闫龙[1]2017年在《几类非线性系统的动力学研究》文中研究表明本文主要研究几类常见非线性系统的动力学性质.全文内容共分四章,第一章为绪论,第二章至第四章为论文主体部分.在第二章中,我们考虑一类含有非线性耗散项的黏弹性波动方程的初边值问题.问题的具体形式如下:其中Ω(?)Rn为具有光滑边界(?)Ω的有界区域,R+ = {t|0<t<∞},△表示Rn中的Laplace算子,'表示(?).对该方程中的h与g,我们有以下假设:(H.h)h ∈ × R)关于第二个变量单调递增,并且存在一个严格单调递增的奇函数kk∈ C1(R+)使得对某个正常数r0<1,有kk(r0)<1以及K(v)=(?)((?))为[0,r02]上的严格凸函数.同时满足其中a(x)∈ L∞为一正函数,c1,c2,c3,c4均为正常数,k-1表示kk的反函数;(H.g)g(t)≥ 0是一个单调不增函数,且满足同时,存在一个非负的凸函数G ∈ C1(R+),满足G(0)= G'(0)= 0并且使得和成立.在这些假设条件下,我们首先给出该问题解的存在性定理.定理1.假设h,g满足(H.h),(H.g),且有u0∈H01(Ω)∩H2(Ω),u1∈H01(Ω).那么,问题(1)存在唯一弱解满足然后,通过构造适当的乘子并运用积分形式的Gronwall不等式,我们得到了关于这类非线性系统的能量衰减率估计.定理2.假设(H.g),(H.h)成立,并且u0,u1满足定理1中条件.那么存在某个正常数C>0以及与E(0)有关的常数ω使得其中能量泛函E(t)的定义为上式中||·||表示L2范数.同时,η是一个当t→+∞时衰减到0的单调递减函数,其具体形式如下:式中L,v以及常数C11将分别在(2.47),(2.50)和(2.49)中给出.上述定理给出了同时具有弱耗散项以及黏弹性项的波动方程的能量估计公式.众所周知,耗散项和黏弹性项都会造成波动方程能量的衰减,但是关于两者同时存在时方程能量衰减问题的研究目前还处于刚起步阶段,许多关于这方面的研究所处理的耗散项以及黏弹性项的形式相对简单.在这一章中,我们利用凸函数的性质,对于复杂的耗散项和黏弹性项进行了讨论,并在一定程度上对比了这两者在方程能量衰减中起到作用的大小.定理中的公式可应用于多种具非线性耗散项的黏弹性波动方程的能量衰减率估计.在第二章的最后,我们将会通过两个例子来展示定理2的应用.在第叁章中,我们考虑一类具非线性耗散项的变系数梁方程的初边值问题.问题的具体形式如下:其中Q(?)Rn为具有C2边界(?)Ω如的非空有界区域,R+ = {t|0<t<+O∞},‖·‖为L2范数,▽与△分别为Rn中的梯度算子与Laplace算子,'表示(?),v是边界(?)Ω上的单位外法向量,(?)表示法方向导数.变系数梁方程可以用于描述由非均匀材料所构成的梁的振动.相对于一般的常系数梁方程,它可以更好的描述实际情形,但变系数的出现也为方程的求解过程带来了困难.除此之外,非线性耗散项的存在也使得方程的求解变得复杂.在这一章中,我们定义了两个特殊的能量泛函,通过对于这两个泛函的估计并运用Aubin-Lions定理解决了这些问题.对于方程中的变系数a(x,t),b(x t)以及非线性项M(x,t,λ),h(s),我们有以下假设:(H.a)函数 a 与 a'满足a,a'∈ a(Ω × R+),函数 a"与 a"'满足 a",a"' ∈L1(Ω ×R+),并且存在常数 a0>0,a1 ∈R,A0>0,>0,A2>0,A3>0使得(H.b)对于所有的t ∈ R+,有b(.,t)∈H02(Ω);对于所有的x ∈ Ω,有b(x,·)∈C1(R+).