收入不平等程度的度量方法研究，本文主要内容关键词为：度量论文,不平等论文,程度论文,收入论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
任何经济制度都不能避免收入不平等问题。改革开放以来，随着经济的快速发展，我国大 多 数人正在步入小康，但收入不平等现象也越来越引起了人们的重视。收入与财富是两个不同 的概念，前者是流量概念，通常指的是一定时期中经济成员所获得的货币数量。后者是一存 量概念，是一定时期结束时经济成员所拥有的财产，如金融资产、实物资产等。我们所要考 虑的收入分配，是一定时期内整个社会内货币收入增量在各经济成员间的分配。
社会的进步使人类形成了一种基本的价值观，即经济社会中的任何成员应具有相同的权利 ，而这种权力的具体体现之一是收入分配的平等。注意到，平等与公平在概念上有差别，平 等意味着等同，公平是更高层次上的平等。讨论收入分配的公平将不可避免地涉及到更多的 价值判断，可能是非常困难的问题，因此经济理论中常代之于讨论收入分配的平等问题。或 许 人们不会反对，所谓平等分配，即全社会中每个成员都获得等量的收入。但对于货币收入而 言，显然社会中每个成员得到等量的收入可能不是平等的分配，例如城市与农村成员各得相 等的收入时，对应的生活水平可能相差很远，另外成年人与儿童得到相同的收入也不能说是 平等分配，因此实际生活中完全的平等可能不应作为追求的目标。另外，实际收入分配分 析中一般难以将收入落实到单个个人，例如收入分配状态的调查一般是以家庭户为单位的。 因此，收入不平等问题的分析可能是非常复杂的。下面我们假定所讨论的经济成员除收入可 能不同外，其他所有方面都是相同的，在这种条件下，平等的收入分配当然应该是每个成员 拥有相同数量的收入。目前很多收入分配不平等分析正是将这种收入分配做为参照系的条件 下进行的。近年来，国内经济学界正在尝试利用收入不平等指数讨论收入不平等问题，本文 目的在于理清一些基本概念，供感兴趣的同行参考。本文最后利用中国统计年鉴上城镇居民 的收入分配数据进行了数值试验。
二、比较收入不平等程度的方法
1.罗伦兹曲线法
以下记n为经济成员的个数，对任何收入分配
曲线的 位置越低，收不平等越严重。称收入分配x罗伦兹控制
(Lorenz Dominant)分配y，如果对任
何p∈[0，1]成立
，且至少存在一点p∈[0，1]使得有。因此 所谓x罗伦兹控制y，即两种收入分配的罗伦兹曲线不相交，且前者更靠近均等收入曲线，因 此直观上x对应的收入分配比y更平等。
可见，上述用罗伦兹曲线比较收入分配的做法本质上是借助经济直观，把实际的收入分配 与平等收入分配进行比较，下面的罗伦兹控制定理说明了这种做法的深刻的经济意义。称方 阵B是双随机矩阵(简称为BS阵)，如果B的元素均大于或等于0，且B的各行元素的和、各列元 素的和均等于1。例如单位阵与交换阵(交换单位阵的行所得的矩阵)均为BS阵，元素均为1/n 的n阶方阵也是BS阵。称n元函数g(x)是S—凹的，如果对任何BS阵B有g(Bx)≥g(x)。称g(x) 是严格S—凹的，如果对任何非交换阵的BS阵B有g(Bx)＞g(x)。改变上述定义中的不等号的 方向即得S—凸函数的定义。容易看出，对一个收入向量左乘一个BS阵进行变换，得到的向 量中分量将变得相互更接近，即对应的收入分配更为平等。可见效用函烽为S—凹函数的决 策者更偏好平等的收分配，因此S—凹性可以用来表述“更偏好平等”这样的价值判断。
罗伦兹控制定理：对两个升序收入分配向量x与y且x≠y，则以下各条件等价：
(1)x罗伦兹控制
。
(2)存在非交换阵的BS阵B使x=By。
(3)可以从y出发，通过有限次的从相对富裕成员处到相对贫困成员处的收入转移来获得x， 且 每次转移都不使被转移者与接受转移者的收入高低顺序颠倒。
(4)对任何严格S—凹的函数g，成立g(x)＞g(y)。
