从儿童的角度看数学的本质回归--“三角内角”教学导论设计_数学论文

基于儿童视角，回归数学本质——“三角形内角和”教学导入设计，本文主要内容关键词为：内角论文,角形论文,视角论文,本质论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》不仅突出强调数学学科的特点，也强调教学应符合儿童思维发展的规律.因此，寻找数学与儿童思维之间的最佳结合点，成为了课堂教学研究的重点.那么，教师如何处理好儿童思维与数学特点之间的关系呢？下面笔者以“三角形内角和”教学导入为例，来谈怎样从儿童与数学视角设计出合适的教学导入.

【教学现象】

师（出示正方形纸）：这是一个？

生：正方形.

师：数学上把正方形内的四个角称作为正方形的内角.看看正方形的内角是什么角？

生：直角.

师：正方形的内角之和是多少度呢？

生：正方形一共有四个内角，每个角都是90度，4乘90度正好等于360度.

师：同意吗？

生：同意.

师：正方形的四个内角之和是360度，沿着正方形的这条对角线把它剪开，变成了两个？

生：两个三角形.

师：一个三角形有几个内角？

生：三个内角.

师：今天咱们就来学习三角形的内角和.（板书）

师：这个直角三角形的内角和是多少度呢？

生：老师，我觉得直角三角形的内角和是180度.

师：说明你的想法.

生：因为一个正方形是360度，而这个直角三角形是正方形被切开了一半，所以是180度.

师：同意吗？是这样吗？

师（出示长方形）：这是一个？

生：长方形.

师：沿着它的对角线把它（剪开）.变成了两个？

生：直角三角形.

师：而且这两个直角三角形？

生：一样大.

师：这两个直角三角形的内角和是多少度呢？

生：这个直角三角形的内角和是180度.

师：说说你的想法.

生：因为长方形也有四个直角，所以也是360度，360度的一半就是180度.

师：所以？

生：360除以2就是180度.

师：同意吗？

生：同意！

师：那么，由此看来是不是所有的直角三角形，它的内角和都是180度呢？

生：所有三角形的内角和都是180度.

师：为什么呢？

生：两个直角三角形都会拼成一个正方形或长方形.它们的内角和是360度，一半就是180度.

师：非常了不起！利用图形之间的联系来分析这个问题，当然，前提是要完全相同的两个直角三角形，就能拼成一个？

生：正方形或长方形.

师：除了直角三角形，锐角三角形、钝角三角形的内角和是不是也是180度呢？

【教学分析】

从以上的教学片段中，不难发现，教师是在确定了正方形、长方形（即矩形）的内角和是360°后，再推导出三角形的内角和是180°.从学生反馈来看，教学效果不错，学生很容易就知道三角形的内角和是180°，这样似乎既降低了新知学习的难度，又为学生下一步的探究搭建了桥梁.三角形内角和的教学可以这样引出吗？为了说明问题，我们从如下几个方面做一些分析.

一、各版本教材的编排思路

我们先来了解一下苏教版、北师大版、人教版、浙教版、青岛版教材对于三角形内角和编排的情况，看看各版本教材如何设计引导小学生探索、发现、理解三角形内角和的.

1.人教版教材

人教版教材关于三角形内角和的引出，是通过画、量、算，用这种看似平常，却又符合儿童认知特点的方法进行引入，没有了思维上的突兀，更关键的是遵循了图形认识的内在规律，简单、易行.

2.北师大版教材

从北师大版教材的编排不难看出，它也是希望学生通过画一画、量一量、算一算，经历对三角形三个内角测量、计算的完整过程，且通过小组内的每个人对不同三角形测量结果的记录，让学生初步感悟到三角形的内角和大致总在180度左右，从而为后继的进一步验证提供感性经验.

3.青岛版教材

青岛版教材编排与北师大版教材编排思路很接近，也是通过量一量、算一算、折一折的方式，从测量和操作证明角度，得出三角形的内角和是180°，它既强调了测量的实际意义，也渗透了平行公理验证的数理.

4.苏教版教材

苏教版教材最大的特点，就是从学生已有经验出发，根据学生已经知道一副三角板每个角的度数入手，引导学生计算出不同直角三角板上三个内角的和，引发出直角三角形的内角和是180°的初步结论，进而引导学生循着平行公理的轨迹，用折的方式探究其他类型三角形的内角和.教材编排特别注重从学生的最近发展区入手，引入自然，展开得体.

