引入STF算法的自适应SICKF及其在目标跟踪中的应用*
沈翔鸿1，2，徐晓枫3，刘 宽 2，张 磊 1
（1.空军工程大学等离子体动力学重点实验室，西安 710038；2.中国航发四川燃气涡轮研究院，四川 绵阳 621000；3.西安应用光学研究所，西安 710065）
摘 要： 针对容积卡尔曼滤波在系统状态突变时滤波精度下降的问题，结合均方根嵌入式容积卡尔曼滤波（SICKF）和强跟踪滤波（STF）算法，提出了一种自适应均方根嵌入式容积卡尔曼滤波（ASICKF）方法。采用嵌入式容积准则和均方根滤波方法，以提高算法的滤波精度和稳定性。引入强跟踪滤波，利用渐消因子在线修正预测误差协方差阵，强迫残差序列正交，以增强算法应对系统状态突变等不确定因素的能力。为了解决状态突变未知的目标跟踪问题，采用自适应均方根嵌入式容积卡尔曼滤波算法进行数值仿真，仿真结果表明，ASICKF在系统状态突变时能保证较高的滤波精度，具有较强的鲁棒性和系统自适应能力。
关键词： 非线性高斯滤波，嵌入式容积准则，自适应滤波，目标跟踪
0 引言
非线性滤波主要解决非线性随机动态系统在噪声观测干扰下的状态估计问题，近年来基于Ito等提出的高斯非线性滤波理论［1］，出现了很多次优的非线性滤波方法。Arasaratnam于2009年基于球面-径向容积准则提出了容积卡尔曼滤波（Cubature Kalman Filter，CKF）［2］的概念。然而 CKF 不易于高阶扩展，难以推导估计精度较高的高阶CKF算法。此外，球面容积准则的固有缺陷也使得CKF的估计精度受到限制。张鑫春提出了三阶嵌入式容积卡尔曼滤波（Imbedded Cubature Filter，ICKF）方法及其均方根形式（Square-root ICKF，SICKF）［3-5］。其中，SICKF采用嵌入式容积准则，克服了球面-径向容积准则的诸多缺陷；结合均方根滤波技术，减小了算法的估计误差，数值稳定性得到提高，某些情况下可以在计算量小于五阶滤波时取得接近五阶的估计精度；可以方便推导出高阶ICKF算法［6］，易于进行高阶扩展。
另一方面，当系统状态突变或模型包含不确定性项时，无论是CKF还是SICKF算法，其增益矩阵滞后于预测状态残差的突变反应，造成估计精度降级。为解决这一问题，可以采用强跟踪滤波（Strong Tracking Filter，STF）方法对该缺陷进行一定补偿，该方法能够通过自适应渐消因子对增益矩阵实时调整，鲁棒性及应对系统状态突变等不确定因素的能力较强［7］。文献［8］通过严格的理论推导得到STF的等价表述，提出了强跟踪无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法。文献［9］将 STF 与中心差分卡尔曼滤波方法（Central Difference Kalman Filter，CDKF）结合，类似地提出了一种强跟踪CDKF算法。文献［10］结合STF和CKF优点，建立了一种新的强跟踪CKF（ACKF）算法。文献［11］将STF中的EKF用均方根容积滤波（Square-Root CKF，SRCKF）替代，进而提出一种强跟踪SRCKF。文献［12］在高阶容积卡尔曼滤波（High-Degree Cubature Kalman Filter，HCKF）基础上，通过引入自适应渐消因子，建立了自适应HCKF。但上述算法仅仅是把UKF，CKF，CDKF，和HCKF的协方差矩阵引入渐消因子，不能从根本上证明算法的强跟踪滤波性能，并且每次滤波都必须进行3次积分点的变换，计算速度较慢。针对上述问题，文献［13］根据正交性原理，推算得到确保强跟踪UKF有效的条件，并提出对于突变状态具有更强跟踪能力的改进的强跟踪UKF算法，在SINS大方位失准角初始对准问题中取得良好的估计效果。
