布尔悖论的雅布鲁展开式
陈智斌， 熊 明
【摘 要】 根据库克等人的提法，雅布鲁悖论可看作是说谎者悖论的“展开”。这种展开被证明保持了说谎者的悖论度，从而也保持了它的循环性，并且这种保持对n -卡片悖论及其展开也成立。将这个结论进一步推广到更大的一类悖论——布尔悖论上，利用语句网来表达布尔悖论及其展开可以证明，任何一个布尔悖论与其展开都具有相同的悖论度，还可证明两者依赖了相同的循环性。
【关键词】 悖论度 布尔悖论 循环性 雅布鲁悖论 语句网
一、引 言
一直以来，人们试图通过认识悖论形成的条件，希望据此达到分析悖论的目的。其中，悖论语句中的循环性受到了较多的关注。通常情况下，在讨论以语句作为载体的悖论时，循环性被看作是句子的自指性，即句子中含有名称直接或间接地指称了这个句子本身。基于上述循环性标准，我们确实发现大量诸如说谎者之类的悖论都是循环的。甚至可以证明，一大类被称为是局部有穷的悖论都是如此[1]。那么，是否可以断言一切悖论都基于自指循环性呢？
这个问题在雅布鲁(S. Yablo)提出其著名的悖论以后有了否定的回答。雅布鲁悖论是一个由可数无穷多个语句构成的悖论。为方便起见，称这些语句为雅布鲁语句，并把它们用自然数依次编号： υ 0,υ 1,…,υ n ,…雅布鲁语句的奇特之处在于，每个雅布鲁语句都断定它之后的雅布鲁语句都为假。形式的表达如下：
对任意m >n ，(υ m )都为假
(υ n )
其中n 是任意的自然数。从1993年雅布鲁指出他的悖论不具有循环性之后[2]，关于雅布鲁悖论的非循环性虽然仍有争论[3]，但被大多数逻辑学家认同在语句自指的意义下，雅布鲁悖论不具有循环性。尽管如此，雅布鲁悖论的非循环性在当时被认为也许只是一个例外而已。也就是说，循环性仍然被认为是语义悖论具有的一种普遍性质。
然而，库克(R. T. Cook)及施伦克尔(P. Schlenker)等人分别证明了，雅布鲁悖论实际可看作是说谎者悖论的一种无穷展开[4,5]。这种展开可以理解为，把说谎者语句λ 复制可数无穷多次得到语句集λ 0,λ 1,…比照雅布鲁语句集，可知υ 0实际就是λ 1,λ 2,…的无穷合取，其他语句如此类推[1]。例如，上述工作可扩展到n -卡片悖论上。n -卡片悖论是说谎者悖论的一种较简单的推广，其形式表示如下：
语句(n n )是假的
(n 1)
语句(n 1)是真的
(n 2)
其他联结词的意义可按通常规定。
(n 3)
…
语句(n n-1 )是真的
(n n )
n -卡片悖论可展开得到n -雅布鲁式悖论[1]。例如，2-雅布鲁式悖论可表示为两行无穷列的无穷矩阵：
其中语句
断定对任意k >1，语句
都为假，语句
断定对任意k >1，语句
都为真；语句
断定对任意k >2，语句都为假，语句
断定对任意k >2，语句都为真；以此类推。
与雅布鲁悖论消除说谎者悖论的直接自指性类似，当n 大于1时，n -雅布鲁式悖论消除了n -卡片悖论的间接自指性[1]。进一步的研究表明，上述展开虽然可消除自指意义下的循环性，但却不会改变悖论的悖论度。悖论度是指利用悖论发生矛盾的条件对悖论的矛盾强弱程度进行衡量的尺度。一般而言，任何一个悖论都是在一定条件下才会产生矛盾的。如果一个悖论在另一个悖论发生矛盾的条件下总是产生矛盾，那么就说前者的悖论度不弱于后者的悖论度。当然，如果两个悖论在对方发生矛盾的时候也都总发生矛盾，那么就说两者具有相同的悖论度[6]。可以证明对任意的自然数n ，n -卡片语句集与n -雅布鲁式语句集具有相同的悖论度[1]。特别地，说谎者悖论与雅布鲁悖论具有相同的悖论度。还需要特别指出的是，因为n -卡片语句集发生矛盾的条件在下述意义下都与循环性相关：它们在并且只在含有特定循环的框架上才会出现矛盾(详见文献[7])。所以，n -雅布鲁式语句集也必定是在相同的有循环的框架下才会出现矛盾。在这个意义下，n -雅布鲁式语句集的悖论性依赖于循环性。就雅布鲁悖论而言，它之悖论性基于与说谎者悖论相同的循环性：即在并且只在含有长度是奇数的循环的框架下才会产生矛盾。当然，这个结论与前面提到的雅布鲁悖论不具有自指循环性并不冲突，因为此处循环性是比自指循环性更深层的循环性。
