透过悖论对可拓数学创立的哲学思考，本文主要内容关键词为：悖论论文,哲学论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[中图分类号]B815;O144.2;N03 [文献标识码]A [文章编号]1004-4434(2000)06-0037-03
一、悖论的定义
关于悖论有几种不同的定义，有的对条件要求太严，因而它的外延太小，有的却对条件要求太宽，从而导致它的处延太大。我们赞同这样的定义[1]：如果在某一个理论系统中，能够推出两个互相矛盾的命题或语句，或者该系统中能证明两个互相矛盾的等价命题或语句，则称该理论系统中包含有悖论。如果这个悖论能陈述为一种命题的形式或语句，又称这个命题形式或语句是该系统中的一个悖论。
由上述定义可知，首先悖论是一个相对概念，是对一个理论系统而言。其次悖论是一个系统中的逻辑矛盾，它表明出现了与该系统不相容的矛盾，但并非所有逻辑矛盾都是悖论。如“说谎者悖论”在上述定义中就不构成悖论，该悖论是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假？有的书上称它为语义学悖论[2]。它产生的原因是语言结构层次的混乱，这是一句话中套话的句子，且被套的话就是套它的话自身。
二、悖论与数学发展史上的三次危机
人们常说的西方数学史上的三次危机都由数学产生悖论而引起。毕达哥拉斯悖论是由数的概念的扩张——由有理数到无理数而产生的。毕达哥拉斯学派是强调数学具有“绝对真理性”的哲学派别，他们按照自己狭隘的经验主义观点，指出“宇宙间的一切现象都能归结为整数和整数比”。而边长为1的正方形的对角线长度不能用有理数表示，即证明了“不可公度的线段”的存在，并由此引起了数学史上的第一次危机。
在数学史上，牛顿在解决许多应用问题时，一方面把无穷小量认为“是零”而忽略不计，另一方面有时又认为它“是非零”。虽然实用而在逻辑上却未能摆脱诡辩的嫌疑，陷入了贝克莱所批评的“自相矛盾”（所谓贝克莱悖论）之中，引起了数学史上的第二次数学危机。
由于人们普遍认为集合论是现代数学的基础并与现代逻辑存在密切关系，因此，悖论在集合论中出现使数学和逻辑受到根本性的威胁，从而引起了第三次数学危机。最典型的集合论悖论便是英国哲学家、数学家罗素发现的“罗素悖论”。即：“不包含自己的集合的集合”它是否包含自己呢？在集合论的观点看来，无论怎样回答均构成矛盾！除了罗素悖论外，比较有代表性的集合论悖论还有“最大序数悖论”和“最大基数悖论”等。
三、消除悖论的努力
消除“贝克莱悖论”的方法是通过柯西和魏尔斯特拉斯发明ε—δ语言的基础上建立了严密的极限理论而达到的[3]。这套语言借助于“任意给定的小正数”（任意——不确定的，给定——确定的），较好地把握了建立无穷小量的流动性之中的逻辑确定性。
由于集合论悖论形式多样，因而避开悖论的方法也较多。其中比较有影响的便是类型论、ZFC公理体系和NBG系统等，它们都对集合进行了限制。罗素的类型论的基本思想在于：“类的划分”，即个体、集合、集合的集合分别属于不同类型的论域，相应地对形成规则也作了限制。ZFC系统保留了任意集合都可以扩张，排斥了一切集合的集合。NBG系统则保留了一切集合的集合，但不允许再作进一步扩张，即不能以其为元素而构成集合，也避免了悖论。
四、透过悖论看可拓数学创立的背景及其意义
（一）悖论的根源
悖论是一种特殊矛盾，是对它背后的辩证矛盾的反映。通过分析悖论以及考察人们解决悖论的种种努力，我们认为产生悖论主要有以下几个方面的因素。
