“做中学”中的“做数学”：小学数学实验教学的实施策略_数学论文

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      小学中的数学实验，是小学生借助于一定的物质仪器或技术手段，在数学思想和数学理论的指导下，通过对实验素材进行数学化的操作来学（理解）数学、用（解释）数学或做（建构）数学的一类数学学习活动，旨在引导学生进行操作、观察、分析、猜想和推理等数学活动，在经历数学知识的“再创造”与“再发现”的过程中，亲身体验数学、理解数学.

      然而纵然教师对于数学实验的重要性有认识且比例相对非常高，但只是表面性、直觉性的认识.对于数学实验本身的了解，很多教师是不够的.虽然初中及高中对于数学实验的研究已经较以前重视，但在小学阶段对于数学实验的研究几乎仍为空白.很多教师知道数学实验重要，但如何操作尚需指导.对于数学学科而言，数学实验器材的短缺还是显而易见的.学校教具配备不足，学具添置不到位的情况还是比较普遍的.针对这些问题，本文试结合自己的探索提出一些应对的思路和举措.

      一、要做怎样的实验——数学实验内容的选择

      根据数学课程标准，课程内容分“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域展开.四大学习领域内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力.因此，从这个意义上来说，各个领域的学习都需要数学实验的介入.是不是所有的内容都需要进行数学实验？答案显然是否定的.究竟哪些内容适合进行数学实验？数学实验的内容又有什么样的特点？

      1.内容具有可操作性

      正如心理学家皮亚杰所说：“儿童的智慧源于操作，操作是儿童早期认识世界、适应环境、赖以生存的主要手段.儿童要认识物体，必须对它施加动作，在移动、拆散、合并物体的反复动作过程中，通过头脑与材料的相互作用与协调，建构自己的认知结构.”

      具有操作性的内容在四大领域中广泛存在，如数与代数领域中，利用计数器建立数概念的学具操作实验，整万数、整亿数认知中数级拓展的创造实验，数的大小比较中的对比实验，数量估计中的实践操作实验，各种运算律的探究实验，找规律的发现实验等等.而在空间与图形领域中，对于图形特征的观察与操作，图形性质的发现与验证，图形分类的标准创造，图形度量时的诸多活动，图形变化中的对比与发现等等.在统计与概率中，随机事件的概率研究需要借助多次实验寻找规律，统计活动往往伴随着各类实验现象的研究而产生.实践与综合运用领域，数学实验更是频频参与其中，以问题为载体，综合运用各种知识和方法解决问题.

      2.实验具有可观察性

      数学实验的设计与操作，与学生数学活动经验的积累相伴而行.数学活动经验在操作活动中不断积累，在观察思考中得以持续升华.因此，在设计数学实验时，要引导学生在显性的操作活动、实验现象中逐步将隐性的思维过程得以表达与外化.如《面积的认识》这一课时教材编者就设计了一个可观察的数学实验.在设计实验器材时，教师可以准备5×3及2×7的长方形纸片，引导学生通过实验得到结果.借助边长为1cm的小正方形可以进行比较，借助于方格纸也能得出结论，甚至于借助2×1的小长方形纸片也可以比较大小.在多样的实验方法中，实验结果清晰可见.可视化的数学实验为学生感受用同样大小的面积作为单位就可以比较出两个图形的面积大小提供了非常有效的支撑.

      3.过程具有可重复性

      数学实验，其一个典型的特征就是可以重复进行.数学规律的发现，结论的确定，猜想的验证，往往都是在数次实验的基础上得到的.其中特别突出的典型就是概率研究，五位数学家重复实验，其中罗曼诺夫斯基高达到80640次，通过大数次研究感受等可能性.

      

      在苏教版四年级上册《怎样滚得远》这一内容的教学中，教师需要读懂的是教材安排这次实践活动，就是让学生用实验的方式获得数据，进行比较、分析，探索、发现斜面与地面成怎样的角度时，圆柱形物体可以滚得远一些.在数学实验的设计中，就是以多次实验求平均值从而得出实验结论的.在这样的过程中，每一位学生都经历了准备实验器材、进行实验结果猜测、自主设计实验条件、多次实验、记录数据、形成结论的过程，并且在个人实验、小组实验的过程中，感受到了小组实验的要点，如何分工、怎样合作，为数学实验的后续开展提供了很好的活动经验.