此外,b'(x,t)∈L1(Ω× R+)并且存在常数b0>0,Bo>0,B1>0,B2>0使得(H.M)函数M满足M(x,t,λ)∈C1 × R+ × R+)并且存在常数M0 ≥ 0,M1>0,M2 ≥ 0,M3 ≥ 0 使得(H.h)函数h∈C1(R)为一非减函数且满足并且存在常数 使得首先,我们运用Feado-Galerkin方法以及能量方法对问题强解的存在唯一性进行了研究并得出了以下定理.定理3.(存在性)假设(H.a),(H.b),(H.M)以及(H.h)成立,并且初值满足 同时,存在常数b0使得且满足其中 函数H(t)以及常数C2的具体形式将在(3.12)和(3.17)中给出,C为Poincare常数使得对所有的u ∈H02(Ω),有‖u‖≤C‖▽u‖,‖▽u‖≤‖▽u‖,‖u‖≤C‖△u‖.那么,上述初边值问题的强解存在.定理4.(唯一性)如果条件(H.a),(H.b),(H.M)以及(H.h)成立,并且M(x,t,λ)满足M ∈C1(Ω ×[0,+∞)×[0,∞)),△M,▽M ∈ L∞(Ω ×[0,+∞)×[0,+∞)).那么,上述问题的解是唯一的.在此基础上,我们还研究了该方程解的长时间渐近行为,证明了能量泛函的指数衰减,得到以下定理.定理5.在定理4的假设下,存在常数0,γ>0使得上述问题的能量泛函满足E(t)≤ζe-γt,(?)t≥0,其中能量泛函E(t)的定义如下:E(t)=1/2∫Ω(a(x,t)|u'|2 + b(x,t)|△u|2 + M(x,1t,‖▽u(t)‖2)▽u|2)dx.在第四章中,我们研究了稳态Poisson-Nernst-Plank(PNP)系统.系统具体形式如下:其中x∈(0,1),k =1,2,...,n.其边值条件为:Φ(0)= V,ck(0)=lk≥ 0>;Φ(1)= 0,ck(1)= rk≥>0.上式中,Φ表示电压,ck,Jk分别表示第kk种离子的离子浓度以及流量密度,区间[0,1]表示整个离子通道,ε2《1为一与维度无关的参数,h(x)表示x位置的横截面积,Q(x)表示离子通道内壁上的永久电荷分布,αk≠0表示第kk种离子的带电量,lk和rk分别表示离子通道两端的离子浓度.由于ε很小,我们可以把上述边值问题看成奇异连接问题.然后,运用问题的特殊结构,我们将寻找奇异轨的问题转化为求与系统相对应的某个矩阵的特ξ征值问题.再通过进一步的推导,我们又将该求解特征值问题转化为求某个方程h(z)=0的根的问题,其中h(z)的具体形式为为叙述方便,我们首先定义了以下变量.之后,我们考虑了 n = 3时上述问题所对应矩阵的特征值λ1,λ2,λ3的分布情况,由于边界条件满足电中和的性质,因此我们有= ∑i=1αili=∑i=13αiri=0,进而可以推出λ1 = 0恒成立,于是我们只需要求得另外两个特征值A2,A3的分布即可求出以上PNP系统的奇异轨.关于λ2,λ3的分布情况我们得到了以下结论.命题1.当mr = ml时,我们有此时,λ2,λ3具有以下形式当mr<ml时,A2,A3分别为h(z)的两个实零点,更进一步,我们有λ3>ml且命题2.当mr>ml且pmr<ml 时,λ2,λ3分别为h(z)=0的两个不等实根,且满足<0<<ml;当mr>m 且pmr=ml 时,A2,A3分别为h(z)=0的两个不等实根,且满足对于mr>m 且pmr>ml的情况,A2,A3的分布情况比较复杂,为研究它们的分布我们首先定义了两个辅助函数:应用这两个函数的性质并通过进一步计算,我们得到了如下定理.定理6.的零点且其有以下几种分布情况:为方便理解,我们在文中针对上述定理中的每种情况都给出了相应的特征值分布的直观示意图.以上是在相关领域中第一次从具体的特征值分布情况入手研究PNP系统所得到的结果,在这些结论的基础上,我们又对该系统的电流L进行了研究,给出了不同特征值分布下电流L的公式.更进一步,我们根据所求电流L的公式对电流与电压的关系进行了细致的分析.这些分析对于科学实验以及数值模拟都有着指导性作用。