为进一步提高CKF应对系统状态突变等不确定因素的能力和算法的滤波精度，本文提出自适应均方根嵌入式容积卡尔曼滤波（ASICKF）方法。首先从理论上证明嵌入式容积准则相对于球面-径向容积准则具有更高的逼近精度。然后将文献［13］中的强跟踪滤波方法引入SICKF，提出满足成为强跟踪滤波器充分条件的ASICKF方法，同时研究出了明确的算法流程。最后，将本文提出算法在一类机动目标跟踪问题中进行了运行，开展了数值仿真。结果表明，本文提出的算法可以有效地抵抗状态突变未知的不良影响，验证了该算法具有良好的估计能力。
1 均方根嵌入式容积卡尔曼滤波
1.1 三阶球面-径向容积准则
考虑如下形式的离散非线性系统:
其中
分别表示系统的nx维状态向量和nz维量测向量；f（g）和h（g）是已知的非线性函数；wk-1和vk分别是系统独立的零均值状态高斯白噪声和量测高斯白噪声，分别满足
，其中 δkl是 Kronecker-δ函数；初始状态x0与wk和vk不相关；
为控制输入向量。非线性滤波的难点在于对形如
的积分进行数值计算与求解。其中，
代表高斯分布函数，为积分区域，
是状态x的估计，P是x的方差。
在推导CKF算法的过程中，考虑如下积分问题:
式中，β为弱化因子，定义与原始强跟踪滤波器相同。
令x=rs，且sTs=1，将式（3）变换至球面-径向坐标系统，有
1）进行第 1次 Cubature Transform（CT）变换计算容积点
在电力行业的市场化运营中，市场需求的不确定性和风险偏好直接影响到购电商的决策。研究基于用电户随机需求构建购电商决策模型，用前景理论刻画购电商的风险规避度，为购电商提供最优决策。结论表明购电商最优购电量随市场风险或零售价格的增大而增大；购电商最优购电量随购电商风险规避度、批发价格或销售变动成本增大而减少。以上结论为电力体制改制背景下的电力企业最优决策提供了理论参考。
则三阶球面-径向容积准则概括为:
1）一阶高斯-拉盖尔公式构成的球面-径向准则:
前方是一条大江，江水滚滚而行，两岸皆是高耸陡直的山崖。他的滑翔翼在此时出现了疲态，开始快速地向下落。他急忙调整姿态，试图找到一处合适的落点，然而糟糕的是，周围尽是嶙峋的山石，宛如大群的魔鬼朝天挥舞着利爪，他极目所见，竟找不到一块稍稍平整的地方。
还有些学者认为，首先由于我国刑法修正案已经明确将醉酒驾驶行为列为刑事犯罪的范畴，因此所有的行为人都应该对该行为属于违法行为有明确的认识，同时正常人都应该深刻认识到醉酒驾驶的危险性，其危害结果应该必然发生或者是很大可能性发生的。其次从刑法理论上来说，对于过失犯只有造成具体的危害结果才能对其进行处罚，但是在醉酒型危险驾驶中没有要求具体危害结果的发生，因此不符合过失犯的刑法理论，所以只能认定为主观意识上的故意。
2）球面容积准则由式（6）逼近:
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其中，ω＞0是容积点集合
的权值，
为集合
的第i个元素。
将式（5）和式（6）代入式（4），得到三阶球面 -径向容积准则:
其中ω1为权值，且
其中，n为系统状态维数，
是容积点，
是完全对称点集
的第i个元素，
表示各容积点ξi的权值，即
应该指出的是式（7）中正权值会使得容积点超出定义区域，或产生复数容积点［14］；另外，n充分大时，容积点ξi甚至可能超出积分区域
，此外，如果要对其进行行高阶扩展，必须提高容积准则和高斯-拉盖尔准则的阶数，还需计算n维超球体面积分，由于这些过程过于冗繁复杂，致使CKF算法高阶扩展性不好。
1.2 嵌入式容积准则
考虑实数域
上的无穷积分如下:
其中