      二、怎样就能做实验——实验教学的器材准备

      与科学、化学、物理等学科相比，小学数学学科到目前为止还没有广泛地建构起属于自己的学科实验室.然而，我们仍然可以从教材中读懂、从课堂中看到，实验教学的器材具有其广泛的应用性.走出“等、靠、要”的思维误区，数学实验教学的器材，往往因其易获得性、可利用性与高原创性而充盈着独特的魅力.

      1.就地取材——易获得性

      实验器材的准备是实验的前提条件.部分学校购置了教学具以辅助教学，但是仍然有很多学校在开展数学实验时没有相配套的实验器材.就地取材、合理替代，就可以让数学实验大放异彩.

      （1）替代性策略：无论是教师为学生准备学具还是学生自己制作学具，在实验器材的选材和制作过程中，都应当联系学生的实际生活.小棒作为实验器材，就可以用冰糕棍、火柴棒、牙签等实物来代替，既经济实惠，又随处可见.圆柱体、长方体、正方体都可以用茶叶盒、包装盒替代.研究倍的认识，花片、圆片等都可以用身边能寻找到的同样的实物进行替代.而学生用计数器可以借助纸片和围棋子模拟.如此等等，不一而足.

      （2）改良性策略：教材上木条制成的长方形框，在现实教学中可以用吸管和毛线进行加工改良，也可以用磁力积木棒直接搭建，既降低了成本，又保障了安全.

      

      （3）多样性策略：在研究面积时，所需的透明方格纸，可以借助学生硬笔书法临摹透明格纸，也可以剪下透明文件袋的方格进行实验.

      （4）加工性策略：在研究游戏规则的公平性时，做转盘游戏，教师可以为学生提供圆形纸片、图钉，由学生用半成品进行自主加工.

      事实上，实验器材无处不在.而其中最为重要的是教师是否自己已经具有且着力培养学生的数学研究意识.

      2.通材多用——可利用性

      数学实验材料，有些是单个实验所独需的，有些则是多个实验都共有的.因此在开展数学实验时，对于可重复利用的实验器材，需要建立起实验器材资源箱，有条件的学校也可以此为基础拓展形成数学实验器材室.

      （1）以小棒为代表的实验群.在低年级的认数教学，数的分与合中，小棒作为实验器材无处不在.而在多边形的认识中，借助小棒围出指定的多边形，对于研究多边形的边的特点大有裨益.而研究三角形三边的关系时，不同长度的小棒又为实验提供了可观察的数据.用小棒围成三角形，随着个数增多，可以从有限想象无限，从而为用字母表示数量打下伏笔.不同颜色的小棒还可以进行分类统计实验.跨越数与代数、图形与几何、统计与概率，小棒成为了数学实验器材经典之代表.

      （2）以小正方形为代表的实验组.在数的大小比较时，借助正方形与其他图形可以通过一一对应比较大小.研究长方形、正方形的面积时，边长为1cm的小正方形是最佳的实验工具.借助小正方形探究正方体的展开图无疑是一种值得一试的思路.方格统计图，借助磁性小正方形是最好不过的展示工具.

      （3）以小正方体为代表的实验链.观察物体中小正方体是最佳研究材料.研究长方体的体积时，棱长1cm的小正方体的适时介入为数学模型的建构提供了视觉化支撑.表面积的变化，若干个小正方体就能变换出不同的类型.研究概率时，小正方体制成的筛子成为了可以重复实验的绝佳工具.

      （4）以小球为代表的实验类.两种颜色的小球一一间隔，为研究植树问题提供了不可多得的材料.研究可能性时，摸球游戏少不了不同颜色小球这一重要实验器材.研究小球的弹跳高度时，它又是少不了的主角.

      当然除了上述的典型代表之外，如围棋子、七巧板等都可以作为普适性的实验器具进入到各个领域的数学实验教学中.

      3.天生我材——高原创性

      在准备实验器材的过程中，有些是可以拿来直接利用的，有些是需要稍作加工进行使用的，还有的则是需要教师自我创造的.

      （1）基于教材个性加工.在图形覆盖中的规律的研究中，教者可以基于教材的数条进行个性加工.教材中引导学生从10个数中分别框出2个数、3个数、4个数、5个数，进行实验、完成表格、观察思考、得出结论.在实际教学中，对于该数学实验教师可以进行适度加工，将总数与每次框的个数均作为变量，从而在变化中引导学生多次实验，进而发现变化中的不变，也即数量之间的相等的关系.