参与文献①～③中有关这一定理的进一步讨论。这一定理说明，如果用罗伦兹曲线来比较 收入不平等程度，则罗伦兹控制等价于：
x的元素比y的元素更均匀(条件2)；x可以通过由y 进行从高收入端到低收入端的有限次收入转移而得到(条件3)；所有偏好平等分配
的决策者 都 认为x优于y(条件4)。罗伦兹控制与条件4的等价性说明，如果x与y的罗伦兹曲线相交，则一 定能找到两个都偏好平等
分配的决策者
，但是 又有
，即粗略地说，在所有偏好平等分配
的决策者中，在对x与y中何者 更平等的看法上不能取得一致意见。
2.广义罗伦兹曲线法
注意到用罗伦兹控制概念比较收入分配时，排除了罗伦兹曲线相交的情形，又注意到条件1 中 有限制。
如果
且x罗伦兹控制y，显然可以肯定地说，x对应的社会福利比y 要高。但如果分配x中平均收较低
)，
这时即使x分配比y更平等(即x罗伦兹控制y )，x所对应的社会福利可能不及y。为考虑这种情形下收入分配的比较问题，对收
入分配x定义广义罗伦兹曲线
。如果对任何p∈[0，1]，收入分配
(即两曲线不相交)，则称x广义罗伦兹控制y。下列结论使 我们有理由相信，当x广义罗伦兹控制y时x要优于y：
肖沃克斯定理④：x广义罗伦兹控制y的充要条件是对任何严格凹的增函数U(t)成立
如果将U(t)解释为决策者(例如政府)的收入效用函数，则
可以解释为决策者i=1
眼中的社会福利，U(t)的单调增加性可以解释为决策者偏好高效率(即收入越高越好)，而U( t)严 格凹说明他也偏好平等分配(U(t)严格凹意味着边际效用递减，又由u(x)的定义知增加低 收入者的收入时，有利于增加u(x)的值，即对于更平等的分配，u(x)的值越大)。于是这一 定理说明，当x与y的广义罗伦兹曲线不相交时，广义罗伦兹曲线位置较高的收入分配社会福 利较高，因为所有既偏好高效率与也偏爱平等的决策者都认为x优于y，而不管这一决策者如 何平衡效率与平等的关系。这样，我们得到了一种某种程度上兼顾效率与平等的比较收入分 配的方法。由于x罗伦兹控制y时，y仍可能广义罗伦兹控制x，即按罗伦兹曲线的观点y的平 等程度不及x，
但按上述社会福利函数，y对应的社会福利更大。因此广义罗伦兹控制概念有 助于识别出平等程度较低但社会福利实际上较高的收入分配。但这种方法有两个明显的缺点 ，一是广义罗伦兹曲线相交时比较方法失效，二是只要本年的收入分配中每人的收入不低于 前一年，且有人的收入严格增加，则本年的收入分配广义罗伦兹控制前一年。例如经济增长 的成果都由收入最高的成员独享时，增长后的收入分配的社会福利也将高于增长之前的收入 分配，很多人可能难以认同这种观点。因此，在比较收入分配时，广义罗伦兹控制只能作为 备选工具之一，处于受控地位的分配是否真正不值得提倡，最好综合其他经济因素来确定。
3.不平等指数及社会福利指数
不平等指数是刻画收入不平等程度的数量指标，它是收入分配的函数，对越平等的收入分 配其数值越小。不平等指数的优点是
可以比较任何两种收入分配。显然，一种指数I能不能 刻画收入不平等，重要指标是看它能否满足所谓的转移单调性(也称为罗
伦兹相容性)：当x 罗伦兹控制y时成立I(x)＜I(y)。注意到罗伦兹控制定理中等价性条件4可以换为：对任何严 格S—凸的函
数g，成立g(x)＜g(y)。于是罗伦兹控制定理说明：(1)至少应选择I(x)是S—凸 函数。(2)如果收入分配x与y的罗伦兹曲线相
交，则一定能够找到两个不同的S—凸函数
。即
两种指数对这两种 分配的评价结果完全相反，因此实际工作中选择何种不平等指数至关重要。另外，实际生活 中人们对任何
两种收入分配的不平等程度的看法可能是多种多样的，用特定不平等指数来度 量不平等程度时，可能反映的只是部分人的观
点。因此，利用任何不平等指数得出的结论时 都需仔细检验。
对有n个成员的收入分配x重复任何m次形成含有mn个成员的收入分配y=(x，x，…，x)，如 果 不平等指数I满足I(x)=I(y)，