作为n -卡片悖论推广，可以考虑这样的悖论:
语句(b 2)是真的，并且语句(b 3)是假的
(b 1)
语句(b 1)是假的，或者语句(b 3)是真的
(b 2)
语句(b 1)是真的，并且语句(b 2)是真的
(b 3)
这种悖论是由文兰首先提出的[8]，其一般特点是：每条语句均可表示为一组语句的布尔组合，无妨把这类悖论统称为布尔悖论。布尔悖论是说谎者悖论更为一般的推广，它包括了说谎者悖论、n -卡片悖论、克里悖论(Curry’s paradox) [9]等在内的许多语义悖论，实际涵盖了一大类的语义悖论。
其次是或将影响行业复苏。在集运市场，班轮公司在经过整合后对投放市场的运力达成更多共识，一直偏离价值的运价也终将向正常范围靠近。如果中美贸易战全面升级，美国将征收关税对象的产品清单向低附加值货物扩展，将给班轮公司带来运量和运价的双重压力，这将打破集运市场周期复苏的势头。随着下降趋势持续推进，将从集运市场波及散运以及油运市场，从而进一步影响整个航运市场。
对于布尔悖论，可类似于展开n -卡片悖论那样对其进行展开(详见下一节)。布尔悖论是一种特殊的局部有穷悖论，因此，它们都是自指的。对其展开就消除了其自指性，这一点不难证明。但还有一个问题尚待回答：布尔悖论的(非自指)展开是否保持了悖论度呢？即布尔悖论是否总能展开得到悖论程度等价且非自指的悖论吗？如果回答是的话，则一方面说明了自指循环性的缺失绝不是出现在雅布鲁悖论上的个案，而是一大类具有雅布鲁展开特征的悖论的共有特征。另一方面，如果这种展开保持了布尔悖论的悖论度，那么因为布尔悖论只是在含有特定循环性的框架下才会出现矛盾[10]，因此布尔悖论的展开也在相同的含有特定循环性的框架下才会出现矛盾。我们看到，布尔悖论的展开虽然消除了原先悖论的自指循环性，但其完整地保留了框架上产生矛盾的循环特性。这说明相对于悖论形成的条件而言，后一循环性才是更本质的条件。本文将证明上述问题的回答是肯定的。
二、布尔悖论与布尔语句网
为研究当前问题，首先需要定义一套形式语言并给出关于布尔悖论的形式化表示方法。一般来说，可在算术语言中应用对角线引理构造其形式化表示。不过本文所研究的主要是布尔悖论，其表达不涉及量词，因此可通过更简单的语言来进行形式化。本文将通过引入语句网(sentence net)[11]来表达布尔悖论。[注] 语句网概念由波兰特(Bolander T.)和库克各自独立地提出，有关历史请参见文献[10],第108—109页。 下面给出本文所使用的形式语言，并定义语句网、布尔语句网以及赋值等相关概念。
定义1 设N 为可数命题变元集，取p ,q (可带上下标)等作为变元符号，
为否定符号，∧为无穷合取符号，定义形式语言L N 如下：
(1) 所有N 中元素是公式。
(2) 如果A 是公式，则A 是公式。
(3) 如果Ψ是公式集, 则∧Ψ是公式。
语句(n 2)是真的
不同横截面的X向纸瓦楞管的变形模式稳定，不随瓦楞管横截面形状的变化而变化。Y向纸瓦楞管的变形表现为多种模式的混合，随着横截面正多边形边数的增加，其变形更加复杂。正三边形纸瓦楞管主要发生稳态渐进屈曲和欧拉失稳的组合，正四边形纸瓦楞管主要发生稳态渐进屈曲、欧拉失稳和横向剪切的组合，正五边形纸瓦楞管和正六边形纸瓦楞管主要发生稳态渐进屈曲、欧拉失稳、角撕裂和横向剪切几种变形模式的组合，正六边形纸瓦楞管相比正五边形纸瓦楞管大部分发生了欧拉失稳和角撕裂，且角撕裂的程度更加严重。