      在设计时，教师可以提供总长为20的数条，学生可以选择20，也可以反折数条将总数变为19、18、16、12等等.同时，提供不同个数的镂空数框，学生可以选择2、3、4，也可以选择5.这样的原创设计，把总数不变，变为总数由实验者自我控制；将每次框的个数由教材限定，改为实验者自我设定，为实验的丰富性，数据的多样性提供了可能.

      

      （2）统整教材，融会贯通.教材是教学内容的重要载体.对于教材的深度加工，往往可以根据教材内容本身的类属关系进行统整.在苏教版四年级上册《认数》单元教学中，可以将单元内容根据学科的特点与儿童的认知规律进行体系化梳理，形成认识整万数、认识非整万数、认识整亿数、认识非整亿数、整万数整亿数的改写、以万或亿作单位求近似数的知识结构框架.在单元统整中，可以根据内容的结构相似化程度，进行简约化设计，认识整万数与认识整亿数可以有机整合，其共同点都是数级的扩充，其思维过程是一致的，其心理机制也是相仿的，因此统整以后的数学实验器材就需要更具创造性.

      从万级以内的数，拓展到整万数，从整万数，拓展到整亿数，提供学生的实验器材是纸质计数板与围棋子共同构成的计数器.通过创设矛盾冲突，学生自我改良实验器材，从而实现了教师原创到学生原创的飞跃.

      

      （3）衍生教材各显神通.在我们编写的校本教材《魅力数学》中，收录了这样一个数学实验《一张纸究竟能对折多少次？》通过引导学生猜想，并借助不同材质的纸张进行多次对比实验，从而得到结论.在此过程中，学生需要自主寻找实验器材，改变纸张的厚度，控制实验变量，然后通过对比实验，寻找到最大值，从而得出结论.

      教学内容的独创性带来了实验器材的原创与多样性.学生有的用A4打印纸，有的使用报纸，有的用透明纸，有的用餐巾纸……通过不同材质的比较，发现纸张越薄对折次数越多，并得到了A4纸最多只能对折8次这一结论.

      三、怎样做实验——实验教学的过程指导

      1.实验前有备无患

      （1）眼中有物：器材准备.巧妇难为无米之炊，一个成功的数学实验一定是建立在完备的数学实验器材的准备之上的.如，在研究圆锥体积公式时，数学实验器材就不能仅仅局限于一组等底等高的圆柱与圆锥，而应是多组不同数据的等底等高的圆柱与圆锥，同时还需刻意增加不等底、不等高的圆柱与圆锥.实验器材的完备性，保障了实验过程的挑战性与实验结论的理解度.

      （2）目中有人：人员准备.数学实验中最为能动的要素，是人这一有思想会行动的要素.因此，除了物的准备，人员准备尤为重要.在演示实验中，需要明确实验目的；在个体实验时，要明确实验步骤；在合作实验时，要明确人员分工.做到人人有事干，事事有人担.

      2.实验中有张有弛

      （1）导航图：指导手册全程领航.作为数学教师，在教学中需要有敏锐的视觉去捕捉适合借助数学实验进行教学的内容.通过对各册教材进行分析，分单元梳理，从而形成系统的数学实验内容与指导手册.如：下图为第5册长方形和正方形单元中长方形特征的实验指导单.

      

      实验指导手册为学生实验的开展提供了方向与抓手.上例就从实验器材、思路指导、实验猜想、实验方法、实验步骤、实验结论等6个方面为学生合作探究开展实验进行了有效导航.

      （2）同行者：适时适地友情加盟.无论是演示实验、个体实验还是分组实验，教师都要始终以一个研究共同体成员的身份参与其中.演示实验不越位，个体实验不占位，分组实验不缺位.在学生有疑惑时点播，在学生有发现时鼓励，在学生有争议时倾听，不放纵但也不严控，在规则与自由间引导学生自主、合作、探究.

      （3）求助台：个性给予指导帮助.对于不同的学生而言，其动手能力、思维水平也是不尽相同的.因此，设置求助台、锦囊盒可以有效帮助学习后发展学生.在小组合作中，可以用信封小锦囊的形式，在学生自主设计实验有困难时，提供点拨与指导.

      3.实验后有的放矢

      （1）重结果也要重过程.数学实验是一个系列化的过程.关注结果，也需关注过程.引导学生在做中学，做中思，做中悟.避免出现研究圆周率π时迎合结论给出数据的轻过程重结果的倾向.

