数学教育研究的方法论问题与“元数学教育”的提出，本文主要内容关键词为：方法论论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来，数学教育研究的学术规范日益成为数学教育界关注的课题.这种关注不仅为数学教育认识论和方法论的深入研究提供了一个良好的契机，同时也很好地把握了我国数学教育发展的动态[1].本文试图从一个更为广泛的视角对这一问题进行透视，并表达笔者对相关观点的见解.
一、对实证研究范式的反思
我们注意到，在关于数学教育学术规范的争论中，都围绕着这样一个焦点，那就是如何看待“实证方法”在数学教育研究中的地位？一方认为，规范性就是要强调实证性，实证性研究才是规范的，非实证性研究就是不规范的，非实证性研究不能称为研究性论文；另一方则把方法论的多元性看作数学教育研究的发展方向.那么，究竟应该如何看待、评价实证研究呢？规范性难道就只有诉诸实证性才能获得吗？为了获得问题的解答，我们有必要对实证方法的历史渊源略加回顾.
实证方法的基本立场和思想，源自于西方科学的现代范式.其基本思路是胡塞尔称之为的所谓三部曲：首先把现实世界几何化（数学化）和理想化，这就是伽利略的方法.其次，是数字化或代数化，这就是笛卡儿的方法.最后是实体化（物理化），这就是牛顿的方法.西方科学的这一以自然的数学化和逻辑化为主干的理论框架把理性与经验成功地结合在一起，在人类认识世界的过程中获得了空前的成功.然而，正如胡塞尔看到的那样，在这样的科学三部曲中，科学越来越多地表现为对于自然的控制，而丧失了生活的意义.胡塞尔称之为欧洲科学的危机.实证主义更进一步把由自然科学中提炼出来的观念简化为纯粹事实的科学.胡塞尔指出了实证科学的根本缺陷：“实证科学正是在原则上排斥了一个在我们的不幸的时代中，人面对命运攸关的根本变革所必须立即做出回答的问题：探问整个人生有无意义.”[2]胡塞尔提出“生活实践”的思想，意在克服欧洲科学的危机.胡塞尔的思想为后来的解释学转向奠定了基础.
实证主义的思想后来更进一步发展为逻辑实证主义.而我们必须看到的是，20世纪初（到三四十年代）是逻辑实证主义的黄金时代，随后便开始逐步衰落.可以说，20世纪后半叶西方科学哲学就是在解构逻辑实证主义的思想中发展起来的.
实证主义的基本哲学思想和实践路线就是把自然科学的方法扩大到社会学、语言学、经济学等社会科学和人文科学领域.应该承认，这一方法在相当范围内获得了成功.但问题在于这一方法的基本立场有错误，那就是“惟科学主义”或“惟实证主义”的立场.认为只有实证方法才是可靠的和有效的，并且排斥其它方法.由于这就是其把自然科学方法、数学方法和逻辑方法不加限制地扩大到所有知识领域的企图而忽视了人类知识的谱系性、复杂性和不同学科的异质性.例如自然现象和社会现象作为异质的研究对象各自具有其独特性，相应的研究方法也有相当的差异.哈耶克指出：“一切知识的分散性和不完美性，是社会科学必须首先面对的两个基本事实.那些在哲学家和逻辑学家看来‘仅仅’是人类头脑的不完美因素而不值一顾的东西，在社会科学中变成了一个至关重要的基本事实.我们下面还会看到，相反的‘绝对主义’观点，即知识，尤其是对特定环境的具体指示，是一成不变的和‘客观的’（似乎它对所有的人都一样），这是社会科学中一些经久不衰的谬误的根源.”[3]
传统实证研究的一个明显特征是强调群体性、共同性和社会性，而忽视个体性、差异性和个别性.实证主义始祖孔德就说过：“实证精神认为，单纯的人是不存在的，而存在的只可能是人类，因为无论从何种关系来看，我们整个发展都归功于社会.”[4]由于实证主义的这样一种认识，在教育研究中，其方法的选择也有忽略个别性，仅仅注重整体性的特点.比如在教育统计学中，学生的各种个体差异和认识论意义和方法论意义上的多样性都被掩盖在数量化（未必是真实可信的）的大数定律之中，仅仅局限在上述统计学意义上的研究对于深入理解教学活动和学习活动的本质，都是不可能的.特别是，忽视个体性的研究方法是无法传送人文关怀信息的，从而也无法实现当代教育所意欲表达的改革理念.