1.认识论方面的因素。从时间和空间的无限性这个客观存在出发，决定了人的认识也必然是无限的，客观世界的无限性，使人的认识始终不可能全面、“忠实”地反映其所生存的空间。马克思主义认为，任何已经建立起来的理论都是相对真理，都有认识上的局限性，从而只能适用于一定的范围，超出了这个范围就构成主客观矛盾，在一定条件下，这种矛盾就可能变为悖论。如随着人们认识的深入，“毕达哥拉斯悖论”便会消除。
认识方法的形式逻辑化也是造成悖论的重要原因之一，因为形式逻辑的明确性和单义性的要求将会妨害对象辨证性的体现[4]。由于传统数学本质上是在形式逻辑的框架内活动的。就无穷小而言，必须明确它到底是零还是非零的问题，而不能断言它既是零又不是零。类似地，在罗素悖论中由于形式逻辑的要求，我们不能断言一个集合既包含自己又不包含自己。
2.方法论方面的因素。从方法论观点看，产生悖论的根本原因是人们认识客观世界的方法与客观规律的矛盾。而集合本质上是一种方法，是人脑对客观事物进行识别、分类，进而实行数量化处理的一种数学抽象方法[5]。由于集合元素的动态性、层次性、质与量的统一性及元素内部结构的可变性等，使集合也处在动态之中，元素与集合的关系也在变动之中。有人指出：经典数学、模糊数学和粗糙集合理论都提出了自己的分类方法，并获得了广泛的应用，但从本质上讲，这些方法都是认识事物的静态方法，都是对静态事物和静态过程所进行的划分，尚无法从动态发展、变化转换的角度，对动态事物和动态过程进行恰当的划分。而可拓数学考察了集合的动态性，并得出元素的分类是可变的，它关于正域、负域和零界的属性也是可变的结论。比如，无穷小量作为过程它是非零，作为结果它又是零。现代科学中的一些辩证判断，如：光速是常数也是变数。也可以给出其合理的物理解释。而“罗素悖论”中，“不包含自己的集合”就具有无限扩张的性质，“不包含自己的集合的集合”也就无法形成。可以说罗素悖论间接地反映了无限集合的完成性和可扩张性的辩证矛盾[6]。
3.逻辑方面的因素。逻辑真理和任何真理一样既是绝对的又是相对的，人们任何时候都无法穷尽逻辑真理，逻辑本身并不是一成不变的，作为其表述的逻辑关系当然可以是多样的。悖论是相对于一个理论系统而言的，如果该系统的推理规则与客观实在相违背也可能出现悖论。2000多年来，被认为是放之四海而皆准的普遍真理的逻辑三大规律，即同一律、排中律、矛盾律，许多事例已对它们提出了质疑[7]。经典逻辑也有其特定的作用范围，超过这一范围，其固有的规律便不再起作用。“罗素悖论”之所以构成悖论原因在于其认为：一个集合要么是包含自己，要么是不包含自己，二者必居其一且只居其一。也就是排中律所要求的“要么A,要么非A,二者能且只能择其一”。而实际上，排中律是从有限的事物中概括出来的，把排中律视为思维活动的某种普遍适用的原则，并将它用于无限的场合，就可能犯错误。
（二）可拓数学创立的意义
1.可拓集合的方法论启示。类型论、ZFC公理系统、NBG系统均对集合进行了某种限制，这种“有限”或“限制”的思想是避开悖论的一种方法，却无法从根本上消除悖论。罗素悖论中的“集合”在本质上是辨证的：它既是完成了的对象，又具有无限扩张的可能性。由于经典集合论方法是静态方法，不能刻划集合的这种动态性和不同类之间的转化，将辨证的对立统一变为绝对的对立，再把它们机械地重新联系起来，就有可能出现悖论。从人们避免悖论的种种努力，以及产生悖论根源的分析，我们看到传统的集合论受到了挑战。