5.浙教版教材

浙教版教材与其他几个版本教材的编排思路区别很大，其他版本教材基本上都是从测量入手，浙教版教材却是从变化的三角形，猜测三角形内角和是多少度入手，再通过两种不同层面的拼图，借助平行公理，引导学生发现任何三角形的三个内角都可以拼成一个平角，即三角形的三个内角和是180°.从某个角度来说，它更注重依据平行公理来解决三角形内角和的问题.

以上五个版本的教材，虽然编排的思路与方式不尽相同，但它们都遵循着一个基本的原则，要么从测量入手探索三角形的内角和，要么依据平行公理，通过折、拼等操作方式证明三角形内角和是180°.没有一个版本的教材是根据长方形或正方形的内角和探索三角形内角和.

二、三角形内角和的数学证明

利用欧几里得的平行公理及其等价定理即可证明“三角形三内角之和为180°”，定理及其证明记载于欧氏《几何原本》第一卷的命题32，证明如下.

第一卷命题32

在任意三角形中，如果延长一边，则外角等于两内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于两直角.

设ABC是一个三角形，延长其一边BC至D.则可证外角ACD等于两个内对角CAB、ABC的和且三角形的三个内角ABC、BCA、CAB的和等于两直角.

事实上，过点C作平行于直线AB的直线CE.[I.31]

这样，由于AB平行于CE，且AC和它们同时相交，其内错角BAC、ACE彼此相等.[I.29]

又因为，AB平行于CE，且直线BD同时和它们相交，同位角ECD与角ABC相等.[I.29]

前面已经证明了角ACE也等于角BAC；

故整体角ACD等于两内对角BAC、ABC的和.

给以上各角加上角ACB.

于是角ACD、ACB的和等于三个角ABC、BCA、CAB的和.

但角ACD、ACB的和等于两直角.[I.13]

所以，角ABC、BCA、CAB的和也等于两直角.

当前的中小学数学教材关于三角形内角和的证明，基本都是以欧几里得的平行公理为基础编写的，可以说“三角形内角和定理的证明无法绕开平行公理”.

三、数学学科内在的逻辑规律

数学内在的逻辑力量是指一种数学内在的、合乎思维规律与数学发展规律、蕴含着逻辑合理性甚至必然性的力量，是一种数学的、有条理的思考与解决问题的力量，是一种扎根于数学灵魂深处的理性精神.它包括三个方面：一是数学教学合乎思维规律所产生的力量；二是数学教学合乎数学发展规律所产生的力量；三是数学教学使学生掌握合乎逻辑的思维方法后所产生的力量.

四边形的内角和是以三角形内角和为基础得出的，如果三角形的内角和又以四边形内角和为依据展开论证，不仅在逻辑上陷入循环论证的怪圈，更无法得到数理上的支持.因而，这种看似简单易行的教学引入，实际对今后的数学教学埋下了逻辑混乱的种子，会严重影响儿童数学思维发展.

小学阶段数学学习内容浅显，再加上近年来对数学学科知识的淡化，不少数学课缺失数学内在的逻辑，越来越多的数学课堂教学表面化、去数学化，学生数学学习仅仅停留于浅显层面，数学思维发展成为不少课堂的缺失.为此，我们要有清醒的认识，数学学科核心是“数学”，遵循数学内在的规律，发展学生合乎逻辑的思维方法，永远是数学教学的重中之重.

正是基于对数学内在逻辑规律的认识，在小学数学教学中，任何数学教学活动都应遵循数学学科本身具有的内在逻辑性特点.在紧扣数学逻辑的前提下，结合儿童年龄特点，组织适合儿童数学思维发展的教学活动.

【教学思考】

通过对教材、数学证明及数学内在逻辑的分析，不难看出，小学对三角形内角和的认知，应建立在两基点之上，一是数学的基点，二是儿童的基点.其中，站在儿童的视角理解三角形内角和，大多采用直观、可视化的操作方式来验证；站在数学角度理解三角形内角和，则把平行公理渗透在具体的操作活动中.因而，教材呈现出来的显性的是操作活动，隐性的是数学本质.正是基于这样的理解，三角形内角和的教学导入不应为了所谓的方便、易行，而违背数学逻辑从正方形或长方形的内角和导入，这样导入看似降低了学习难度，实质是打破了数学内在的逻辑规律.教师应该怎样进行这方面的教学导入呢？笔者认为有以下几方面.