王祥, 陈金梅[2]2008年在《一类非线性波动方程的扰动问题的解的存在唯一性》文中进行了进一步梳理利用Galerkin方法和数学归纳法研究了一类非线性波动方程的初边值问题的扰动问题的弱解的存在唯一性。
赵彦玲[3]2007年在《位势井族理论应用到带有源项和阻尼项的非线性波动方程》文中认为本文研究了一类带有源项和阻尼项的非线性波动方程的初边值问题u_(tt)-△u+a|u_t|~(m-1)u_t=b|u|~(p-1)u，x∈Ω，t＞0 (1)u(x，0)=u_0(x)，u_t(x，0)=u_1(x)，x∈Ω(2)u(x,t)=0，x∈(?)Ω，t≥0 (3)其中a≥0，6＞0，Ω(?)R~N是有界域，当N=1，2时，1＜m≤p＜∞；当N≥3时，1＜m≤p≤N+2/N-2。首先我们应用新的方法引进了一族新的位势井，其中包括我们所熟知的位势井作为新位势井族的特例，然后应用这族新位势井得到了问题(1)-(3)的整体解的新的存在性定理及相关的推论，进而研究了问题(1)-(3)解的不变集合和解的真空隔离现象。最后应用M.Nakao建立的差分不等式证明了该问题整体解的衰减估计。
马腾宇[4]2008年在《强阻尼非线性波动方程的初边值问题》文中认为本文研究任意维强阻尼项非线性波动方程的初边值问题u_(tt)-α△u_t-△u=f(u),x∈Ωu(x,0)=u_0(x),u_t,(x,0)=u_1(x),x∈Ωu|(?)Ω=0其中Ω(?)R~n为适当光滑的有界域.首先,我们应用新的方法引进了一族新的位势井,然后应用这族新位势井方法得到了问题的整体解的存在性定理及相关的推论,进而证明了整体弱解的存在性,整体强解的存在性与唯一性;其次,研究了问题解的不变集合和解的真空隔离现象.最后,利用改进了的积分估计方法,在关于非线性项非常广泛的假设下,证明问题的整体强解当时间t→+∞时,以指数形式衰减为零的渐近性质.
付庭鹏[5]2017年在《两类非线性波动方程若干问题的研究》文中提出非线性波动方程是一类重要的数学模型,经常用于描述自然现象,也是非线性数学物理最前沿的研究课题之一.因其本身重要的应用背景以及非线性带来的数学上的困难,引起了人们浓厚的研究兴趣,具有广泛的应用性和旺盛的生命力.通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统的本质特性,极大地推动相关学科如物理学、力学以及工程技术的发展.本文研究两类非线性波动方程的Cauchy问题:一类是带阻尼的Rosenau方程;一类是修正的b族方程,分别对其解的一些性质做了研究.主要研究内容包含以下几个部分:第一章主要介绍两类非线性波动方程的物理背景、研究意义及国内研究状况与发展态势.第二章研究一类带阻尼Rosenau方程的Cauchy问题.首先利用压缩映射原理研究证明其解的存在唯一性,再利用凹分析的方法得到其解的爆破,最后利用其相应线性方程解的衰减估计来研究其解的渐近性.第叁章讨论一类修正的b族方程解的持久性问题.首先给出持久性研究的准备知识,然后通过对方程解的估计,证明当初值有一定的衰减持续性时,方程组的解也和初值有同样的衰减持续性质.
