金融数学：历史、现状和展望，本文主要内容关键词为：现状论文,数学论文,金融论文,历史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
金融学（或金融经济学）本质上是研究非确定环境下经济资源在地域上和跨时间的有效配置，其主要对象是金融市场上的投资和交易。金融数学（亦称数学金融学）通过建立金融市场如何运作的数学模型，利用数学工具（如概率论、数理统计、偏微分方程和随机控制）研究风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价和套期保值、风险管理和最优消费—投资组合策略的选择。近二十多年来，金融数学在金融学的发展中起了决定性作用。可以毫不夸张地说，金融数学是现代金融学的核心。金融数学不仅对金融工具的不断创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开发项目的评估（如实物期权）以及在金融机构的风险管理中得到广泛应用。
金融数学的历史可以追溯到1900 年法国数学家巴歇里埃（Bachelier,L.）的博士论文—“投机的理论”，在文中他首次用布朗运动来描述股票价格的变化和研究期权定价，尽管当时有关布朗运动的严格数学理论还未建立。遗憾的是，直到1965年该论文才由著名经济学家萨缪尔逊（Samuelson,P.）推荐给金融学界知晓。
下面我们首先介绍金融学和金融数学在1950至1970年的发展历史，然后介绍1980年以来的金融学和金融数学发展概况和现状，最后对金融数学的未来发展提出一些展望。
一、1950至1970年的主要成就
1.投资组合的选择
1952年马柯维茨（markowtz,H.M.）的博士论文“投资组合的选择”是现代金融学的第一个突破。他在该文中提出了用于投资分析的均值—方差分析方法。他认为，投资者的目标应是收益的期望效用最大化，而不单单是期望收益最大化。他用收益率的方差作为风险的度量，先从各证券收益率的联合统计特性用二次规划确定可供投资者选择的有效投资组合边界，然后根据投资者的效用函数（对收益和风险的权衡）确定最优投资组合。这是一单期投资组合问题，后来许多学者进一步研究了更为实际的跨期投资组合问题，这样可以动态地考虑最优消费和投资。
2.公司财务理论
1958年莫迪里亚尼（Modigliani,F.）和米勒（Miller,M.H.）首次从金融市场均衡理论出发研究了公司财务决策。他们在假定金融市场处于均衡状态和公司不赋税及无破产成本的前提下，证明了公司的市场价值与公司的资本结构（即债权和股权之比）无关（这一结果在文献上被称为M—M定理）。这是公司财务领域的一个理论突破。他们是从“套利推理”得出这一与常人直觉大相径庭的结论的：即假设定理不成立，则可在金融市场中构造套利投资策略。套利推理对日后的金融数学的发展（如套利定价思想和期权定价的鞅方法）产生了重要影响。莫迪里亚尼和米勒分别获得1985和1990年度的诺贝尔经济学奖。
3.资本资产定价模型
50年代初数理经济学家阿罗（Arrow,K）和德布罗（Debreu,G.）提出的不确定性经济的一般均衡模型被认为是现代金融理论的另一重要源泉，因为它是金融资产的均衡定价的基础。这两位学者分别是72年和83年诺贝尔经济学奖得主。60年代中期，在马柯维茨的均值—方差分析基础上，夏普（Sharpe W.F.）、 林特纳（Lintner J.）和毛新（MOssin J.）研究了在竞争均衡市场中金融资产的价格形成。 他们假定投资者都是风险厌恶者，对证券的收益率的统计特性有相同的预测，并采用各自的均值—方差效用函数确定各自的最优投资组合。在这一理想假定下，他们证明了在均衡市场中，市场投资组合（即按每种证券的市值与市场中证券总市值之比确定权重的投资组合）是有效投资组合，并且每种资产的期望超额收益率（即期望收益率和无风险利率之差，亦称风险溢价）与市场投资组合的期望超额收益率之比等于该资产的收益率与市场投资组合收益率之间的协方差与市场投资组合收益率方差的平方之比（即所谓的资产的β值）。这就是著名的资本资产定价模型（CAPM）。资产的β—系数是资产的相对系统风险的一个度量。CAPM在证券估价、投资组合绩效的测定、资本预算及投资风险分析中得到广泛应用。马柯维茨的均值—方差分析和夏普等人的资本资产定价模型后来被誉为“华尔街的第一次革命”，马柯维茨和夏普获得1990年度的诺贝尔经济学奖。
4.有效市场假设
