学生解决二次函数应用问题中存在着理解上的障碍，本文主要内容关键词为：函数论文,障碍论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学在我们的现实生活中有着广泛的应用，二次函数是初中数学教学的重点和难点。学生在学习这部分知识时深感困难，尤其是在解决应用问题时，对所问问题的理解上存在着障碍，导致无从下手，半途而废。现摘取教学和测试中的几例加以评析。
例1 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
。则他将铅球推出的距离是______m。
评析 这是在教学《二次函数》单元后的一次测试中我们采用的题目，看似简单的问题，可有不少所谓的好学生做不对，或不会做答。在收回测试卷后，就有学生来问“将铅球推出的距离”是什么意思？原来，学生不理解“将铅球推出的距离”。之后我陷入了深深的思考，按说投掷铅球这一体育项目，从小学到初中就在学生的体育课上，就在他们的身边，这么司空见惯的事情，怎么学生就不理解“将铅球推出的距离”呢？
由此可以看出，学生缺少实际生活经验，不会将所学的基本的数学知识运用到实际生活中，数学学习与实际生活相脱节，只是一味地纸上谈兵。在解答学生问题时，我对学生说：“怎么你们就不想一想体育场上，裁判是如何裁定运动员的成绩呢？不就是测量运动员将铅球推出的距离吗？”学生恍然大悟，“不就是令y=0，解一元二次方程吗？”接着又说：“为什么问题中不问‘铅球的落地点到运动员抛出铅球时所站位置的水平距离’呢？或者画出图象（如图1）就问线段OA的长度呢？”我一时惊讶。为什么非要问一个最直接的纯数学问题呢？随后我反问学生：“什么是学以致用呢？”从试题本身来说就是能力的考查，就是要考查学生的应用意识和应用能力。只要学生联系实际生活，头脑中出现投掷铅球的场景，我想该问题还是容易解答的。
图1
编者语：“推铅球”是体育课的内容，学生并不缺乏这个经验，所以，不能轻易断言学生缺少实际生活经验。问题是，学了数学知识——二次函数，又有了熟悉的经验，就理所当然的可以用二次函数来解决“推铅球”这个实际问题吗？不是的！在他们之间还有若干个过渡，这些个过渡是无法避免的，其中的一个过渡叫做“抽象”。二百多年前西方有个为微积分的发展做过贡献的大主教贝克莱在《人类知识原理》一书中说过：不费辛苦琢磨，我们不能获得抽象的概念。这里，距离就是一个抽象的概念，学生没有理解题目中所说的铅球推出的距离是指推出的起点到落地的终点的直线距离，还是铅球运动轨迹的距离。学生的这个疑问是好事，他需要明确距离的含义。这是一道题，这道题是以推铅球这个实际为背景的，题目中出现了有关距离的三个说法：高度、水平距离、距离。学生猜想这个“距离”二字前面没有水平二字，自然就是指轨迹距离了，而轨迹距离在现学段当然是求不出来的。总之，这名学生有疑问，敢质疑，不懂就问，值得表扬；这位教师没大搞懂学生的准确想法，反而怪学生不讲“推铅球”的成绩规则，没把准脉。客观说，这个题目对距离的描述是有问题的，容易使学生在理解上产生歧义。
例2 如下页图2，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。
(2)足球第一次落地点距守门员多少米？（取
）
(3)运动员乙要抢到第二个落点0，他应再向前跑多少米？（取
）
图2
评析 学生在解答(1)问时，有部分学生没有理解：“运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高。”由此可见，学生还欠缺这种“翻译”的能力。就是说，只有联想所学抛物线的知识，抓住问题的实质，能将由文字语言描述的数量关系转化成相应的纯数学问题（抛物线上点的坐标）。其实这句话的实质就是已知了抛物线的顶点M的坐标为(6，4)。这样才能将抛物线的表达式设成顶点式
。然后利用待定系数法确定表达式。
所以足球第一次落地距守门员约13米。
问题(3)中，“运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？”“翻译”过来，实质上是求线段BD的长。当然，该问题的关键之处，还得理解足球在草坪上弹起后的抛物线，相当于将原来“足球开始飞出”的抛物线向下平移了2个单位后的抛物线。在理解了以上问题后，才能运用所学的有关二次函数知识解答问题。如下：
(3)解法一 如图，第二次足球弹出后的距离为CD。根据题意，即相当于将原来“足球开始飞出”的抛物线向下平移了2个单位。
所以BD≈23-6=17（米）。
解法三 由解法二知，k≈18，所以CD≈2(18-13)=10，所以BD≈(13-6)+10=17。
答：他应再向前跑17米。
例3 如图3，跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线。正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为
。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出t的取值范围______。
图3
评析 问题(1)中，只有将题干中文字语言叙述的数量，对应地“翻译”到图中抛物线上点的坐标。“正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米。”就是已知抛物线上的点B的坐标为(6，0.9)；“身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。”就可知抛物线上的点E的坐标为(1，1.4)。然后用待定系数法确定解析式。
问题(2)中，“小华站在离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶”，这说明小华“头顶”所表示的点在抛物线上，该点的横坐标为3，只要求出该点的纵坐标，就得知小华的身高了。
所以小华的身高是1.8米。
问题(3)中，“翻译”成数学问题，其实质就是当y＞1.4米时，结合图象，求自变量x的取值范围。首先求解当y=0时的x的值，即
，解得x的值为1或5。因此结合图象求得t的范围。
(3)1＜t＜5
例4 某校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高
，与篮圈中心的水平距离为4m，当球出手后水平距离为2.5m时到达最大高度3.5m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3.05m。
(1)建立如图4所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
图4
评析 (1)由球运行的路线是抛物线可推断y是x的二次函数。理解“当球出手后水平距离为2.5m时到达最大高度3.5m”，其意思就是“已知抛物线顶点为(2.5，3.5)。”“已知球出手时离地面高”，可知抛物线过点
。因此可将抛物线的解析式设为顶点式
。用待定系数法可求得其解析式。
解 (1)抛物线的解析式为
问题(2)中，“若对方队员乙在甲前面1 m处”，那说明队员乙所站的位置坐标为(1，0)，“跳起盖帽拦截”要获得成功，乙必须在跳起后手至少要摸到球。也就是说，乙跳起后手所在的位置在抛物线上或高于抛物线，假设当乙跳起后，手所在的位置恰好在抛物线上，此时如何求乙起跳后手到地面的距离？其实质是相当于已知自变量x的值，求函数y的值。
综上所述，学生在解决二次函数应用问题时，理解上存在着的障碍，究其原因，一是学生缺乏实际生活经验；二是没有理解题意，或是将问题中由语言文字叙述的某些数量，对应地“翻译”成抛物线上某些点的坐标这方面的能力还很欠缺。因此，我们教师在教学中要尽可能的联系实际生活，并教育学生一方面密切关注身边的事情，多加实践，积累经验；一方面认真审题，联想实际情境，细细琢磨，抓住问题实质，进行“翻译”建模。最后再结合所学的数学知识，来解决实际问题，并做出合理的解释。只有在教学中注重培养学生这方面的能力，才能帮助学生克服理解上的障碍。