喻朝阳[6]2014年在《四阶非线性波方程整体解的存在唯一性》文中研究指明梁和板振动是重要的物理现象,在数学上通常用四阶非线性波动方程来研究,所以探讨四阶波动方程具有重要的理论价值和实际意义。方程解的存在唯一性是研究方程解的性态和分析解的性质的前提和基础。本文研究了四阶非线性弱阻尼波动方程utt+αut+Δ2u=f(t,x,u,▽u)的整体解的存在唯一性。利用了空间序列技巧和能量估计方法,验证了当非线性项f(t,x,u,▽u)满足一定条件时,方程存在整体解;并证明了四阶非线性弱阻尼波动方程整体解的唯一性。本文主要扩展了非线性项,在已有文献中的非线性项为up-1u或者为f(u),不含有导数,而本文研究的非线性项为f(t,x,u,▽u),所以适用范围更加广泛。
赵晶[7]2008年在《两类非线性发展方程解的存在性研究》文中研究指明本文主要研究了一类半线性拟抛物方程的初边值问题和一类强阻尼波动方程的柯西问题.首先,研究了一类半线性拟抛物方程的整体W~(1,2)和W~(1,P)的解的存在性,证明了若f一阶连续可微,f'(u)上方有界且满足一定的增长条件,则对任意T>0,此问题存在唯一整体解.接着,应用位势井的方法,研究一类非线性波动方程的柯西问题,其中半线性项满足一定的增长条件.证明了当初始能量小于位势井深度时此问题存在整体弱解,且这个解在位势井中.最后,应用位势井族的方法,研究一类非线性波动方程的不变集合与解的真空隔离,证明了当初始能量小于位势井深度时,此问题存在不变集合与解的真空隔离现象.
徐伟[8]2011年在《非线性波动方程非齐次问题长时间存在性及其应用》文中研究表明在本文中,我们将讨论非线性波动方程非齐次问题小初值经典解的长时间存在性.首先我们利用压缩映像原理和广义能量积分证明了系统稳态解的存在唯一性,并借助波动算子的平移不变性、空间旋转不变性和伸缩不变性,通过连续性讨论,证明了叁维空间中含非齐次项拟线性波动方程柯西问题经典解的几乎整体存在性和叁维空间中具有零形式拟线性波动方程组星形区域非齐次边界外问题经典解的整体存在性.利用类似的思想,我们还得到了受外力各向同性超弹性体经典解的几乎整体存在性及当非线性项满足零条件时系统的经典解当时间趋于无穷大时会收敛于系统的稳态解.其次,我们证明了叁次半线性波动方程(Klein-Gordon方程)经典解的指数阶能稳,利用该结论和构造性方法,还得到了系统在一般区域上的全局精确边界能控性,特别地当区域为星形附加区域时,所得到的边界控制函数只需作用在边界的一个相对开子集上.我们的证明方法适用于只要非线性项满足“好符号’增长条件的一般情形.此外,在附录一,我们借助Morawetz乘子建立了两维空间中扰动线性波动方程的Morawetz能量估计和提升的Morawetz能量估计,利用表现空间方向衰减的带权Sobolev不等式,在只使用波动算子的平移不变性和空间旋转不变性的情况下,得到了两维非线性波动方程星形区域外问题经典解的生命跨度的下界估计,这填补了两维非线性波动外问题的空白.在附录二,我们结合Klainerman-Sideris途径和Alinhac所引入的能表现好导数比一般导数具有更好性质的提高的能量估计,证明了两维拟线性波动方程组多波速几乎对角系统,当非线性项满足第一零条件、不满足第二零条件时经典解几乎整体存在；当非线性项同时满足第一、第二零条件时经典解整体存在.本文的具体组织如下：在第一章中,我们介绍非线性波动方程齐次问题的研究历史,并对全文的内容做了个简单的概述.在第二、第叁章中,我们分别得到了叁维空间中含非齐次项拟线性波动方程柯西问题经典解的几乎整体存在性和具有零形式拟线性波动方程组星形区域非齐次边界外问题经典解的整体存在性.在第四章中,我们研究了受外力各向同性超弹性体柯西问题经典解的几乎整体存在性和整体存在性.在第五章中,我们得到了叁次半线性波动方程和叁次半线性Klein-Gordon方程在一般区域上的全局精确边界能控性,特别地当区域为星形附加区域时,我们得到了边界控制函数只需作用在边界的一个相对开子集上在附录一,我们得到了两维空间中的非线性波动方程星形区域外问题经典解的生命跨度的下界估计.在附录二,我们得到了两维空间中的拟线性波动方程组多波速几乎对角系统经典解的几乎整体存在性和整体存在性.