一个健全的金融市场应该具备如下特征：与市场交易有关的信息能很快获得；市场流动性好（容易随时买卖金融产品）；交易成本低。这样的市场称为有效的。1970年法玛（Fama E.）提出一个理想化的“有效市场假设（EMH）”：当前的市场价格充分反映所有的市场信息。 他依据信息是单指历史价格的信息，还是包含所有公开的市场信息，以及进一步所有私人信息，将EMH分为三类：弱、中强、强有效市场假设。 粗略地说，有效市场假设是指：市场能如此有效地“消化”新的信息，以致当前的市场价格包含关于市场演化的全部信息。这意味价格过程是马氏过程。1976年法玛又提出从鞅的概念来表述有效市场假设：股票价格经无风险利率折现是一个鞅。这一表述基本上等价于市场无套利的，且客观概率是风险中性的。
5.套利定价理论
CAPM是一个均衡定价模型，它假定了投资者都是风险厌恶者，对证券的收益率和方差有相同的预期，并且隐含地假定了影响证券收益率的只是单个市场风险因子，这显然不太切合实际。在只对市场作无套利机会这一合理假定下，1976年罗斯（Ross S.A.）提出了决定风险资产价格的套利定价理论（APT），它是关于风险资产收益率的多因子模型， 它提供了度量股票价格如何随众多的经济因素的改变而变化的方法，而模型中的经济因素则由经验来确定。
6.期权定价理论
期权（option）是一种合约，它的持有者有权利（但无义务）在一指定日期或一期间内以预先约定的价格购买或出售指定数量的标的资产。前者称为买权（call option），后者称为卖权（put option ）。 1973年，布莱克（Black F.）和索尔斯（Scholes M.）在“期权定价和公司负债”一文中利用套利推理和随机分析中的伊藤（It
,K）公式证明了股票期权价格过程可表成股票价格和时间t的函数F（t，S[,t]），其中F满足一偏微分方程，并由此导出了一个期权定价公式， 即著名的布莱克—索尔斯公式。几乎与此同时，默顿（Merton R.）在“合理的期权定价理论”一文中对布莱克—索尔斯模型和定价公式作了完善和多方面的推广，并将他们利用期权来估价公司负债的思想发展成为所谓的“未定权益分析”。由他们三人共同开创的期权定价理论被誉为“华尔街的第二次革命”，索尔斯和默顿因此荣获1997年度诺贝尔经济学奖（布莱克于1995年英年早逝未能分享此项殊荣）。
考克斯（Cox,J.C.）和罗斯于1976年提出了风险中性定价理论。在这一思想的影响下，1979年哈里森（Harrison,J.M.）和克瑞普斯（Kreps,D.M.）提出了用鞅方法刻画无套利市场和不完全市场， 并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲，这对金融数学的日后发展产生了深远的影响。
二、1980年代以来的发展概况和现状
1.期权定价和套期保值
80年代以来，期权定价和套期保值理论得到蓬勃发展，主要工作可以归纳为如下几个方面：1 ）将布莱克—索尔斯模型推广到股票收益率的波幅依赖股票价格和随机波幅模型，以便解释从观察到的不同约定价格的期权标价按布莱克—索尔斯定价公式反算出的引伸波幅（ impliedvolatility）出现的“波幅微笑”（volatitlity smile）和偏斜现象；2）研究依赖价格变化路径的特异期权的定价和它的数值计算方法；3）对一般的半鞅模型，给出了资产定价基本定理（即证明了存在等价鞅测度与市场在某种意义下无套利等价）；4 ）研究不完备市场（主要是带跳的随机过程或一般的半鞅模型）中的期权定价、套期保值或对冲，提出了多种准则；5 ）研究带“摩擦”的金融市场中的期权套期保值或对冲，这里所指的摩擦包括交易费、税收、买卖价差和各种约束条件； 6）带信用风险时的期权定价问题；7 ）大投资者操纵和有内线交易时的市场模型；8）不对称信息下的市场交易模型。
2.计量金融经济学
计量金融经济学是介于金融经济学与统计学之间的一门实证性科学。1980年代以来，计量金融经济学在如下几个方面取得了较大进展； 1）提出了一些检验有效市场假设的统计方法；2 ）提出了对扩散过程模型的各种估计方法，如极大似然方法，广义矩方法，模拟矩方法，非参数方法；3）1982年恩格尔（Engle,R.F.）提出了一个自回归条件异方差（ARCH）时间序列模型，较好地解释了股票日收益率数据中出现的方差随时间的变动和群集现象。后来近一步提出广义ARCH（或GARCH ）模型。1991年尼尔森（Nelson,C.R.）又提出指数GARCH（或EGARCH）模型，证明可用EGARCH过程来逼近连续时间的扩散过程，这为计量金融经济学提供了方便和有效的金融市场模型。4）市场的微结构分析， 主要研究金融市场中存在的买卖价差（bid－ask spread ）以及非同步和非等时间间隔交易等。
3.最优消费—投资组合
1969和1971年默顿首次在连续时间金融模型下用随机动态规划方法研究了最优消费—投资组合问题。此后，这类问题成了金融学的重要研究问题之一，连续时间金融模型也成了金融学的最常用的模型，因为它比离散时间模型更能反映市场的动态特性，更便于理论上的研究。1987年卡拉察斯（Karatzas,I.）等人从随机分析中的鞅表示定理出发，将完全市场中的动态最优消费—投资组合问题化为比较容易处理的静态最优化问题。1989年考克斯（Cox,J.C.）和黄奇辅（Huang,C）也独立地给出了这一结果。近年来有不少文章研究跳跃—扩散过程和一般半鞅模型下的最优消费—投资组合问题。
