的数学学习特点. 结构体系方面，“模块化”结构破坏了数学的系统性，削弱了知识的逻辑联系性，降低了知识的自我生长能力. 2.内容理解与教学设计 从数学育人的要求出发，理解数学内容要从两方面入手：一是内容的本质；二是内容所蕴涵的育人价值.但目前许多教师不仅在挖掘内容蕴涵的育人价值方面缺乏意识和能力，而且在理解内容的本质上也存在很大问题. 因为对课程内容的理解水平不高，导致教学设计出现较大偏差.首先是教学目标定位不准确，混淆课堂教学目标与课程目标的关系，以“三维目标”的方式呈现课堂教学目标的现象比较普遍.其次是教学素材的选择和组织，形式化的学习材料，标准化的答案，虽有一题多解，但往往只是技巧上的变化.反映知识的背景和应用，体现数学知识的内在逻辑以及与现实的联系性不够，课堂中很少使用真实、开放、解决途径多样化、答案不唯一的问题. 3.学与教的过程 真实的学习过程应该是调动所有感官，动手触摸、动眼观察、动脑思考，通过丰富多彩的学习活动，长时间的“悟”，然后是有所发现、有所理解到彻底掌握.而当前的教学现状是，学习过程单一，学习活动缺乏灵活性，“悟”的过程太短，甚至没有，直接告诉知识后进行大运动量操练成为常态.课前导学案被普遍采用，造成预设的环节过于充分，课堂生成过于顺畅，教学重心过于前移，在某种程度上掩盖了学生独立思考和当堂训练落实的情况，造成课堂练习的进程太快，挤压了学生思考、交流的空间.显然，这样的教学可能使学生成为“熟练工”，但肯定成不了领导者、科学家、思想家. 4.学习态度 众所周知，只有对数学具有高水平的学习动机、强烈的兴趣，才能使学生积极主动地投入学习，长时间地专注于数学问题.但现实是，因为高考要考而不得不学数学，投入了大量时间和精力，但数学成绩总是不佳，所以许多学生不喜欢甚至憎恨数学.“其实大多数人恨的不是数学，而是中学老师教给你的那门叫做数学的科目.”丘成桐说，学生不喜欢数学是“老师讲得不好”，他认为数学教学的关键是教师，这是世界性的共识. 5.学习结果 好的数学教学应该使学生养成自主学习的习惯和能力，使知识成为独立面对问题时的智慧，成为认识问题、解决问题的利器.但现实是，学生习惯于依赖，习惯于解老师给的、各种教辅中的题目，缺乏独立面对问题的勇气和能力，“知识”量大，但缺乏灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌成为解决问题的包袱. 教育的理想与现实的功利是一对永恒的矛盾.上述问题的产生，根源是我们正处于社会极端功利化时期.但作为有良知的数学教育工作者，应该有改变现状的责任感和勇气.那么，我们应该从哪些方面做出努力？ 数学教育的关键在数学教师，而教师专业发展的三大基石是理解数学、理解学生、理解教学.在“三个理解”上做出努力，是广大数学教师可以做的而且是能够做好的. 二、理解数学知识的意蕴 1.关于数学知识的意蕴 知识的意蕴就是知识所蕴涵的理性内涵，包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它是知识的精义和主旨所在. 数学知识是高度抽象的，她的语言（特别是数学符号、图标语言）是高度概括、高度凝练的.正是这种高度的抽象性才使数学成为连接现实世界与人类智慧的桥梁，使数学语言成为表达客观世界结构的唯一精准语言.丘成桐说，数学研究介乎物理、文学与工程之间.西方技术之基础在科学，实际和抽象的桥梁乃是基本科学，而基本科学的工具和语言就是数学.因此，数学知识极富意蕴. 首先，数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力量.所以，从数学学习的角度看，使学生感悟数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和解决问题能力的根基所在. 其次，只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，才能把握数学的基本方法.所以，理解数学知识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提. 再次，数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值有着天然联系.丘成桐说：数学和其他科学不同之处是容许抽象，只要是美丽的，就足以主宰一切.数学和文学的不同之处是一切命题都可以由公认的少数公理推出.复杂深奥的定理都可以由少数简明的公理推出，至此真与美得到确定的意义，水乳交融，再难分开.欧几里得式的数学思维，直接影响了牛顿在物理上三大定律的想法，牛顿巨著《自然哲学的数学原理》与《几何原本》一脉相承.当代数学家吸收了自然科学的精华，在美和逻辑的引导下，将想象力发挥得淋漓尽致，创造出连作者自己都惊叹不已的命题.他还说：在传统文化里，我们说“立德”，但却从不讨论如何求真，不求真，则何以立德？数学兼讲真美，这是数学意蕴的核心所在. 2.如何使学生理解数学知识的意蕴 显然，数学知识的意蕴只有在领悟数学知识的本质、解决数学问题中得到理解.但我们要注意“解决数学问题”和“解数学题”是不一样的.可以肯定的是，“一个定义，三项注意，几道例题，大量练习”的方式不可能使学生理解数学知识的意蕴.我们应从培养创新人才的需要出发，紧紧围绕“数量关系”“空间形式”“数形结合”和“公理化思想”这四条主线，让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如，引发某个数学分支创立的基本问题，创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想，以及从定性到精确定量的基本过程等.要让学生经常思考这样的问题：数学对象是怎么抽象出来的？如何构建研究一个数学对象的基本线索？如何发现和证明性质？如何用已有知识去解决问题、发展新知识？等等.当然，要使学生理解数学知识的本质，教师自己首先应有相应的认识水平，不仅要做到“知其然，且知其所以然”，而且还要解决“何由以知其所以然”的问题. 三、数学知识的教学理解 随着课改的不断深入，人们越来越清楚地意识到发挥数学的内在力量的重要性，“把数学教好”是发挥数学的育人功能的前提条件，而这又要以教师自己理解好数学为前提.当然，数学教师区别于数学家，关键是他能在自己理解好数学的前提下，对数学知识做出符合学生认知水平的解释，使静态的、结果性的现成知识转化为生动的、易于被学生理解的形式.所以，我们一直在强调数学教师在理解数学、理解学生、理解教学上做出努力的重要性，这不仅是教师专业化发展的基石，是数学教学质量的根本保证，也是广大数学教师在教改大潮中“以不变应万变”的法宝. 我们要强调，对数学教师而言，数学知识与教学知识具有同等重要性.进一步地，数学知识具有根基性的地位，它能解决自身的可教性问题，“有关学科知识的教学法存在于学科知识和学科之中”.这表明“理解数学”是首要的，是实现数学育人的根基. 从教学的角度看数学知识，可以有如下页图1的结构：