则称I满足人口倍增不变性。显然，只有不平等指数满足人口 倍增不变性时，才有理由利用它比较人口数量不同的收入分配i。
又从罗伦兹曲线的定义 可见对任何
，即收入分配x等比例改变成
时， 相应罗
伦兹曲线不变。或许是基于这一性质，经济理论中常考虑所谓相对不平等指数，即满 足I(kx)=I(x)的不平等指数。有意思
的是，这种指数的另一性质是当收入增量平均分配时其 数值将减少ii。
经济学中构造融入人们价值判断(ethical)的不平等指数的基本思想如下：先指定一个单调 增加函数W作为社会福利函数，
对任何收入分配x，求出满足W(ε(x)e)=W(x)的所谓平等收入 等价量ε(x)，其中e是分量全为1的向量，
然后取I(x)=
作为不平等指数。 这种指数有非常有趣的经济解释，因为W(ε(x)e)=W(x)意味着全社会只需
总收入nε(x)即可 达到总收入为nx的福利，因此
是不平等导致的收入“浪费”的总量，
从而
是总收入中浪费掉了的份额。可见我们是利用社会福利函数将分
配x与某种完全平等的收入分配进行比较来构造不平等指数的。
显然，I(x)与函数W的选取密切相关。因为对任何BS阵B，
记z=Bx，则有
，所以I( x)是S—凹函数(从而满足转移单调性)的充要条件是ε(x)是S—凹函数。但在W是增函数的
条 件下，由于W(x)≥W(y)的充要条件是ε(x)≥ε(y)，所以ε(x)是S—凹函数的充要条件是W 是S—凹函数，因此只要取W是单
调增加的S—凹函数，
则I(x)是S—凸函数。注意到此时才成立
。
如果再希望I(x)是相对指数，显然应要求ε(x)是一次齐次函数，即对任何K＞0成立ε(kx )=kε(x)。又容易证明，ε(x)是一次齐次函数的充要条件是W是位似函数，即存在一元单调 增函数W(t)与一次齐次函数v(x)使W(x)=w(v(x))。因此，如果希望得到满足转移单调性的相 对不平等指数，只要取W为单调增加的S—凹的位似函数即可。阿特金森(Atkinson)⑤考虑了
n
选取
作为社会福利函数，这时选择适当的严格增加的凹函数U(t)，可使
W(x)是单调增加的S—凹的位似函数iv，他得到的不平等指数为
其中c可以解释为决策者边际效用U′(t)的弹性。容易看出I(x)满足人口倍增不变性。
特别取
，其中f是单调增函数，可见W(x)是单调增加的S—凹的位n
似函数。由W(ε(x)e)=W(x)可得出ε(x)=
，即
得不平等指数
这实际上即著名的基尼系数，注意到基尼系数满足人口倍增不变性。尽管人们发现，作为 不平等指数，G(x)有比较严重的缺点，
但它还是得到了广泛应用，下面将说明由它可得出一 个经济意义非常明确的社会福利指数，即
。其中1-G(x)
表示的是收入分 配的平等程度，
反映的是社会的产出效率，因此可以理解w(x)是综合了效率与平等的指 数。下面说明我们
有理由相信能做为度量社会福利的指标。
每个人在评价自己的经济政治地位时，总是要与其他人进行比较，俗话说“比上不足，
比 下有余”，意思是对当前的地位比较满意了，不过仍没有达到理想的境界。可见关键在于“ 比”，与地位更优越的人比较时
“比上不足”，说明他在比较中感觉到被剥夺了获得更优越 地位的权利。与境况更差的人比较时“比下有余”，这是一种相对
比较时产生的满足的感觉 。设社会中任何人的收入都在区间[0，M]之内，这时对收入量为t的成员，他与获得收入量 属 于
[t，M]的任何成员比较时“比上不足”，与获得收入量属于[0，t]的成员比较时“比下有 余”。
可见可以定义所谓相对剥夺函数⑥
用来表示收入为t的成员与收入为z的成员比较时感到被剥夺的数量，收入为t的成员感到被
剥夺的总量用平均值
三、数值试验
《中国统计年鉴》每年提供1份《城镇居民家庭基本情况》表，该表反映了该年城镇居民收 入分配的抽样调查数据，
列出了每年调查的总户数，并将被调查的家庭户按收入从低到高按 10%或20%分组，给出了每个收入组的平均每户人
