模态逻辑的典范性问题，本文主要内容关键词为：典范论文,性问题论文,逻辑论文,模态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[中图分类号]B81[文献标识码]A[文章编号]1002-8862(2009)02-0090-04
按照逻辑学家布尔(R.Bull)与西格伯格(K.Segerberg)的说法，类比于人类学，在20世纪初，刘易斯(C.Lewis)等人的工作相当于在模态逻辑学中引发了一场“农业革命”。这是现代模态逻辑学的肇始，许多工作仍然是相当初步的。模态逻辑的“手工业”时期在持续了将近六十年之后迎来了它的“工业革命”：在1960年左右，克里普克(S.Kripke)等人引入了关系语义理论，这也被视为模态逻辑作为逻辑学独立分支成熟的标志。此后至今，是模态逻辑的“大工业”时期。除了被广泛应用于计算机科学等领域中，模态逻辑自身的理论研究也得到了充分的发展，自1970年代以来，形成了以完全理论、对偶理论及对应理论为主要模块的研究领域。模态逻辑的典范研究发源于完全理论。典范框架、典范模型等概念最早的提出皆为证明逻辑完全性之用。但是典范相关概念一被提出，典范诸问题即入逻辑学家视野。其中法恩(K.Fine)关于初等性与典范性关系的工作奠立了这一研究领域的基石，他证明了初等的逻辑都是典范的，这一结果自然导致对初等性与典范性关系的进一步考量，形成所谓的典范性问题，又被称为法恩问题，成为典范研究的核心。本文对相关的工作进行了系统的整理和介绍。
一、典范性概念
在正式介绍典范性问题之前，我们先回顾一下要用到的基本概念。
首先是模态语言，选择的范围颇广，它们由给定初始符号以及合法公式的构造规则而确定，我们这里选用基本模态语言，记为L，它有可数无穷多个命题变元，以及算子
、→、∨、∧、□。公式的构造规则如常，不再细述。
一个逻辑是一定范围内的有效式的全体，形式上用具有某种封闭性的公式集来表示。我们这里用到的都是所谓的正规模态逻辑，它们都包含所有重言式、□(p→q)→(□p→□q)，并且满足下面的条件：
(MP)若φ→ψ，φ在逻辑中，那么ψ也在逻辑中；
(N)若φ在逻辑中，那么□φ也在逻辑中；
这样形式定义的逻辑可能是平凡的，即全体公式的集合也符合逻辑的这一定义，但是对我们来说，真正有意义的是那些非平凡的逻辑，这样的逻辑我们称为是一致的，我们后面提到的逻辑都设定是一致的。
逻辑的一个用处是应用于推理，推理是使用一个选定的逻辑所提供的有效式及规则，确定前提集与结论之间的关系。在某个逻辑下，证明一个公式集∑能推出一个公式φ通常是找到一个有穷的以φ结尾的切当的公式序列。如果在逻辑Λ下，公式集∑即能推出公式φ，又能推出φ的否定，那么称∑是Λ不一致的，否则称∑是Λ一致的。∑∧不一致意味着它本身存在着从Λ看来是矛盾的东西。如果∑是Λ一致的，那么按照林登鲍姆方法可以把它扩张为一个Λ极大一致的公式集。极大一致公式集又是一个有着哲学意味的概念，我们可以将之看作为对可能世界的完全描述，一个极大一致公式集唯一对应到一个可能世界，反之亦然。在一个选定的逻辑下，可以有无数彼此不同的极大一致公式集，这相当于存在着相同数目的不违反该逻辑的可能世界。
可能世界在哲学界是一个重要的概念，通常把它的提出归功于莱布尼兹。这一概念在逻辑界最大的影响或许是促使可能世界语义学的建立。可能世界语义是前面提到的关系语义的另一个名字，这个语义的这两种名称提示了它的核心，一个即是可能世界，另一个则是关系——可能世界之间的相对可能关系。
既然可能世界对应着极大一致公式集，那么很自然的，由可能世界之间的相对可能关系可以导得极大一致公式集之间的关系，如此一来就得到了逻辑的典范框架的概念，形式定义见下，其之直观就如上所说，反映了在该逻辑下的可能世界以及可能世界之间的相对可能关系。
这个赋值只是说明可能世界中已有的基本命题。但是由此而得的一个结果非常漂亮：在所有可能世界上真的公式，恰好就是相应逻辑的有效式。这一结果的形式表达，我们在下面的定义之后再给出。
