对新课程中考数学压轴题设计的思考，本文主要内容关键词为：新课程论文,中考论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中考数学压轴题的主要功能是对学生不同学习水平进行区分，考查学生对初中数学核心知识和重要方法的理解、掌握水平，为高中阶段学校招生提供依据。为了体现公平性，通常中考数学压轴题是综合方程、不等式、函数、三角形、四边形等初中数学核心知识设计而成，对初中数学教和学具有重要的引领作用。近年各地为改进和完善中考试题命制，进行了有益的探索和创新，设计出了许多立意新颖、问题创设和谐自然、能力要求恰当的精彩压轴题。但纵观各地中考数学压轴题，超出《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）要求，过分强调区分功能和选拔功能，在解题技巧上设置障碍，题目越出越难。这种现象对初中数学教学的影响不可小视，本文试结合几个具体题目，对中考数学压轴题的设计谈谈自己的一些看法，请教于专家和同行。
第(3)问利用不等式考查学生的代数推理能力，其用意是好的，但命题者没有认真研读《课标》对不等式的具体要求，内容和能力要求都超出《课标》。作差比较大小是高中数学课程内容，由0＜α＜β＜1结合0＜t＜1，然后分0＜t≤α，α＜t≤β、β＜t＜1三种情况讨论，更是学生思维能力所达不到的。该问题的抽象程度和难度远不是一个初中生能把握的。
编拟中考题的一条基本原则是试题内容和要求应以《课标》为依据，试题设计应体现对学生在数学相关知识和方法的理解深度以及在从事数学活动中所表现出来的思维方式、思维水平方面的考查。中考试题在内容和要求上向前迈出一小步，就会导致教学向前跨出一大步。因此，试题难度不应在内容上打“擦边球”，在解题技巧上设置障碍，更不能因强调对学生能力的考查，就任意增加试题难度。
例2 （2010北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究∠DBC与∠ABC的度数的比值。请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
(1)当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全图形（图2）。观察图形，AB与AC的数量关系为______；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为______；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为______；
图2
(2)当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
原解：(1)相等，15°，1∶3；
(2)如图3，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连结DK。
图3
因为∠BAC≠90°，
所以四边形ABKC是等腰梯形。
所以CK=AB。
因为DC=DA，所以∠DCA=∠DAC，
所以∠KCD=∠3。
所以△KCD≌△BAD，
所以∠2=∠4，KD=BD。
所以KD=BD=BA=KC。
因为BK∥AC，
所以∠ACB=∠6。
因为∠KCA=2∠ACB，所以∠5=∠ACB。
所以∠5=∠6，所以KC=KB，
所以∠KBD=60°。
因为∠ACB=∠6=60°-∠1，
所以∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1。
因为上1+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°，所以∠2=2∠1。
所以∠DBC与∠ABC的度数的比值为1∶3。
该题第(2)问的难度在于给学生设置了一个特定的证明模式：作∠KCA=∠BAC。几何证明题中，学生最感困难的就是如何作出适当的辅助线。该题所作辅助线是不常见的，同时第(1)问的探究过程对解答第(2)问无任何方法和思路上的启示或借鉴，只是给出了一个猜结果的所谓的探究。因此，学生“一线未定，全盘皆输”。而证明过程中，角之间关系的相互转换，也需要很高的技巧。虽然我们也可以用下面的方法进行证明：如图4，过D点作DE⊥AC，垂足为E，延长ED交BC于F，连结AF。因为∠BAC=2∠ACB。有∠3=∠ACB，从而得到△ABF∽△CBA，所以
，而AB=BD，所以
，因而得到△BDF∽BCD。所以∠BDF=∠BCD=∠4。又∠3=∠4+∠5，因而
图4
在Rt△AEF中，∠6=90°-（∠4+∠5）， ①
在△ABD中，∠2=180°-4∠4-2∠5，②
在△BCD中，∠1=180°-5∠4-∠5， ③
在△ADF中，∠6=180°-4∠4-∠5。 ④
由①、④可得∠4=30°， ⑤
将⑤分别代入②、③得∠2=60°-2∠5=2(30°-∠5)，∠1=30°-∠5。故∠2=2∠1。即∠DBC与∠ABC的度数的比值为1∶3。此种解法角之间关系的转换比较复杂，论证难度比原解法更大。该题证明难度大大超出《课标》对几何论证的要求。
例3 （2010成都）已知：如图5，△ABC内接⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB，垂足为F，C是
的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q。
图5
(1)求证：P是△ACQ的外心；
(2)若
，CF=8，求CQ的长。
(3)求证：
。
本题是由陈题改编而成。圆与三角形结合证明有关线段的比例式或等积式，是课改前中考的常考题型。《课标》对圆部分的论证要求作了大幅度降低，教材将课改前圆中有关位置关系、相等、比例式等的证明放到了高中选修课“几何证明选讲”中学习，并且高考对这部分内容进行考查。如2010年高考数学全国课标卷（理工农医类）第22题：如图6，已知图上的弧AC=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点。证明：(1)∠ACE=∠BCD；(2)
。
例3的第(3)问所证等积式中的线段在同一直线上，相互间的关系需要进行转换，运用两次相似才能得出结论，而高考题第(2)问需证一次相似便可得出结论。例3推理论证要求高于高考题。
图6
《课标》要求对几何证明注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧，更多地强调使学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的空间观念、推理能力（包括合情推理、演绎推理），全面体现几何的教育价值。《课标》明确要求考试中与证明有关的题目难度应与《课标》中所列命题的论证难度相当。推进课改，其中最根本的一条就是中考试题在内容和要求上不超出《课标》。然而中考对初中数学教学有重要的导向功能，作为中考压轴题，更是教师、学生关注的焦点。中考把《课标》删去的几何论证要求和几何证明题型重拾回来，势必引导教师在教学中给学生补充几何证明的各种题型和技巧，这样不仅加重学生负担，而且给教学造成负面影响。教学是依据《课标》还是依据考试，是考试服从于《课标》，还是教学服从于考试，教师将莫衷一是。如果中考让按照《课标》要求教学，努力体现课改理念的教师“吃亏”，而让增加学生负担，大运动量重复训练，超出《课标》要求教学的教师“获益”，那么中考不仅不会促进课改，反而会给推进课改和学生发展带来不利影响。
以上看法未必正确，主要想通过上面的讨论，希望中考超出《课标》要求，在解题技巧上设置障碍为难学生的压轴题少一些，多一些既有区分度，又有助于学生理解数学的压轴题。