因此，从实证主义到逻辑实证主义的发展道路，已经证明那种把自然科学和数学的方法扩展到其它科学领域的想法并不是总能行得通的.在社会科学、人文科学和非自然科学领域内，实证主义，特别是逻辑实证主义的研究及其方法的认识论局限性是明显的.
在逻辑实证主义之后，科学哲学的发展发生了重大的转向.著名科学哲学家蒯因指出了逻辑经验主义的两个教条：“现代经验论大部分是受两个教条制约的.其一是相信在分析的、或以意义为根据而不依赖于事实的真理与综合的、或以事实为根据的真理之间有根本的区别.另一个教条是还原论：相信每一个有意义的陈述都等值于某种以指称直接经验的名词为基础的逻辑构造.我将要论证；这两个教条都是没有根据的.正像我们将要见到的，抛弃它们的一个后果是模糊了思辨形而上学与自然科学之间的假定分界线.另一个后果就是转向实用主义.”[5]
波普尔针对逻辑实证主义的证实主义提出了著名的证伪主义思想，认为甄别科学与伪科学的标准是“科学是可以证伪的”.拉卡托斯进一步发展了波普尔的批判理性主义，提出了著名的拟经验主义；库恩提出了其范式理论和科学共同体概念，并认为不同范式之间具有不可通约性；费耶阿本德倡导反对方法，认为任何规范性的方法都会阻碍进步，因此“怎么都行”（Anything Goes）就成为方法论的新选择.还有科学知识社会学、社会建构主义、以及后现代（包括解构性和建设性的）等流派的思想和观点等，都是在实证主义之后西方关于认识论和方法论的新观念和新理论，这些理论和观念对数学教育将会有怎样的意义、启示和借鉴作用，都尚有待于深入挖掘.
有鉴于20世纪后半叶以来对实证主义和逻辑实证主义的认识论和方法论的批判和科学哲学的观念演变，在数学教育研究中，我们就需要反思实证方法对数学教育知识的合理性承诺是否恰当这一问题.应该看到，在国内外，实证主义倡导的实证研究理念、传统、范式和方法对数学教育研究一直都有很强的影响.在传统的数学教育研究中（包括一般教育研究），许多都是沿循着实证主义的路线进行的.我们需要思考的是，对于数学教育而言，实证主义和逻辑实证主义坚持的经验证实原则，即力图寻求一条从理论还原为经验的通道，并通过求助于对陈述的逻辑分析，以揭示命题的经验基础.这样一条通道是否真的存在？有些学者认为，只要采用了实证方法，就会获得更高的客观性、准确性和科学性，这其实只是一种幼稚的想法.实际上，在对逻辑实证主义原则的解构过程中，人们获得了两个关于科学认识活动的基本立场：一个是“中性观察是不存在的”，另一个是“实验总要受到理论的污染”.任何实验和观察都会受到研究理念研究目标和理论的支配和污染.这两个基本认识对数学教育研究方法的定位是极具启发作用的.即使像物质实体和自然现象这样的自然科学的研究对象都无法避免观察、实验或试验过程的主观性因素，更何况教育研究的对象是更具可变性、有思维能力的、具有主观性的人.在教育研究中，信仰、理论预设、观念、研究目的、价值取向都会对教育实验的过程产生影响.有些数学教育实证研究的目的只是为了为自己的某种理论预设寻求所谓的经验证据，即提供所谓的科学性包装，而当经验证据与理论预设不符的时候，有些研究者并不反思自己的理论预设是否恰当，而是通过调整研究方案、改变控制变量、甚至修改实验数据，以期获得与预期相一致的、被认定是可靠的结果.
除去数学教育实证研究的上述不足之外，由于实证研究把方法论抉择仅仅局限在科学主义的视域之内，因而在实现数学教育的人文主义理想和教育理念时，就存在着无法逾越的障碍.（例如在实现使所有人都受到教育的思想以及使人得到全面发展的教育目标过程中）实证主义的认识定位留下了许多无法填补的空白和盲区.
所以，数学教育研究就不能完全照搬自然科学的研究方法和被进一步扩展的实证主义方法.采用上述方法所得到的结论，其可靠性和可信性也不足无可置疑的.因此，我们认为，并不存在数学教育命题的确定的经验基础.因此，传统的实证方法就不应该看作是数学教育研究方法的不二法门.
二、研究方法的多重选择和方法论的重新定位
当下许多数学教育的有识之士都有一个共识：数学教育不等于数学加教育.这也同时涉及到数学教育的学科定位问题.除了数学教育不同于教育学，也不同于数学这一认识之外，我们还需要进一步反思的是，数学教育的学科性与数学和教育学的学科性之间有什么样的关系？我们是否有可能在许多情况下混淆了这两者呢？我们认为，数学教育在学科分类上，其本质更多地属于社会科学和人文科学.