逻辑的典范框架和典范模型是框架及模型概念的两个实例，反过来也可以说框架及模型是对它们的抽象，这种抽象使得我们不必去追究可能世界的细节。下面我们列出这些概念的形式定义，以及一些为方便而引入的记号。二元组
、R
W×W。设F=
典范性概念在完全理论中尤为重要，其中一个原因在于，如果一个逻辑是典范的，那么它就是紧致的，进而是完全的。许多逻辑的完全性就是由通过证明其典范性而得，这样一种完全性证明的典范性进路，在1960年代初为麦金森(I.Makinson)与克雷斯韦尔(M.Cresswell)首先引入模态逻辑，莱蒙(E.Lemmon)与斯科特(D.Scott)大规模用之证明完全性，直到今天它还是常规的方法。
二、什么是典范性问题
典范研究领域由法恩定理所确立，而法恩定理的逆命题却长期没有得到解决，引发出一系列的研究，构成了一个具有传奇色彩的故事。故事起源于费尼所得到的一个结果，大致而言，我们可以认为它关注这样的问题：什么样的逻辑是典范的，或者典范的逻辑是什么样的。费尼的结果是所有初等的逻辑①都是典范的。
上面介绍的框架，从一阶逻辑的角度看，是非常简单的结构——一个作为论域的集合带上该集合上的一个二元关系——因此自然而然地可以用相应的一阶语言来对它进行描述：(1)一个关系框架类
是初等的，是说有一个一阶句子集合∑，使得是所有∑框架的类。(2)一个模态逻辑是初等的，是说有初等的关系框架类来刻画它。
在这些概念的基础上，法恩在20世纪70年代中期断定：初等的逻辑都是典范的。②
范·本特姆(van Benthem)给出过这一结果的另一个证明。后来戈德布莱特(R.Goldblatt)借助对偶理论中的技术、方法给出了法恩定理证明的代数版本。该证明用到了许多对偶理论的结果。最基本的是框架与模态代数之间的对偶：
这保证Lin
这个漂亮的结果吸引了逻辑家们去思考它的逆命题——即典范性问题：是否所有典范的逻辑也都是初等的？这个问题在将近三十年内没有得到解决，直到最近。不过期间的探索也得到了一些部分的结果。探索及其结果，可以自然的分为两类，一是寻找反例，二是讨论限制的情况。
前一方向上的一个著名例子是Mckincy逻辑KMck④，它曾经被猜测是典范但不初等的逻辑，但是戈德布莱特⑤证明它不是典范的，王小平⑥证明它甚至不是紧致的⑦。
在后一个方向，有一个较近的结果，戈德布莱特证明反射p-同态像的典范逻辑都是初等的⑧。但是我们不知道是否有反射p-同态像的不典范的逻辑，假若无这样的逻辑，那么反射p-同态像的逻辑全都是初等的。若如此，这一条件显得有点平凡。这一方面另外一个结果也是由费尼得到的⑨，他证明典范的子框架逻辑都是初等的，并且有非典范的子框架逻辑，因此子框架不是平凡的条件。扎哈利亚契夫(M.Zakharyaschev)推广了法恩的结果⑩，他证明典范的共尾(cofinal)子框架逻辑都是初等的。
三、典范性问题的解决
2003年，戈德布莱特、霍金森(I.Hodkinson)与维尼玛(Y.Venema)使用数学家爱多士(P.Erd
s)在1950年左右提出的随机图方法否定地解决了典范性问题(11)：存在典范但不初等的逻辑。
事实上首先得到的是双算子模态逻辑，尽管可以借助托马森模拟(Thomason simulation)(12)将之转换为单模态逻辑，但是不那么自然，同样的作者又给出了典范但不初等的单模态逻辑。(13)
定理的证明依赖于特别的框架以及描述框架结构的公式。
它们每一个恰好通达到自己所包含的元素。显然每个这样的框架都是有穷的，并且它们都是传递框架。
四、典范性问题的意义
典范性问题是典范研究的核心，而后者已成为模态逻辑理论研究不可忽视的一部分。理论研究的一些方面，像完全性问题、有穷模型性问题都与之有密切的联系。例如，通过证明一逻辑是典范的得到它的完全性仍然是解决完全性问题的常规方法；再如，一些有穷模型性问题的探讨也少不了设法改造典范框架。典范性问题至少有两点意义：第一，它的否定解决，定理“有典范但不初等的逻辑”的证明，与法恩在1970年代的定理“初等的逻辑都是典范的”合起来表明初等逻辑类是典范逻辑类的真子类，这在完全的逻辑类内做了一个自然的细分，加深了我们对模态逻辑的理解；第二，这一解决本身用到了许多强大的工具，特别是引入了随机图理论，可以说这也为模态逻辑研究提供了新的视角。