定义2(语句网) 规定形如π :A 的表达式为子句(clause)，其中π 是命题变元,A 是公式。语句网是L N 中的子句集，其中要求如果语句网中有π :A 和π :B , 则A 和B 是同一个公式。
以说谎者语句为例，其语句网可表示为{p 1:p 1}。前面关于布尔悖论所举例子可表示为{p 1:p 2∧p 3,p 2:p 1∨p 3,p 3:p 1∧p 2}。称表示布尔悖论语句集的语句网为布尔语句网，布尔语句网及其展开定义如下：
2018年对于家电行业而言，可以说是举步维艰的一年，整体而言居民购买需求以更新换代需求为主，但是释放缓慢。此外，家电市场外部环境趋劣，受政策空窗，经济放缓，原材料价格持续高位，房地产遇冷等等多重因素影响，家电市场规模增长失速。在这样的情况下，家电市场竞争开始回归市场本源，价值战取代价格战，家电企业调结构，求利润，拼产品、拼技术、拼品牌、拼效率，市场步入精细化竞争时代。
定义3 称
为布尔语句网，其中g i 为只使用合取或析取两种运算的布尔组合函数。称
为p i 中的文字
时为正文字，否则为负文字。规定Θ的展开为语句网
其中文字
表示
中指涉的
或
要求对每个
同为正文字或负文字。
定义4 给定框架K =<W ,R >，映射V :N →P (W )是K 的一个赋值，其中P (W )是W 的幂集。对公式的赋值仍用符号V 表示，按如下规则递归计算：
(1)V (A )=W\V (A )
(2)V (∧Ψ)=∩{V (A )|A ∈Ψ}
接着需要明确布尔语句网与其展开之间在何种意义下具有相同的悖论度，为此需要引入语句网的可容许赋值[12]等概念。可容许赋值是建立在关系框架上的，框架由非空集合W 及其二元关系R 所构成。语句网相对于某个框架而具有可容许赋值。根据可容许赋值的概念就可定义语句网在某个框架中的悖论性；然后，以此为基础可提出对应的悖论度概念，它用于比较两个悖论之间矛盾程度的强弱。为简单起见，此处只针对布尔语句网及其展开给出相关的可容许赋值定义，并根据需要给出了悖论度的部分定义。
定义5 称框架K =<W ,R >中的赋值V 是布尔语句网Θ的一个可容许赋值，如果对布尔语句网中的所有子句有：
(1)
定理1 布尔语句网Θ与其展开Θ*之间具有相同的悖论度。
(2)
定义6 给定语句网Σ，如果在框架K 中不存在Σ的可容许赋值，则称Σ在K 中是悖论的。特别地，当Σ在极小自返框架中是悖论的，则称Σ是悖论的。
定义7 (悖论度) 给定语句网Σ和Γ，对任意框架K ，如果Σ在K 中是悖论的，蕴涵Γ在K 中也是悖论的，则称Σ在悖论度上不强于Γ，记作Σ
Γ。如果ΣΓ且ΓΣ，则称它们具有相同的悖论度。
三、布尔语句网与布尔系统的关系
证明：设X ={n 1<n 2<…}，记X nj ={k ∈X |k >n j }。设V 是Θ*「X 在K 中的可容许赋值。定义V X 为如下：对任意1≤i ≤n 和
且对每个k >j ，对应地有k ′∈X nj 使得
据布尔语句网定义可知
类似于前面的证明，由V 是Θ*「X 在K 中的可容许赋值，容易验证V X 是Θ*在K 中的可容许赋值。反之，设V 是Θ*在K 中的可容许赋值，可构造
同理，可验证V X 是Θ*「X 在K 中的可容许赋值。
定义8 设有布尔语句网
并且有布尔系统Δ ={δ 1,…,δ n }，f i 是Δ 所使用的布尔组合。称Θ与Δ 在表示上是同一的，如果对每个i ，有
引理1 如果布尔语句网Θ与布尔系统Δ 在表示上是同一的, 则Θ在某个框架中具有可容许赋值当且仅当Δ 在该框架中具有可容许指派。
证明：设有布尔语句网