数学教育研究方法的界定.除了教育学采用的研究方法之外，有没有数学教育独有的研究方法呢？数学教育研究究竟应该采取什么方法？我们可以看到，实证研究其实也是从外部借鉴而来的.其实我们也可以这样问：如果把数学教育界定为学科教育，它是否一定要有自己独有的研究方法？数学教育究竟有没有自己的（不同于一般学科教育学）方法？如果有，这种独特性体现在什么地方？
因此，超越数学教育实证研究的狭隘视野和限定（这里我们把教育研究的经验总结方法也划归在实证研究的范畴之内，并界定它为实证研究的一种初级形式），从单一范式发展到多重范式.倡导多元的研究范式，就成为未来数学教育研究的一个必然选择.实证主义不应排斥其它方法.
关于数学教育研究方法，我们需要在认识上实现以下的转变.
一是，数学教育学科的重新定位.随着数学科学观的转变，逐步解构了以科学主义为主线的数学教育思想.从单一的科学定位向广泛的社会文化定位的转变.数学的社会文化研究就是一个这样的方向.数学教育的学科定位对于其方法论的抉择也是极富启发意义的.数学教育是一门交叉学科，具有跨学科的性质.因此其方法论必然要从其相关学科研究中予以方法论的借鉴.例如在20世纪80年代以来，信息论、系统论和控制论的思想方法曾对数学教育的研究产生过十分重要的影响.认知科学和脑科学的发展在数学教学心理学中扮演过重要作用.而计算机和信息技术在数学教育研究中的前景是未可限量的.
二是，数学教育功能的重新定位.传统数学教育是以科学主义为主的教育思想.这一基本定位的一个方法论误区就是仅仅把实证方法看作是可靠的数学教育研究方法.不可否认，实证研究对于数学教育研究是十分重要的，但我们不能不看到其明显的局限性.这主要包括以下几点：（1）简单量化和强行量化.人类行为是生物世界里十分复杂的行为，人们思维活动充满了模糊性和各种不确定性，然而，许多数学教育实证研究却采取简单的量化手段，试图把复杂的、充满主观性的教学与学习活动纳入计算和统计的过程，其结果只能是偏离了教育科学的规律，无法正确揭示教学活动的本质；（2）防止把自己的研究自视为中性的、客观的、科学的，而没有看到，其实中性的、不偏不倚的观察其实是不存在的.（3）贬低和排斥不同于实证方法的其它方法.从更深层面看，过分强调实证研究或唯实证研究是举，实际上是数学教育中科学主义的一种典型的表现形式.例如具体地看，实证主义者大多有一种偏见，认为定性分析不如定量分析.事实上，定量研究与定性研究各有各的优势，它们在数学教育研究中的作用是互补的，而不是对立的.
除了数学教育中的科学教育的目标之外，我们还要大力倡导数学教育的人文教育目标.相应地，数学教育的功能就不仅仅是科学教育了，而变成了科学教育与人文教育的综合.可以看到，在教育研究中，行为主义的思想与方法的衰落，本质上就是强科学主义思想逐渐淡出的结果.
三是，善于借鉴国外教育研究的理论成果和方法.在西方教育研究范式与中国教育研究范式之间予以沟通.中国数学教育与国际数学教育是否存在一个接轨的问题？是否可以有中国数学教育走向世界这样的提法？或者中国数学教育是否有一个本土化问题？这些都尚需探讨.我们既不能完全照搬西方的模式，也不能完全无视西方教育研究的成就和研究方法上的特点.其实，纵观西方20世纪后期以来数学教育趋势，研究方法早已不仅仅局限于传统的实证方法，而是呈现出方法的多元选择.例如，从更广泛的研究领域看，在西方，整个社会科学研究方法的一个基本趋势就是在自然科学研究方法的客观性原则与人类行为的复杂性之间建立一种平衡.面对日益复杂的社会科学研究课题，一度被片面强调的定量化研究方法便显示出其处理复杂人类行为的困难和局限.在这种情况下，“人类学研究方法”便应运而生.人类学方法强调了对研究对象个体心理世界、思想历程、情感过程、价值判断的描绘、刻画和揭示，强调客观地、完整地描写、记录个体行为，强调研究者亲自参与被研究者的生活，避免由于研究者的介入影响被研究对象的自然状态.人类学研究倡导在研究过程中研究者不带有预设的假说和先入为主的理论，不以发现普遍规律和必然的因果关系为目标，反对采用依靠某种理论发展而来的测量工具去进行观察和推理.很明显，人类学研究方法的上述特征有些是直接针对实证研究方法的不足提出的.其方法论的创新价值在于既突破了实证方法的局限，弥补了实证方法的缺陷，又超越了传统的人文研究比较单薄的方法论取向（如重思辨而轻观察等），是一种兼容功能很强的方法.在近年来的数学教育研究中，已开始逐步被采用，其应用前景是未可限量的.