注释：
①在“戈德布莱特：常元模态逻辑和典范性”中也称为初等确定的逻辑，参见《哲学动态》2006年第12期，第71页。
②K.Fine," Some Connections Between Elementary and Modal Logic",S.Kanger(Ed.),Proceedings of the Third Scandinavian Logic Symposium,1975,pp.15-31.
③详细请参看 P.Blackburn,M.de Rijke,Y.Venema:Modal Logic,Cambridge University Press,2001.
④基于K，以Mckincy公式□◇p→◇□p为唯一额外的公理。
⑤R.Goldblatt,"The Mckinsey Axiom is not Canonical",Journal of Symbolic Logic 56,1991,pp.554-562.
⑥X.Wang,"The McKinsey Axiom is not Compact",Journal of Symbolic Logic 57,1992,pp.1230-1238.
⑦对正规逻辑，紧致性与强完全性是等价的，而典范的逻辑都是强完全性的，因此典范的逻辑都紧致。
⑧R.Goldblatt:"Constant Modal Logics and Canonicity",In Modality Matters.Twenty-Five Essays in Honour of Krister Segerberg，2006，pp.149-157.这个结果已经是Fine问题得到否定解决之后了，“戈德布莱特：常元模态逻辑和典范性”中介绍了其证明概要。
⑨K.Fine,"Logics Containing K4.Part Ⅱ",Journal of Symbolic Logic 50,1985,pp.619-651.
⑩M.Zakharyaschev,"Canonical Formulas for K4.Part 2:Cofinal Subframe Logics",Journal of Symbolic Logic 61,1996,pp.421-449.
(11)R.Goldblatt,I.Hodkinson,and Y.Venema,"Erds Graphs Resolve Fine' s Canonicity Problem",Bulletin of Symbolic Logic 10,2004,pp.186-208.
(12)M.Kracht,F.Wolter,"Normal Monomodal Logics Can Simulate All Others",Journal of Symbolic Logic 64,1999,pp.99-138.
(13)R.Goldblatt,I.Hodkinson,and Y.Venema,"On Canonical Modal Logics That Are Not Elementarily Determined",Logique et Analyse 181,2003,pp.77-101.
(14)F.Bellissima," On the Lattice of Extensions of the Modal Logics Kaltn",Archive for Mathematical Logic,1988,pp.107-114.
(15)Goldblatt,R.,Mathematics of Modality,CSLI Publications,1993.