口数、平均每户收入，等等。表1收集了199 0—1998年的数据，其中平均收入以元为单位。
为进一步说明问题，根据表1数据可得出表2。其中例如20%所对应的列是20%的低收入端家 庭户所拥有的收入份额，等等。
表2中的“人平均收入”是表1中样本家庭户所有人口的平均收入。根据前面介绍的收入分 配的分析方法，利用上述数据
，可以对这些被抽样调查的家庭户进行收入分配分析。实际上 ， 表2中每一行数据都是该年家庭户收入的近似罗伦兹曲线。
如果用“→”表示福利改善，可 见有1994→1995，1995→1990，1996→1990，1997→1990，1998→1990，1990→1991，
同时可见有1994→1993→1992→1991，即用罗伦兹曲线来评价收入分配平等状态时，在1990 —1998年这9年间，1991年的
收入分配平等状态是最好的，从1991—1994年逐年恶化。1994 —1995年有短暂的好转，但1995年的收入分配仍不及1991年。
从1995—1998年的4年中，任 何两年的罗伦兹曲线都相交一次。对这些年份的分配不能利用罗伦兹曲线来进行平等程度的
再考虑广义罗伦兹曲线，表2中每行收入百分比乘以该行最后的平均收入即得相应年份的近 似广义罗伦兹曲线。可见只要m＞n，
199m年的收入分配广义罗伦兹控制199n年的收入分配。 也 就是说，对从1990—1998年的各年的收入分配中，任何持有严格凹
且单调增的效用函数的决 策者，都将认为后一年的收入分配优于前一年。第二部分中我们曾经指出，广义罗伦兹控制 结论是否
经得起推敲，还需综合考虑其他经济因素。
再用不平等指数与福利函数
来进行分析。结果见表3。注意到，由于低收 入端家庭户的人口数量较多，
计算基尼系数时是换算成人平计算的，这样算出的基尼系数比 以家庭户为单位时得出的结果要大。尽管各年的人口数量不
同，但由于基尼系数与阿特金森 不平等指数的人口倍增不变性，仍能使用它们进行各年间的收入不平等程度的比较。从基
尼系数与阿特金森不平等指数可以清楚地看到，从1990—1994年收入不平等程度逐年增加， 1995年有短暂的好转，接着
从1996年开始又逐年恶化。但最后一列的福利指数说明，综合效 率与平等两方面来考虑时，这些年的社会福利却在逐年改善。
表2 1990—1998年各收入组拥有的收入份额
10%
20%40%
60%
80%90%
人平均收入(元/人)
19980.05110.1172 0.2752 0.4660 0.6907 0.8241 5452.73
19970.05350.1210 0.2821 0.4720 0.6975 0.8307 5184.95
19960.05640.1266 0.2899 0.4789 0.7023 0.8325 4837.31
19950.05770.1277 0.2908 0.4807 0.7040 0.8343 4282.20
19940.05630.1260 0.2869 0.4760 0.7009 0.8324 3498.17
19930.06040.1333 0.2988 0.4891 0.7082 0.8378 2580.53
19920.06410.1425 0.3139 0.5076 0.7257 0.8504 2030.56
19910.06840.1477 0.3236 0.5171 0.7356 0.8561 1714.33
19900.06600.1445 0.3209 0.5160 0.7336 0.8557 1522.84
表3 1990年到1998年城镇居
民收入分配的不平等指数
阿特金森指数
基金系数 w(x)= (1-G)
c=2 c=4
1998 0.226 0.127 0.246 4220.41
1997 0.218 0.116 0.230 4054.63