其中，第一层次的知识数量庞大而具体；通过第一层次知识的联系与综合而概括出第二层次的核心概念和思想方法；再综合、抽象而概括形成数学观念；进一步的，对数学的对象、性质、特点、地位与作用以及数学基础、数学的客观性和数学的真理性等认识就是数学哲学观点.从下到上，其统摄性不断增强. 从这一结构图可以看到，除了“双基”及其由内容所反映的数学思想方法、扎实的解题能力，教师还需要在不断提炼、概括具体知识的过程中形成数学的核心概念和思想方法，并要有数学的学科观念和哲学思考，这样才能深刻了解数学理论体系的构建方式，具有用高观点解释初等数学的能力.例如：对于“数系扩充的基本思想、过程及其结构体系”的理解、定性平面几何的逻辑起点及发展出的知识体系、平行性在定量平面几何中扮演的角色等.我认为，数学教师在这方面的知识欠缺较大，有的教师甚至近似于零. 因此，构建一个反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手.因为在“双基”教学中，使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法的真谛，学会数学地思维，这样才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养. 从结构图中还可以看到，学生的学习是自下而上的.这个过程实际上是一个不断概括的过程，其中既有归纳思维，又有演绎思维，两者相互为用而把数学知识的建构活动不断引向深入，在对数学内容本质认识的深化过程中逐渐形成数学的高观点.因此，在教学设计中，我们就应该让学生有机会经历这样的过程：具体事例—个别规律—一般规律—思想、观念. 四、数学思维再认识 以上讨论了理解数学知识的意蕴对于提升数学素养的重要性，实际上就是要在理解数学知识的精神实质上下工夫，这对于学会数学的思考方法，发展数学的认识和解决问题的能力至关重要.一般而言，数学是否学得好，根源在于是否理解到数学知识所蕴涵的数学思维方法，即是否已透彻了解“数学知识是怎么来的，又可以怎么去用”.我认为，通过对“如何进行数学思维”的讨论，促进“数学学习与思维发展”“数学教学与思维训练”的研究，对于深化数学课程改革（课标把“双基”拓展为“四基”，但对于“基本思想”“基本活动经验”并没有进行充分讨论，极易造成实践的混乱，所以这样的讨论是非常必要的），从而更有效地实现数学育人的核心目标——发展学生的思维能力，是非常有意义的.下面对数学思维谈点宏观认识. 众所周知，思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维.思维的工具是语言；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等.相应的，对数学思维的认识，可概括如下： 第一，数学地认识事物，其基本结构是：定义概念—推导性质—建立联系—实践应用.也就是先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念，从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；通过建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知.这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程. 第二，数学思维有两个相辅相成的方向或方面：归纳和演绎.在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知.数学思维中，归纳和演绎的配合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果. 第三，数学思维的工具是三种语言，即符号语言、图形语言和普通文字语言.数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果.数学符号是内涵丰富的“信息块”，因而成为数学思维活动的理想载体.另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练. 第四，数学思维的基本形式有：逻辑推理、代数运算、几何直观、数形结合. “推理是数学的命根子”，逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程.数学地认识问题，其要点在于从数量关系和空间形式上把握好事物的本质并进而发现问题；用数学解决问题，实质是运用“已知”之性质去推论“待知”之性质，这是在性质层面的一种以简驭繁，而逻辑推理就是这种以简驭繁的实践与步骤. “代数学的根源在于代数运算”，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点. 几何直观是利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基础. 用几何图形表示数量关系，把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果，这是数学思维的变通、灵活性的表现，坐标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物. 第五，针对具体数学问题而生发出的n种思维方法.