赵志芳[9]2006年在《各向同性弹性固体中叁维非线性纵波方程的有限元解法》文中研究说明本文深入研究了各向同性固体介质中的叁维非线性纵波方程,用有限元法对其求解,并结合实例进行了计算和分析。首先介绍了非线性波动基本理论,及其历史现状和求解方法;其次给出了各向同性固体介质中叁维非线性波动方程;再其次介绍了有限元法的基本思想、解题步骤、数值求解方法和程序设计方法。在此基础上给出了各向同性固体介质中叁维非线性纵波方程,论证了其真解的存在唯一性,并探讨了半离散有限元的误差估计和全离散有限元解的存在性、稳定性、收敛性、误差估计式;最后,运用有限元方法在计算机上实际模拟求解了一类具有实际应用价值的固体介质中非线性纵波方程的数值解,得出了一些具体的认识和结论,为非线性勘探和非线性物探提供了理论和实践参考。研究结果表明:运用有限元方法求解非线性波动方程,其程序较为简洁、精度较高、稳定性较好,计算效率较高,是求非线性波动方程的一种好方法。
赵智慧[10]2017年在《发展型方程的连续时空有限元方法及其数值模拟》文中认为连续时空有限元方法是一种高精度的数值方法.其对空间变量和时间变量统一进行处理,即不仅用有限元去离散空间变量而且用有限元去离散时间变量,因此相比于经典的有限元方法其更容易获得关于时间的高精度且其理论分析不会随着时间变量离散方式的改变而改变,即其理论分析对任意次的近似多项式都是一致成立的.此外,连续时空有限元方法特别适合于求解波动问题,因为其相应的离散格式具有重要的能量保守性.连续时空有限元方法可分为下面两种情形:1.每个时间层对应着相同的空间剖分;2.每个时间层允许对应不同的空间剖分.对于情形1由于每个时间层的空间剖分都相同,故在整个时间区间引入时空投影算子后易于获得时空有限元解在各种范数下的误差估计.对于情形2由于各个时空片的时空网格结构允许改变,所以其特别适合于无结构网格上的自适应计算.此外,对于情形2在理论分析中分别引入了由勒让德(Legendre)点和洛巴托(Lobatto)点确定的拉格朗日插值多项式及相应的高斯积分准则,并在理论分析中充分的利用了插值多项式的基本性质以及高斯积分的高精度特点,这使得理论分析变得自然易懂而且在更深层次上抓住了时间步有限元方法的本质.此外,不论是情形1还是情形2其连续时空格式往往是无条件稳定的并且其理论分析通常不受时空网格限制,即不需要时间步长和空间网格参数满足一定的条件.本文主要从理论分析和数值模拟两个方面在情形1和情形2下研究了与时间相关的偏微分方程的连续时空有限元方法.第一章是绪论,其主要阐述了连续时空有限元法的研究现状以及本文的研究内容与文章结构.此外,还给出一些本文理论分析所需的预备知识.第二章和第叁章分别在情形1下研究了 Sobolev方程(不含对流项)和粘弹性波动方程的连续时空元方法.我们首先构造了原问题相应的连续时空元格式并证明了连续时空解的存在、唯一及稳定性,然后通过引入时空投影算子用相对简洁的理论分析在没有时空网格条件限制的情况下给出了节点处的L2和H1范数估计以及全局L2(L2)和L2(H1)范数估计.最后,我们给出一个无结构网格上的二维数值算例确认了格式的有效性和可行性.