4.利率的期限结构
1970年代以来，为了研究利率衍生产品的定价和风险管理提出了许多利率期限结构模型，其中有名的有Vasicek模型（1977）、CIR模型（1985）、HJM模型（1992）和BGM模型（1997）。前两个是单因子短期利率模型，它们虽被实证分析证明不太符合实际，但由于简单，在实际中还常被使用。HJM模型是关于远期利率的扩散过程模型， 容易用历史数据来校准，与实际比较符合， 但应用起来计算量太大。 BGM 模型选用LIBOR（伦敦银行同业拆借利率）作为计价单位，用起来比较方便， 近来受到华尔街的青睐。
5.风险的度量
监管金融风险首先要对风险给予度量。在银行监管领域目前通行的风险度量是风险值（Value－at Risk，简称VaR）， 它代表银行资产组合在一定统计置信度下和在某个给定期限内可能产生的最大损失。 由VaR可确定银行的资本金。VaR的一个最大缺点是它不是次可加（sub －additive），即两个风险资产合在一起的VaR不一定比各自的VaR之和来得小，这是不太合理的。最近有学者从风险度量的公理化出发给出了一个新的风险度量，称为风险的连贯度量（coherent measure of risk），它是次可加的。
6.计算金融
1979年考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Rubinstein,M.）提出了一个最为简单和直观的二叉树模型，并由此导出了布莱克—索尔斯期权公式。这对复杂期权定价的数值提供了一个有效途径。80年代以来，从事偏微分方程数值计算的研究工作者提出了用有限差分方法和Monte－Carlo方法来近似计算美式期权或更复杂的期权的价格。由此而产生了“计算金融”这一金融学分支。
7.金融工程
到80年代末，在金融市场全球化浪潮的推动下和为规避金融风险而需要的金融工具创新的刺激下，一个融金融数学、计算科学和工程学为一体的综合性交叉学科—金融工程诞生了。它的研究范围包括新金融产品和工具的设计和开发，以降低交易成本为主要目的的新金融手段的开发和创造性地解决金融问题。
8.实物期权
期权定价理论在公司财务分析（如资本预算）中有许多应用。例如，与用传统的现金流折算方法对公司投资决策进行估价不同，可以把公司的投资机会看作为一个买权（看涨期权），投资额相当于约定价格。又如，可以把公司的无形资产看作是以公司的有形资产为约定价格的一种买权，公司未来现金流总现值是其标的物的当前价值。这类期权统称为“实物期权”（real option）。与金融期权不同的是， 它的标的物是不在市场上交易的资产（可以是实物的，也可以是无形的），最早提出实物期权想法的是麦克唐纳（McDonald，R）和希格尔（Siegel, M ）1986年的一篇文章，狄克希特（Dixit,A）（1989）给出了实物期权的广泛应用。
三、展望
目前从事金融数学研究的主要有如下三类人：概率论和随机分析学者，随机控制论学者和数理统计学者。近年来，一些从事统计物理和非线性科学研究的学者也被吸引到经济和金融领域。他们将本学科的研究方法移植到经济系统和金融复杂性的研究中来，尝试揭示金融市场这一自适应复杂系统的演变规律，新近开创了“经济物理学”这一新领域。
金融理论不同于物理科学。在金融理论中并没有必须遵从的定律，它只能提供用于描述金融市场预期的演化（不是实际的演化）的模型。在物理科学中，能够从系统的一组初始和边界条件推出系统的未来的演化，而在金融理论中，我们需要指定系统某个部分的整体演化才能描述系统其余部分的演化。金融模型大致可以分为三类：第一类是描述金融市场基本结构和现象的基本模型，如股票价格模型，均衡定价模型；第二类是描述不能直接观察的现象的模型，如短期利率模型；第三类是从金融数据出发建立的统计模型。任何一个金融模型都只是对客观的金融现象的近似描述。
从经济和金融全球化观点出发，经济和金融是一个复杂的非线性动态系统，其特点是微小的局部变动可能导致全局性的巨大变动。在以网络经济和知识经济为代表的新经济已经到来的新世纪，传统的金融理论已不能适应新的市场情况。有以下几个问题值得研究：
1）如何建立一个模型来描述市场的参与者根据各自的不完全信息来作出决策？
2）现有的均衡定价模型是不太现实的， 如何建立一个非均衡的市场模型和定价理论？
3）如何通过对金融数据的实时处理来发现大投资者对市场的操纵和内线交易？
4）如何建立一个风险监控体系来预警和防范全球性的金融市场失控？
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