观察、假说、实验法、确证等科学思维方法在数学研究中也有用武之地，观察引领我们思考事物现象的因果关系、事物的特征和构成要素，以及如何介入其中创造出我们想要的变化等，都能从观察中获得启示；综合法与分析法、顺证法与反证法、数学归纳法等是常用的思维方法. 综上，宏观地看，数学思维可概括为：一个结构，两个方向，三种语言，四种形式，并由此而演化出千变万化、赏心悦目的具体思维方法.数学思维是人类智慧的最精彩绽放.这就好比一棵参天大树，“一个结构，两个方向，三种语言，四种形式”是根和主干，千变万化的具体方法则是其枝和叶. 应当指出，当前课堂教学中普遍存在的问题是，把注意力集中到了“枝繁叶茂”的追求，而忘却了“根和主干”的重要性. 五、数学的整体性与数学思维 以上对数学思维的讨论，实际上给出了数学思维的基本结构和主要方式，意在从最基本的、最重要的方面加强数学思维的完整性，这也是与数学的整体性相对应的. 我们知道，整体是事物的一种真实存在形式.数学是一个整体.数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上——纵向联系、横向联系，特别是由数学核心概念所反映的数学思想方法的前后一致性上. 注重数学的整体性教学，对于发展学生的数学思维是极其重要的. 例1 从数及其运算看数学的整体性及其蕴涵的思维教育价值. 在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致，是“天经地义”的，但零、负整数、分数、无理数、复数等取得“合法”地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程.让学生返璞归真地经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感受数学研究的“味道”很有好处，自然地，这也是培养学生数学素养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题能力的极好途径.其实这对教师自己理解数学知识的意蕴也是大有好处的. 那么，数系扩充的基本思想是什么？我们知道，数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立.数系扩充就遵循了这一特性，扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变.我们可以回想一下，从小学开始学习自然数系N，再到整数系Z，再到初中学习有理数系Q，然后是实数系R，高中学习复数系C，在这一系列的逐级扩充过程中，为什么要进行这样的扩充？每一次扩充究竟添加了哪一类“新数”？在扩充的数系中是如何定义运算的？实际上，关于新数的运算都是归结到原有数系中数之间的运算. 初中“有理数”一章的整体结构可归纳为： 背景（现实需要、数学发展的需要）—定义、表示、分类—性质（核心是数的大小关系）—运算—联系和应用. 事实上，上述结构具有一般性，它是研究一个数学新对象的基本套路. 根据上述基本思想，我们可以这样设计“数系扩充与复数的引入”起始课： 目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.本设计的另一个追求是，努力体现“解决问题”与“解练习题”的差别. 问题1：数学家Cardan在《重要的艺术》（1545年）中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40. 他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x（10-x）=40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌.你知道这是为什么吗？ 设计意图：真实的历史故事引发兴趣，让学生自己发现问题——在实数范围内无法做到，从而产生认知冲突. 问题2：根据已有经验，你认为怎么办就可以解决Cardan的问题？ 提示：在正数范围内，方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似地，在有理数范围内，
有解吗？我们又是怎样让它有解的？ 设计意图：使学生从
出发，自然想到只要“负数开方”行得通，这样的方程就能解了. 问题3：为了使负数可以开方，你觉得应引进一个怎样的新数？这个新数应服从什么规则？ 设计意图：把思路引导到“引进一个新数，使它的平方等于-1”.
问题4：根据上述想法，假设我们引进了一个新数i，它服从
.根据以往的经验，我们希望i能与实数一起进行运算，你觉得会产生哪些类型的新数？ 设计意图：让学生自己“创造”出2i，3i，-i，2+3i，2-3i，… 追问：（1）这些“新数”能用一种统一的形式表示吗？ （2）如果把实数与i进行加、乘后得到的数集记作C，那么实数集R与集合C有什么关系？ 设计意图：引导学生进行抽象，得出这种“新数”的一般符号表示a+bi（其中a、b为实数），并得出实数集R是C的子集. 问题5：我们知道，实数与数轴上的点一一对应.类似地，你觉得该怎样进行复数的几何表示呢？ 追问：复数的要素是什么？确定一个复数的条件是什么？实部、虚部能否互换？由此你想到了什么？ 设计意图：引导学生分析复数的要素和结构，通过类比有序数对与坐标平面中的点的一一对应，得到用复平面中的点表示复数. 引导语：由有理数的研究经验而知，“引进一种新的数，就要定义相应的运算；定义一种运算，就要研究它满足怎样的运算律”.另外，根据数系扩充的原则，定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变. 问题6：你认为，关于复数a+bi（其中a、b为实数），该怎样定义加法和乘法呢？ 这一教学设计，不仅完整体现了数系扩充的过程，而且让学生在问题的引导下，通过类比已有数系扩充的过程与方法，发现“新数”及其几何表示，复数与实数之间的关系，把复数之间的运算归结到实数运算加以定义，等等.这样设计的目的就是充分发挥这一内容的思维教育价值.
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