及布尔系统Δ ={δ 1,…,δ n }在表示上是同一的。给定框架K =<W ,R >，设V Θ和V Δ 分别是Θ和Δ 在K 中的赋值和指派。如果规定对任意w ∈W ，有w ∈V Θ(p i )当且仅当V Δ (δ i ,w )=1。以此作为归纳的基始，按公式的结构容易归纳证明，w ∈V Θ(f i (p 1,…,p n ))当且仅当V Δ (f i (δ 1,…,δ n ),w )=1。由于Θ与Δ 在表示上是同一的，据布尔语句网赋值的定义，易知
因此
当且仅当V Δ (f i (δ 1,…,δ n ),w )=1。注意在布尔系统中也可以用f i 计算公式的真值，因此有当且仅当f i (V Δ (δ 1,w ),…,V Δ (δ n ,w ))=1。
设V Δ 在K 中是可容许的，并按上述等价关系构造赋值V Θ。可知对任何u ,v ∈W 使得uRv ，以及每个1≤i ≤n ，如果
使得f i (V Δ (δ 1,u ),…,V Δ (δ n ,u ))=1，则有V Δ (δ i ,v )=1，从而有v ∈V Θ(p i )。若
显然同样有v ∉V Θ(p i )，因此V Θ在K 中是可容许的。反之同样可验证如果V Θ在K 中是可容许的，则V Δ 在K 中是可容许的。
证明：设X 是正整数集的一个子集，w 是K 中的一点。对任意1≤i ≤n 和Θ*在K 中任意可容许赋值V ，定义
如下：如果
是无穷且余无穷的，
否则
对每个1≤i ≤n ，归纳定义
如下：
令
2012年，按照加快实施最严格水资源管理制度试点相关要求，上海市水务局组织编制了 《上海市水资源管理系统实施方案》，启动了新一轮水资源管理系统建设，一是在已有水资源监测的基础上进一步优化完善信息采集，形成与实行最严格水资源管理制度相适应的水资源监控能力；二是建立市区两级水资源管理应用系统，进一步增强支撑水资源定量管理和对“三条红线”执行情况进行考核的能力。
那边李峤汝的话兜头泼了苏楠一头冷水。怎么找？李碧汝是不是律师都难确定，人家要是顺口敷衍我们呢？我母亲老是惦念着人家，我大学毕业她唠叨说，也不知道碧汝考没考上大学；我结婚她也唠叨，也不知道碧汝现在成家没；我生乐乐，她在产房里还不忘念叨，不知道碧汝有没有孩子；就连我离婚，她心里也没忘了那个碧汝，也不知道她过得怎么样了……搁农村，我母亲这叫漫天雪地里烤火，一面儿热。
根据布尔悖论的刻画结果，可知布尔系统具有框架紧致性[10]。由于对每个布尔语句网显然都有与其在表示上是同一的布尔系统, 而据引理1可以认为布尔语句网的悖论性定义与布尔系统的悖论性定义[1]本质是相同的, 由此可知布尔语句网同样具有框架紧致性。
东海2号机组是一座1978年3月首次并网发电的1060 MWe沸水堆。在2011年3月11日导致福岛核事故的地震和海啸发生期间，虽然丧失了场外电力供应，且1台应急发电机因海啸受损，但该机组仍然实现自动停堆，进入并保持在冷停堆状态。运营商日本原子能电力公司(JAPC)2014年5月向规制委提交该机组的重启申请。
引理2 如果布尔语句网在框架K 中是悖论的, 那么它在K 的某个有穷子框架中也是悖论的。
此外，上述关于布尔系统及布尔语句网的定义只考虑有穷的情形。可定义包含有无穷条语句的广义布尔系统(Generalized Boolean System) 并将其悖论性判定问题归约为布尔可满足性判定问题[10]。已经证明，广义布尔系统是悖论的，当且仅当存在某个广义布尔系统的有穷子集也是悖论的。因此只需要考虑有穷布尔系统的悖论性即可。类似地可定义广义布尔语句网，显然之前关于布尔语句网的可容许赋值的相关定义和结论都适用于其广义情形。每个布尔语句网都有与其在表示上是同一的布尔系统，由此可知对于广义布尔语句网的悖论性判定问题同样只需要考虑布尔语句网的有穷情形即可。
四、布尔语句网与其展开之间悖论度的比较
其中uRv 表示条件：W 中的点u 通达v 。类似地，对于布尔语句网的展开Θ*，其赋值的可容许条件为：