一、读懂教材意图，找准导入的“点”

教材是作为开展课堂教学的重要素材，也是有效实施教学活动的基本条件，因而，理解编者的编写意图，了解教材的编写特点，是落实课堂教学的重要前提，更是做好教学导入最重要的“点”.

从以上五个版本教材中关于三角形内角和的编写，我们不难看出，教材要么通过量一量，得到三角形的内角和；要么通过折一折，发现三角形内角和是180度；要么先通过猜一猜，再经过相应的验证，发现三角形内角和是180度；要么通过撕一撕、拼一拼的方式，发现三角形内角和是180度.五个版本教材设计的引入环节，没有一个是从矩形内角和引出三角形内角和，都是通过对三角形的拼组、量画等活动，在操作、观察、比较、分析中发现三角形的内角和为180度.

正是基于对教材教学引入编写意图的理解，在实施三角形内角和的课堂教学导入时，教师应根据学生认知特点，依据教材编写思路，从实际操作入手，引导学生通过动手操作、观察比较、验证分析等方式，探究三角形内角和是180度的数学本质.

二、贴近儿童视角，摸准导入的“脉”

在义务教育阶段，对于三角形内角和的学习安排在两个学段，其中，第一次安排在第二学段，即小学四年级；第二次安排在第三学段，即中学八年级；而两个学段关于三角形内角和的安排又有不同的侧重点.第二学段的学习侧重于从具体、形象中积累三角形内角和的经验表象，第三学段的学习侧重于从具象经验认识向抽象数学证明过渡，更加突出其内在的数学本质.

结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的安排，小学生学习三角形内角和，应更多从实践操作中积累认知经验，从具体形象中丰富认知表象.因而，在四年级学习三角形内角和时，应紧扣儿童年龄特点，摸准他们好动、好奇、倾向直观的学习心理这根“脉”，引导学生采用猜一猜、拼一拼、量一量、画一画等方式，直观地认识到三角形内角和是180度.为此，教学导入应引导学生从观察入手，从操作入手，从而为后继验证、分析、比较各类三角形内角和提供充分的感性经验支撑，更为总结三角形内角和是180度，提供直观、感性的论据.

三、遵循数学逻辑，把握导入的“本”

依据数学逻辑内在的规律，不可能通过四边形的内角和来证明三角形内角和，这不仅不符合数学逻辑内在的规律，更陷入了循环论证的怪圈之中.教师对此应有清醒的认识，切不可为图一时的方便，而陷学生数学学习于混乱之中.

因而，在三角形内角和教学导入设计中，应牢牢把握数学内在逻辑这个“本”，结合学生的实际，设计出符合数学逻辑的教学导入，确保学生数学学习始终沿着数学逻辑思维的正确方向前行.

为此，教学导入只能从三角形本身入手，可以从对三角形内角和的猜想入手，也可以从三角形内角和的拼组入手，还可以从特殊的直角三角形三个内角和入手，甚至也可以从量三角形内角后求和入手.总之，不论用哪种方式导入教学，都始终从三角形本身特点入手，引导学生借助各种直观的方式，验证、分析、证明三角形内角和.此时，学生得出的三角形内角和为180度，看似缺失严密数学证明的支撑，但它却是紧扣数学内在的逻辑规律展开的直观验证，为后继三角形内角和的数学证明积累了丰富的感性经验.

四、紧扣平行公理，贴紧导入的“理”

从各种版本教材编写中不难看出，平行公理是证明三角形内角和重要的公理依据，虽然小学阶段因学生的年龄特点，不需要对三角形的内角和进行数学证明，但在教学设计的整个过程中，教师应紧扣平行公理，让教学导入有“理”可循.

作为教师在教学之初应明确，教学导入中的折一折、拼一拼、摆一摆，不是随机的活动，它们的背后都有平行公理的影子.因为不论是折一折还是拼一拼，都是依据平行公理，通过同位角、内错角的变换，让三角形三个内角集中于一点，组合成平角，即180度.学生在此活动中得到蕴含着理性思想的感性认识，学生积累的感性经验更有利于他们今后对三角形内角和抽象的证明.

【导入设计】

为了确保三角形内角和的教学导入既贴近小学生的直观形象，又遵循数学逻辑的严谨合理，根据教学实践中具体实际情况，提出如下几种三角形内角和的教学导入方式.

导入一：从三角板内角引入

引导学生从特殊的三角形——直角三角板上的三个内角入手，引出对三角形内角和度数的探讨，进而引出对各种三角形内角和度数均为180度的验证探究.