四是，要看到数学观与数学教育观对数学教育的方法论定位的重要影响.由于数学悠久的历史演变，加之数学与其它各种哲学观念复杂的历史渊源，数学观呈现出五彩缤纷、行色各样的特点.在各种数学观念中，其中有些只是对数学在某个历史发展阶段的特定认识，例如毕达哥拉斯的神秘主义数学观.有些则具有较为长久的影响力，例如柏拉图主义的数学观.有些则与其它科学思想建立了密切的关系，例如亚里士多德的数学思想.在19世纪末，20世纪初数学危机产生的时候，形式主义、直觉主义、逻辑主义就形成了各种的数学观.在当代，绝对主义的数学观与可误主义数学观的对立构成了关于数学观认识的一个焦点.而我们认为，易谬性、可错性的数学观其实并不必然与绝对主义数学观相对立，如果易谬性、可错性只是数学的过程性特征，那么它也可以通往绝对主义目标.绝对主义数学观的哲学基础是形而上学的思想.其数学教育意义也被不断地加以阐发.与此相关，还有工具主义、经验主义、建构主义、拟经验主义的数学观等，也都散见于数学工作者和数学教育工作者的数学认识中.
对于上述各种数学观，我们有一个基本认识，无论上述不同的数学观之间有多么对立，都有两个共同点，第一，单一的数学观；第二，科学本位的.与上述各种数学观不同的是，我们致力于追求一种具有更广泛意义上的数学观，即以数学的理性重建为先导，以数学的社会文化研究为背景，以数学新的知识特征为标志的新的数学观念.这一数学观有以下两个特点：（1）对于不同数学观的综合.由于不同的数学观反映了在不同历史时期数学的各个侧面，因而适当的数学观只可能是一种有侧重的综合.（2）新的数学观要体现数学教育人文主义的目标，进而达到人文主义与科学主义目标的一种综合.同时，我们还认为，数学观念的这种多样性特征蕴含着数学研究方法和数学教育研究方法的多样性.
五是，要完成数学教育的认识功能转换.要逐步从单纯的描述性向多样的解释性转换.英国著名哲学家、逻辑主义的代表人物罗素在《逻辑哲学论》中的立场是“我们必须取消一切解释，必须只用描述来取代解释”[6].这当然是很典型的逻辑经验主义态度.而随着实在论观念的逐步消解，科学的解释功能日益增强.对于许多现象而言，最有效的不是描述，而是解释.
六是，要开展数学教育的语言研究.包括数学语言与数学教学语言各自的性质，数学语言的特点等.17～18世纪，莱布尼兹试图发展一种通用的、普遍的、形式化的语言来实现人类全部认识的完美性和规定性.这一理想最终导致了数理逻辑语言的产生.20世纪中叶以来，以数学符号系统为基本构件的计算机语言开始盛行并成为人工智能语言的基础.因此从数学语言学的角度来研究整个人类语言，其意义是十分巨大的.对数学教育而言，我们尚须看到在数学语言（例如数理逻辑语言、形式化语言）和教学语言之间的差异.介于数学语言和数学教学语言、日常语言之间，有十分丰富的数学教育语言研究领域需要开拓.在我们看来，在不同语言之间的差异性和距离就需要一种解释学来加以缩小.借助于解释学机制，实现不同语言类型的互译.
我们要突破传统实证研究的藩篱，全方位、多角度地开拓数学教育的研究方向和研究领域.我们主张一种多元的、多维度的、具有谱系性特征的数学教育研究方法取向.要看到数学教育研究的不同方法具有各自的优势和适用范围.不同的方法有不同的用途和价值.例如对于课堂教学等微观研究来说，观察、记录、实验设计和较为精确的量化和控制就有其不可替代的独特作用.而对某些涉及到教育目标、教育观念的宏观研究来说，系统方法和哲学层面的思考就显得更有效.依据研究目的、研究对象和研究领域的不同，可以有选择地采用不同的方法，并且注意不同方法的互补性.
