四川省成都市田家炳中学 610000
一、非常规数学问题的含义
我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》的“数学教育中的问题解决”中，对什么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨。他们认为，问题解决中的“问题”并不包括常规数学问题，而是指非常规数学问题和数学的应用问题。这里的常规数学问题，就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则、原理，而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题。在题型的模式上，比较规范化、纯数学化，多半形如“已知”“求证”的固有模式；在教育功能上，它主要用于巩固所学的数学知识和训练技能、技巧。我们课本上的数学练习题或习题，许多国家或地区称它为常规问题。
作为“问题解决”中的问题，主要是指非常规问题，包括非传统的文字应用题及智力游戏题等开放性问题。当然，我们所说的“常规”与“非常规”是相对而言的，界限并非很显明。随着人们的数学知识的增长、能力的提高，原先是问题的东西，现在却可能变成常规的问题，或者说已经构不成问题了。例如：1＋2＋…＋100=？对于儿童来说就是问题，而对于学过数列知识的学生来讲就不成其问题了，只不过是一道习题。
所谓“非常规问题”，目前尚无统一定义，一般认为是指一类没有现成解答方法、程序步骤或一般推演算法的探究性问题。但大致是指这样一些问题：问题的条件不是形式化的、简练的数学语言，没有点明特定的知识点，问题答案通常没有给出，有时不唯一，多数情形下问题都有着实际背景，富有思维上的挑战性，有时还饶有趣味。如：一块长50m、宽30m的矩形荒地上，设计一个花坛，并要使花坛所占的面积为荒地面积的一半，试写出你的设计。本题是一道开放题，是培养学生综合能力和创造能力的极好材料。开放型的问题并不等于随意性的问题，结论仍然要求确定、精确。尽管设计的方案可以多种多样，但其计算，一要定量化，二要每种设计经计算出的结果要确定、精确。
二、存在问题
1.对统计数据、图表的分析不深入。
据上海国际数学评价机构去年的一项调查发现，我国的小学生和日本的同龄孩子相比在基础知识、基本技能的掌握以及一些常规问题的解决方面明显高于日本学生，但在数学实践、动手操作以及统计分析方面的能力不如日本的学生。
例如：“在一个池塘中引入一些鱼苗，池塘中鱼的总重量的增长模型如下图所示。假设渔民计划若干月后开始捕捞，则多少月后开始捕捞，以后每月的收益最大？说明你的理由。
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这是全球学生素养评价的一道样题，题中包括数学思维、概括和洞察力，要求学生分析、识别一个情境的数学本质，做出判断并说明理由。学生选择开始捕捞的时间，7-12月中任何一个月都有，理由大都是鱼长大了生长缓慢。学生所观察、分析到的都是非常浅显的，并没有分析、识别这一情境的数学本质。那就是假如1到6月和7到12月都投入了一万元，从图上可以看出前六个月鱼生长非常快不宜捕捞，但7月开始放缓但投入没减，所以对整个这批鱼苗来说从7月开始捕捞能保证收益最大。发现：学生对统计的一些基础知识掌握较好，但对统计图表的分析能力较弱。
2.提取有用信息解决问题的能力较弱。
例：“按照中国移动的最新规定，长途通话费的标准大约是0.5元/分，本地通话费的标准大约是0.2元/分，开通“长话无忧”（每天19∶00-7∶00）后，长途通话费比原来便宜40%。小强的爸爸原来每月的手机费大约180元，其中 是长途通话费（都是在每天19∶00-7∶00通的长话），开通“长话无忧”后，小强的爸爸每月可节约手机费多少元？”
题目中信息较多，但解决问题所需要的信息是很少的（题中划横线），即180× ×40%。但做对的学生并没直接选用有用信息像上面这样做，而选择了题目中很多信息，走了不少的弯路。错误的学生大都是信息太多找不到解决问题需要的信息，或是利用信息胡编乱凑。原因是课本上或是平时的练习中需要学生解决的问题所需要的信息大都没有像上面一样有多余的，绝大部分题目中所给的信息都是学生解决问题所必需的。然而在实际生活中遇到问题时又是谁去帮助你解决问题提取需要的信息呢？所以开放解决问题的信息是今后数学科学命题的一个发展方向，打破“每一问题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信息都有用”的传统观念，这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意义。
3.解决非常规问题的能力薄弱。
调研有这样一道题，第五道大题的第4小题：某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径为6.4厘米，高为10厘米。把这些饮料竖着放入右面箱子中，这个箱子最多能放多少罐？
学生出错在用箱子的底面积除以一盒饮料的底面积，显然答案是错误的，因为圆不能密铺长方形。说明学生缺乏联系实际从问题本身的性质去思考问题，也反映出部分老师对非常规问题认识不够，教学中以获取知识、训练技能和讲授方法为目的而少了一些引导学生从问题本身的性质去思考和解决问题。
如何解答非常规问题，过去课堂教学中一直是一项空白。在新一轮课改中，非常规数学问题时有所见，不能不说是一个亮点。重视非常规问题的教学，对于更好地完成新课程的培养目标、培养学生的创新思维是大有益处的。
论文作者:李佳
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第332期
论文发表时间:2018/9/17
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