本节主要证明上述定理。首先证明如果Θ在某一框架中有可容许赋值, 则Θ*在此框架中也有可容许赋值。设V 是Θ在框架K 中的可容许赋值，构造Θ*在K 中的赋值V *如下：对所有
然后据布尔语句网的定义，
和
同为正文字或负文字，因此
根据语句网赋值的定义有
因为V 是可容许赋值，据布尔语句网可容许赋值定义中的(1)式以及前面已证的结果，易知对于K 中所有u ,v ，有(2)式成立，即V *在K 中是可容许的。
然后，为证如果Θ*在某一框架中有可容许赋值蕴含Θ在此框架中也有可容许赋值，需要引入两个概念：自相似性和收敛性[13]。
玉米，因其是世界第三大粮食作物，所以在我国一直有着广泛的种植面积。近些年来，我国对玉米的需求量还在逐渐增长，因而掌握玉米种植的高产技术方法，对我国广大的玉米种植户来说，有着非凡的意义。
首先讨论自相似性。可将布尔语句网的展开Θ*看作是由n 行和无穷列的子句构成的阵列。设X 是一个正整数集的子集，用于表示Θ*的子句阵列的列编号。按X 取Θ*的多列子句而重新构成的布尔语句网可称为对Θ*的限制，记为Θ*「X 。类似地，如果有赋值V ，同样可以使用X 得到该赋值的限制V 「X 。下面证明若X 是一个无穷集，则Θ*「X 与Θ*是等价的，称Θ*的这种性质为自相似性。可利用Θ*的自相似性，间接地通过考察Θ*「X 的悖论性来获知Θ*的悖论性。
引理3(自相似性) 如果X 是一个无穷集, 则Θ*「X 在K 中有可容许赋值, 当且仅当Θ*在K 中有可容许赋值。
设L 为算术语言，N是L 的标准结构，Th (N)是L 中的真算术理论。在L 中加入真谓词T 得到L +，对应地有L +的真算术理论Th +(N)。基于上述概念，熊明根据对角线引理给出了布尔悖论语句集的另一种表示形式：布尔系统，并且基于可容许指派的概念给出了布尔悖论的刻画结果[1]。由于本文的证明将使用到布尔系统的一些性质，作为准备需要讨论布尔语句网与布尔系统的关系。首先，通过如下定义及引理说明布尔语句网的可容许赋值与布尔系统的可容许指派的关系；然后给出语句网的框架紧致性定义，并证明布尔语句网具有框架紧致性。
接着讨论收敛性。它是指Θ*在K 中的赋值V 对任意1≤i ≤n ，都存在数N i ，使得对任意
为了得到一个Θ*的收敛可容许赋值，可首先构造一个Θ*的限制的收敛可容许赋值，再根据自相似性引理构造出Θ*的收敛可容许赋值。为此，从一个Θ*的可容许赋值V 0开始，反复迭代地删除Θ*中的某些列，由此不断得到新的Θ*的限制以及对应的赋值V 1,V 2,…。对上述过程有两个要求：一是要求过程是可终止的，为此可限制在有穷框架下，按框架中的每个点执行Θ*中列的删除操作；二是要求过程输出的赋值是可容许的，这就需要保证此过程中从V 0开始的每一步所产生的赋值均符合可容许条件。
传统的实践教学环节通常被集中安排在每个学期的期末，用时2～5个教学周，从低年级到高年级，课程逐次递进，主要包括现代工程图学课程设计、机械原理课程设计、机械设计课程设计、单片机原理及应用课程设计、机械制造技术基础课程设计等。实践环节的内容紧紧贴近某门课程或某项技术，但其眼界过于狭窄，对机电一体化、程序开发、互联网等多项交叉技术的课程设计少有开展，束缚了学生的创新创业思维。
Conclusion: hybrid technologies are characterized by a shorter duration of surgical intervention,a low amount of blood loss and a lower incidence of complications in the early periods.These findings open new prospects for revascularization in persons with severe comorbid pathology.