悖论既然是主客观矛盾的一种表现形式，因此，要消除悖论，或者不出现悖论，只能是提高认识，克服认识过程中的局限性，并与客观对象紧密地联系起来。就数学而言，就要发展数学，使之更加完善，更符合客观实际。由于集合元素的动态性、层次性、质与量的统一性及元素结构的可变性，如果仍用静态的方法进行刻划，则与实际不符。而可拓集合论正是适应这一需要从动态发展、变化转换的角度，对动态事物和动态过程进行恰当的划分。并通过关联函数值的大小变化，定量地描述元素属于正域、负域或零界。为更精细地刻划对象的质变和量变，还引入了可拓域的概念：在同一域中还可以区分元素的不同层次，并与变换联系起来。正是可拓集合及其关联函数的这些性质，为我们解决矛盾问题提供了更切合实际的方法。
2.可拓逻辑创立的意义。客观事物是诸对立环节的统一体，由于主观思维方法上的形而上学性和数学受形式逻辑方法的限制，客观实在的辨证性在认识过程中常常受到歪曲——对立统一环节被割裂，这种歪曲是产生悖论的认识论原因之一[2]。因此，有必要建立一种形式逻辑与辩证逻辑相结合的新的逻辑体系，可拓逻辑正是适应这样的需要而建立起来的。可拓逻辑总结了现实世界中大量的“既是又非”的事物和现象，指出“既是又非”不是逻辑矛盾，而是反映了客观现实的合理的思维形式，应该承认它的存在。可拓逻辑在“真”与“假”之间引入了一个“既真又假”的临界状态真值，从而发展了形式逻辑的真值概念。其次，通过建立可拓命题集合，可拓逻辑将真值表从0与1两个值扩充到整个实轴上去，使得命题的真假程度得到了更精细的刻划。可拓集合的逻辑关系是可拓逻辑，在可拓集合基础上形成的数学分支就是可拓数学。在可拓数学范畴内，罗素悖论不再成为悖论。
3.可拓数学是对数学的开拓。可拓集合论的诞生，向经典集合论提出了新的挑战，它说明，不仅有必要以经典集合论方法研究事物，更有必要以动态、辨证的可拓集合论方去研究事物。因为，静止是相对的、暂时的，一切事物均处在运动变化之中。在物元理论和可拓集合基础上形成的数学分支就是可拓数学。如果说，将经典数学→模糊数学→可拓数学作为一个前进方向，那么，可拓数学向后兼容，也就是说，可拓数学在经典数学、模糊数学的研究范围内并不矛盾[8]。高度抽象性是经典数学的最基本特点，这种抽象是舍去了事物任何质的规定性，仅从数量和形式上所作的抽象，并采用形式逻辑的推理形式。实践证明：数学的真理性不只是存在于形式演绎系统的严格证明里，还要受到外部条件的制约和客观实践的验证。而在可拓集合论中，抽象不但顾及质，也顾及量。可拓数学的逻辑细胞是物元，是以三元组R＝（事物，特征，量值）来表达，它体现了事物质与量紧密联系，定性与定量相结合，是对经典数学企图割裂数和形与实际内容联系的批判性修正；另一方面，经典数学在已知条件下达到某一目的（或解决某一问题），把目的和条件看作是固定不变的，把条件只看成对问题的约束。只研究在一定条件下，问题是否相容和如何求解的问题，将大量不相容的问题弃之不顾，但在社会实践中，条件是可变的，人们可以通过多种途径来使矛盾问题的目的实现[9]。实际上，经典数学也研究事物某些方面的数量特征，但它们有本质的不同。例如：用一杆最多只能称200公斤的秤，却要称数千公斤的大象。曹冲称象的故事告诉我们，问题的关键在于事物的变换，即借助于船把大象换成石头（或别的可称量的物体）。如果仅从数量关系上是很难解决这一问题的。可以说，由经典数学到可拓数学的抽象形式的变化是否定之否定。形式逻辑与辩证逻辑相结合的可拓逻辑使我们从流动范畴在概念、判断、推理等思维形式中反映现实中的辩证矛盾，处理不相容问题。
[收稿日期]2000-03-02