1996 0.204 0.102 0.201 3850.50
1995 0.204 0.100 0.200 3408.63
1994 0.211 0.107 0.211 2760.06
1993 0.198 0.091 0.184 2069.59
1992 0.179 0.071 0.154 1667.09
1991 0.163 0.057 0.128 1434.89
1990 0.172 0.063 0.143 1260.91
从表2中数据可见最低收入端10%家庭户所拥有的收入份额一般达5～6%左右，与发达国家比 较，这种收入不平等不能说是严重的。
例如⑦中给出了1979—1983年间若干发达国家的罗伦 兹曲线数据，从中可见，低收入端10%家庭户所拥有的收入份额不超过3%，
例如美国为1.42% ，瑞士为1.45%，加拿大为1.79%，澳大利亚为1.92%，瑞典与德国稍高，分别为2.87%与2.6% 。⑤与⑧中的数
据也表明，发达国家的基尼系数与取c=2时的阿特金森指数一般都在0.4到0.5 左右(作者曾利用英国税务部门的数据计算过所有
实际缴过税的纳税人的基尼系数，结果也 是0.4左右)。另注意到发达国家中农业人口比例是很小的，因此其不平等指数主要反映
的是 城 镇人口的收入不平等状态。从表3可以看出，与发达国家比较，本文算出的不平等指数是出 人意料的小，c=4时阿特金森
指数稍大是由于c值越大意味着决策者的平等倾向越强，越倾向 于放大不平等的严重程度。这一结果只能说明我国城镇居民的收入
不平等程度远没有发达国 家严重，如果认为这与经济直观有出入，那么收入分配数据的可靠性就值得怀疑了。
注释：
①P.Dasgupta,A.Sen,D.Smarrett,(1973),Notes on the Measurement of Inequality,Jou rnal of Economic Theory,6,pp.180～187.
②C.Berge,Topological Spaces,New York,Macmillan,1963.
③J.E.Foster,(1985),Inequality measurement,in Fair Allocation,H.P.Young(Ed.),AM S Short Course Lecture Notes,Vol.33.pp.31～68,Providence:American Mathematical S o ciety.
④A.F.Shorrocks,(1983),Ranking Income Distribution,Economica,50,pp.3～17.
⑤A.B.Atkinson,(1970),On the measurement of Inequality,Journal of Economic Theo r y,2,pp.244～263.
⑥Peter J.Lambert,(1989),The Distribution and Redistribution of Income,Basil La nckwell Inc.
⑦J.A.Bishop,J.P.Formby,W.J.Smith,(1991),International comparisons of income in equality:Tests for Lorenz dominance across nine countries,Economica,58,pp.461～4 7 7.
⑧C.Blackorby,D.Donaldson,M.Auersperg,(1981),A new procedure for the measuremen t of inequality within and among population subgroups,The Canadian Journal of Eco nomics,14,pp.665～685.
附录：