基于上述思想，需要明确框架K 中的每个点将使Θ*的哪些列得到保留。设Θ*「X 在K 中具有可容许赋值。对每个1≤i ≤n 和w ∈W ，用
表示Θ*「X 作为一个子句阵列其第i 行中在w 上赋值为真的所有命题变元的下标，即
约定在V 和X 明确的前提下，可将简记为
以下引理证明了按
保留下来的子句阵列能得到对应的可容许赋值。
以下引理构造了寻找Θ*的收敛可容许赋值的方法，以此证明了Θ*的收敛可容许赋值的存在性。
证明：在W 中任取u ,v 两点，使得uRv 。分情况讨论：
如果w =v ，因为非空，可设
使得布尔语句网可容许赋值定义中的(1)式成立。又因为是余无穷的，所以可设有j ′>j ，使得
从而又有
由于
且
根据布尔语句网可容许赋值定义中的(2)式，容易证明
矛盾。因此w ≠v 。
如果w ≠u 且w ≠v ，则所证结论空洞地成立。
如果w =u ，由于是无穷集，按前一引理中的证明方法构造
即可证
是
在K 中的可容许赋值。
引理4 设X 是正整数的子集，V 是Θ*在K 中的可容许赋值。对任意w ∈W ，如果是无穷且余无穷，则是在K 中的可容许赋值。
2002年，党的十六大报告强调可持续发展的重要要求之一就是“生态良好”，这是中国共产党首次在党代会报告中提出生态良好的理念。2005年，胡锦涛在中央人口资源环境工作座谈会上首次使用“生态文明”一词，这次大会对“生态文明”的肯定和运用，使“生态文明”越来越受到大众关注。
引理5 如果Θ*在一个有穷框架K 中有可容许赋值，则它在K 中必有收敛的可容许赋值。
定义9 称一个语句网具有框架紧致性, 如果它在一个框架中是悖论的，蕴含它在此框架的某个有穷子框架中也是悖论的。
设K 中W 共有m 个点，令0≤k ≤m 归纳定义X k 和V k 如下：X 0=
，V 0=V ，X k+1 =wk+1 (V k ,X k )，V k+1 =V k 「X k+1 。使用数学归纳法，并根据引理4，可证对于任意0≤k ≤m 如下命题成立：
(1)X k 是无穷集，且对任意h ,0≤h ≤k ，X k ⊆X h 。
（3）滑道要与水平面有一定的夹角（5°左右），释放后保证钢球可以平缓滚入浇口杯，避免角度过大，钢球滚入速度过快撞裂浇口杯而导致“钻钢”。
(2)V k 是Θ*「X 在K 中的可容许赋值，且对任意1≤i ≤n 和0≤h ≤k 以及j ∈X k ，都有
(3)对每个1≤i ≤n ，都存在数
使得下列两个条件至少一个成立：
(3.1)对所有满足
的j ∈X k ，有
(3.2)对所有满足的j ∈X k ，有
特别地，Θ*「X m 是Θ*的一个无穷子集，且它在K 中有可容许赋值V m 。
根据命题(3)，对每个1≤i ≤n ，取
中的最大者N i ，任取w k ∈W 以及j 1,j 2∈X m ，使得j 1,j 2>N i ，据命题(2)有，
当且仅当
而据命题
当且仅当
又据命题
当且仅当
由此可知
即证明了V m 是Θ*「X m 在K 中的收敛可容许赋值。然后，根据自相似性引理及其证明，通过V m 即可构造关于Θ*在K 中的可容许赋值V *，因为V m 是收敛的，所以V *也是收敛的。