此外,数值算例还说明与传统的时间方向用Euler或者Crank-Nicolson(CN)格式离散的有限元方法相比,连续时空元方法更容易获得时空的高精度.第四章在情形1下我们研究了波动方程的连续时空元方法.在本章我们提出了一种新的用连续时空元求解波动方程的方法.我们通过引入勒让德多项式及其相应的高斯积分准则得到与原连续时空格式等价的格式,然后基于此格式分析了近似解的存在唯一性.此外,通过引入时空投影算子给出了近似解在节点处的L2及H1范数估计.最后,给出两个数值算例验证格式的有效性和可行性.与已有的方法相比,这里的分析方法更加简洁易懂并且容易被推广到其它的波动问题.同时我们需要指出的是在粘弹性波动方程和波动方程的求解过程中,我们首先通过引入辅助函数v=ut得到与原问题等价的耦合系统,然后基于此耦合系统构造了连续时空有限元格式,通过求解此格式可以同时获得u和v的高精度.第五章和第六章分别在情形2下研究了 Sobolev方程(不含对流项)和粘弹性波动方程的变网格连续时空元方法.我们首先构造了原问题相应的变网格连续时空元格式,其可以看作是第二章和第叁章连续时空元格式的一种延扩.然后通过引入由勒让德点确定的拉格朗日插值多项式及相应的高斯积分准则给出数值解的适定性分析;通过引入由洛巴托点确定的拉格朗日插值多形式及相应的高斯积分给出了近似解的L∞(L2)和L∞(H1)范数估计.此外,在第六章我们还证明若每个时间层的网格满足一些合理的假设,则可以消去收敛性结果中的跳跃项,从而可以获得关于时空的最优阶L∞(L2)范数估计.第七章我们在情形2下研究了变系数的对流占优的Sobolev方程.首先证明了数值解的存在唯一性,然后在没有时空网格限制的情况下给出了最优阶L∞(H1)范数估计.最后,我们分别给出了原问题在连续时空有限元格式和时间间断的时空有限元格式下的数值模拟,数值实验验证了分析的正确性并展示在实际计算中连续时空有限元方法比时间间断的时空有限元方法更加有效.
参考文献：
[1]. 几类非线性系统的动力学研究[D]. 闫龙. 吉林大学. 2017
[2]. 一类非线性波动方程的扰动问题的解的存在唯一性[J]. 王祥, 陈金梅. 榆林学院学报. 2008
[3]. 位势井族理论应用到带有源项和阻尼项的非线性波动方程[D]. 赵彦玲. 哈尔滨工程大学. 2007
[4]. 强阻尼非线性波动方程的初边值问题[D]. 马腾宇. 哈尔滨工程大学. 2008
[5]. 两类非线性波动方程若干问题的研究[D]. 付庭鹏. 电子科技大学. 2017
[6]. 四阶非线性波方程整体解的存在唯一性[J]. 喻朝阳. 重庆师范大学学报(自然科学版). 2014
[7]. 两类非线性发展方程解的存在性研究[D]. 赵晶. 哈尔滨工程大学. 2008
[8]. 非线性波动方程非齐次问题长时间存在性及其应用[D]. 徐伟. 复旦大学. 2011
[9]. 各向同性弹性固体中叁维非线性纵波方程的有限元解法[D]. 赵志芳. 吉林大学. 2006
[10]. 发展型方程的连续时空有限元方法及其数值模拟[D]. 赵智慧. 内蒙古大学. 2017
标签：数学论文; 波动方程论文; 有限元论文; 非线性论文; 线性系统论文; 阻尼振动论文; 空间分析论文; 衰减系数论文; 阻尼作用论文; 线性空间论文; 网格系统论文;