三、从数学教育学术规范的探讨到“元数学教育”理论的提出
从数学教育研究的分类看，数学教育研究学术规范问题属于数学教育研究认识论和方法论的范畴.而数学教育方法论又可划归到我们称之为“元数学教育”研究的领域.实际上，任何一门学科和知识发展到一定的程度和阶段，都有进行元研究的必要，即把研究本身作为认识的对象，进行必要的认识论和方法论界定、澄清和反思.在元研究当中比较典型的一个范例就是20世纪初元数学研究的兴起.数学、数学基础、数学哲学在19世纪末、20世纪初呈现的壮观景象（包括微积分理论基础的奠基工作、集合论的出现、各种数学与逻辑悖论、形式化与公理化的内在要求、三大流派以及后来的布尔巴基学派的出现等）就充分表明了当一门学科出现较快发展，原有的知识观念与逻辑结构无法较好地整合、解释并容纳新的知识和理论时，就会出现理论的内在冲突并引发关于这门学科的基础危机.这个时候，人们常常就需要首先回溯到这门学科的研究方法本身.因此，对数学教育方法论的关注，既是数学教育深入开展和迅猛发展的标志，又是对近年来中国数学教育研究成果的一种回顾、整理和反思.如何看待并解决关于数学教育研究方法论的不同认识和危机，从学理上讲，通常有两种途径可以选择，一个是针对具体问题提出具体的解决方案；另一个则超越具体问题的限制，通过新的理论建构、新的视角和框架，以期获得对有关问题的新认识.本文将采用后一种途径，试图通过元数学教育理论框架的初步建立，推动数学教育研究认识论和方法论研究的深入开展.
我们认为，“元数学教育”，亦即数学教目的元研究可以从以下几个领域逐步展开：（1）元数学教育概念的界定：包括对数学教育的语言、理论、方法的多角度透视和反思.（2）元数学教育的三维立体坐标架构：“元教育学”“元数学”“数学哲学与数学教育哲学”.（3）元数学教育的两个基本维度及由此展开的纵横网络：纵向（历史的）维度、横向（中外的）维度.（4）元数学教育的基本理论问题，包括：
1.数学教育的学科定位问题.包括对数学教育研究对象的重新定位和认识.我们应该看到，数学教育的研究对象不是客观的、自然的和物质的，而是社会的、主观的和个体的人.数学教育具有人文，社会科学的特点.因此，有必要进一步反思数学教育在学科性质上是属于学科教育？还是边缘学科？或者跨学科？抑或还是交叉学科？
2.数学教育研究的范式问题.具体来看，数学教育研究究竟应该如何去做？关于数学教育的研究究竟有没有范式和规范？它应该是怎样一个范式和规范？建立这种范式和规范的合理性是什么？这种范式应该是封闭式范式还是开放式范式？是多种范式还是单一范式？如果是多种范式，其相互关系应该是怎样的？
3.数学教育知识观.具体看来，包括数学教育的知识形态和知识特征以及数学教育知识何以可能的问题.例如数学教育研究的成果是发现还是发明？还是兼而有之？必须看到的是，数学教育的知识形态具有社会性、历史性、主观性、客观性甚至政治性.在数学教育的知识形态中，哪些成分是相对稳定的？哪些成分是较易变化的？决定数学教育知识的主要变量是什么？其中哪些是可控制的？哪些是不易控制的？数学教育知识还有一个限定性问题，即知识的有效性范围，例如教学方法，就不存在普适的对于大、中、小学生都有效的方法，再例如，由于不同教育阶段数学的知识特征，因此要考虑到数学认知结构与心理发展的谱系性.最后，是数学教育知识的合法化问题.包括数学教育的知识验证和论证问题；数学教育的知识是怎样获得的？数学教育知识的可靠性是由什么保证的？数学教育共同体在数学教育知识的评价中起着怎样的作用？
4.数学观与数学教育观.数学观、教育观（包括教学观）、价值观（价值取向与人才观）、实践观.
5.数学教育研究的方法论.一般教育研究方法与数学教育研究方法（共性与个性），基本方法与特殊方法.
6.元数学教育研究的比较问题.中外数学教育的比较、古今数学教育的比较、数学教育与其他学科教育的比较.
7.数学教育的理论结构与理论发展问题.数学教育的理论结构能否构成（如果可以，现在是否是？）一个相对完整的逻辑体系？我们可否采用公理化的方法建构数学教育的理论结构？这样一来，我们就有必要思考诸如数学教育理论的逻辑起点、基本公理、基本规则、基本命题和逻辑结论.如果不是，我们就要从外部与内部两个层面上寻求数学教育理论的新的特征.
上述元数学教育的基本框架只是一个初步的设想，其理论的可靠性和实践环节的实效性还有待于进一步研究.
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