最后完成定理1的证明。首先，如果K 是有穷框架且Θ*在K 中有可容许赋值，则根据引理5可假设Θ*在K 中有收敛的可容许赋值V *。然后据收敛性的定义，对每个1≤i ≤n ，都存在N i 使得对
构造Θ的赋值：
其中N 是所有N i 中的最大者。据布尔语句网的定义，对所有k ≥N ，1≤t ≤n ，有
而由V *的收敛性又有
即有
类似于前面的证明，可由赋值V *的可容许条件及以上V 与V *的关系，得到V 的可容许条件同样成立，即V 是Θ在K 中的可容许赋值。进一步，对于任意框架K ，由于如果Θ*在K 中有可容许赋值，则Θ*在其所有的有穷子框架中有可容许赋值。据以上证明，可知Θ同样在K 的所有的有穷子框架中有可容许赋值。根据布尔语句网的框架紧致性, 可知Θ在K 中有可容许赋值。证毕。
网络安全的另一个重要方面是网络与信息系统的安全，几年前的“震网”病毒使伊朗核设施受到大面积破坏，显示出关键基础设施已经成为网络武器的真实攻击目标，有可能引发灾难性后果。斯诺登事件表明，少数国家利用掌握的互联网资源和信息技术优势，大规模实施网络监控，大连窃取政治、经济、军事秘密以及企业、个人敏感数据，有的还远程控制他国重要网络与信息系统。试想，在危急时刻，如果一个国家涉及国计民生的关键基础设施被人攻击后瘫痪，甚至军队的指挥控制系统被人接管，那真是“国将不国”的局面。
五、结 语
定理1通过布尔语句网及其展开讨论了有穷悖论语句集与无穷悖论语句集之间的具体关系。对于有穷情形的布尔语句网，它在语句自指的意义下是循环的。而另一方面，由于在布尔语句网的展开中，对每个命题变元所指涉的
都有k >j ，因此显然布尔语句网的展开在语句自指的意义下不具有循环性。定理1表明，具有自指性的布尔悖论语句集对应地可得到了在悖论度上等价但具有非自指性的无穷布尔悖论语句集。这就肯定性地回答了本文在开始时提出的问题：布尔悖论是否总能展开得到悖论程度等价且非自指的悖论吗？
在悖论度的讨论上，我们也看到除了自指循环性这种句子表层的结构性特征，悖论还有更深层次的循环性，即悖论产生矛盾的框架中出现的循环性。定理1表明了虽然布尔悖论的展开不再具有布尔悖论的自指循环性，但却完全保留了布尔悖论的框架循环性特征。这样，我们从更深的层次看到了悖论对循环性的依赖。
通过分析表1，3口井抽水时，最大水位埋深为34.0～35.3 m，相比初始水位，水位降深为8～9.3 m，其中停抽S1时水位为34.0 m，为最不利水位。
参考文献：
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【基金项目】 国家社会科学基金重大项目“逻辑真理论的历史源流、理论前沿与应用研究”(17ZDA025)
【收稿日期】 2019-04-08
【中图分类号】 B812
【文献标识码】 A
【文章编号】 1000-5455(2019)04-0183-06
(作者简介: 陈智斌 ，广东广州人，华南师范大学政治与行政学院博士研究生，广东技术师范大学计算机科学学院讲师；熊明, 云南昭通人，华南师范大学政治与行政学院教授。)
【责任编辑：赵小华；责任校对：赵小华】