      （2）有活动更要有思维.聚焦现象，关注数据，更关注现象下面的本质，数据背后的原理.引导学生在活动中思考，在思考中收获.指尖上出智慧，活动中促思维.

      （3）评个体更要评团队.对于数学实验者的评价，不能仅仅关注汇报者、表达者，更要关注每一位对实验过程与结果有贡献的研究者.在合作实验中，以团队进行评价其能效远远高于对个人的评价.

      四、实验做得怎样——实验教学的效果评估

      数学实验的效果评估，不能仅仅着眼于实验是否做得成功，学生是否发现结论，实验结论是否正确，而是在更高层面上关注是否促进学生数学化地观察、是否引导学生个性化的思考、是否促使学生积累可迁移的经验.

      1.“做”中要出思想

      植树问题是一个经典的问题，人教版将其编排在数学广角单元，苏教版则将其安排在找规律单元.就植树问题的诸多课例来说，可以发现这样一些共同点.第一，执教教师往往特别重视梳理并归纳形成撒种不同类型，即所谓的“两端都种”“两端不种”“只种一端”或者是“两端物体相同”与“两端物体不同”.第二，对于三种类型或者两种类别的规律或公式，学生都能快速背诵、熟练记忆，但是在面对各种现实问题时，往往一头雾水不知该加1还是减1还是相等了.在这样的课堂上，发现规律与记忆公式，运用规律与使用公式之间画上了等号.

      如果我们细细观察与品味，从教材编写者的意图中我们就能读出植树问题的教学目标所在.以苏教版为例，从教材分析中我们可以看到这样的意图.（1）看图示，体会规律的存在性.（2）摆学具，体会规律的必然性.（3）找现象，体会规律的合理性.这样的三个步骤，分别对应现实原型—实验操作—结论应用.从“植树问题”这一现实原型出发，到“分割问题”这一数学模式，引领学生发现规律并最终确认规律的正是数学实验这一途径.

      2.“做”中要见模型

      直观的观察发现固然重要，但它往往还远非找规律的终点，最终还必须在直觉的基础上获得思维的进一步提升.表象的建立有助于更快的摆脱具体事物的束缚，向抽象思维过渡.而超越表象，将帮助学生形成稳固的对于数学元素的结构认知.

      苏教版五下《探索图形覆盖中的规律》，通过实验操作感受到变量之间的关系，教师不仅要引导学生关注“是什么”，更要引导学生思考“为什么”.有的学生是仅通过观察数据，从数据的变化中寻求出不变的关系的；有的学生是在头脑里多次移动方框，在平移中发现“平移的次数=总数-每次框的个数”；而有的同学是在头脑中仅仅放置一次方框，就能理性思考，方框外面有几个数就要平移几次，操作活动真正内化，并建立起清晰鲜明的表象.这样的交流，揭示了数学直觉背后所隐藏的本质联系.为学生从动作思维上升到表象思维，进而提升到抽象思维提供了很好的支撑.而殊途同归获得的“总数-每次框的个数+1=一共的拿法.”这样一种函数关系，在变量与变量之间建构出了一种稳定的不变的联系，就是一种数学模型.这样的教学经历了感性发现与理性思考.学生不仅找到了规律，而且知道了规律存在的原因、规律存在的必然性.

      3.“做”中要得经验

      小学生的数学学习，就知识层面而言，主要是掌握前人已经发现的数学知识.但不同的学习路径却决定了学习者对所学知识的理解深度，同时也决定了学习者在学习过程中会积累怎样的经验，形成怎样的能力.引导学生在数学实验中学习数学，是让学生变被动地“听”为主动地“做”的过程，这符合弗赖登塔尔所倡导的“再创造”教育理论.学生在数学实验的过程中，可以根据自己的实践体验，用自己的思维方式，重新“创造”有关的数学知识.苏教版四年级下册《用字母表示数》单元，引导学生用字母表示数量及数量关系.这部分内容借助观察与借助实验，其效果是完全不同的.如果仅仅借助于观察，那么学生在教师的引导下，也能得出3+2n这一含有字母的式子.但做数学，能够让每个学生更为个性地思维，从而获得更加多元、更为开放的结论.学生可以从参与者变为真正的实验者、思考者与发现者.通过借助小棒操作，学生可以运用自己的经验，获得1+2（n+1），3+2n，2（n+2）-1等多样的表达.而每一种表达都与学生的操作经验密切相关.同时，这样的操作经验，也将使学生跨越操作与实验，走向表象、想象与抽象.

      

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