这里依据嵌入式容积准则给出一组集合族R，集合族R完全对称，用以逼近积分I（g）。这里设定
，作为集合R中多项式拟合阶数为2m+1的元素，即
令 δ=（δ，…，δ），其中
且大小已知，则式（10）可表示为［15-16］:
其中:
为相应的权值，δ的取值决定了式（13）的数值大小［6］。
由于
包含了
的所有容积点，且使用了的所有函数值，因此，R被称为嵌入式族。
完全对称的称为是精确到（2m+1）阶的，当且仅当［15-16］:
式（14）说明嵌入式容积准则对所有奇次多项式的积分都是精确的（积分值为0）。
取m=1，便可得到三阶嵌入式容积准则，此时仅需考虑g在偶次多项式集合
上的积分
同理，在式（14）中，取 m=2，便可推导出五阶ICKF，详细过程参考文献［6］。
下面从逼近误差的角度，证明嵌入式容积准则较球面-径向容积准则具有更优的估计精度。
1）球面-径向容积准则的估计误差为:
考虑四阶项
和
，因其含有坐标变量的奇次项，故积分为零，则总的逼近误差为:
式中，min为等号左边期望的极小值；
为k时刻的状态估计；
为k时刻的残差，其中
为k时刻的状态一步预测。
2）嵌入式容积准则的自由变量δ设定为δ2=1，同式（25）～式（27）的推导过程，得到上述算法中总的逼近误差为
其中
和
分别是四阶项的系数。
由此可见，状态变量的维数n与前者的逼近误差r相关度很大。变量维数n增大到一定程度时，逼近误差r与n成正相关。这里在系统维数较高时，三阶嵌入式容积准则的逼近误差
受n的影响为零。
值得一提的是，当四阶项
和
系数相同时，三阶嵌入式容积准则可以达到五阶的逼近精度。则在通常情况下，三阶SICKF的滤波精度要高于三阶CKF算法。
1.3 均方根嵌入式容积卡尔曼滤波
计算过程中，由于矩阵求逆和开方运算都将引入舍入误差，这会致使滤波过程中状态估计误差协方差阵变成非正定矩阵。由于协方差矩阵的均方根形式包含协方差矩阵的特征空间信息，可加强协方差矩阵传递的准确性，为提高滤波算法的数值稳定性，结合均方根滤波技术，给出SICKF算法。
给定初始条件P0|0和
，由式（22）～ 式（24），提出三阶SICKF如下:
2）量测更新
由此可见，运用嵌入式容积准则和均方根滤波方法的SICKF相比CKF，有更小的误差以及更好的数值稳定性，并且能够导出高阶SICKF算法。
实际上，微电网并不是一个新概念，早期的电力系统都是分散独立的小型电网，也是微电网的一种形态。随着电网技术的发展，电压等级不断升高、输电距离不断延长，联网规模不断扩大，大电网在电力供应中发挥主要作用。近年来，随着分布式可再生能源的大规模开发利用，微电网作为消纳可再生能源的重要途径，进入了全新的发展阶段。
2 自适应均方根嵌入式CKF
2.1 强跟踪滤波器的充分条件
针对式（1），文献［7］提出了 STF，有效地解决了模型不确定时EKF鲁棒性变差，出现滤波发散的问题。滤波器成为STF的充分条件便是通过实时调整增益矩阵
使得下面两个条件同时满足［13］:
其中:c1和c2分别是四阶项
的系数。
滤波算法只有同时满足条件式（45）和式（46）时，才能称为强跟踪滤波算法，文献［13］指出了文献［8］中的强跟踪UKF存在的缺陷，通过严谨的理论推导，得到强跟踪UKF成立的充分条件。
计算过程中发现，CKF算法是通过将基于对称采样的UKF算法中可调参数κ置零得到的，也证明CKF是基于对称采样的UKF算法可调参数κ置零的特例。此外，不难发现在CKF和SRCKF的基础上，采用更加精确的容积准则便得到ICKF和SICKF。根据上述情况，本文将文献［13］中的强跟踪滤波方法尝试引入SICKF，从而提出了ASICKF算法。
2.2 ASICKF算法的流程
假设k-1时刻的状态向量x满足统计特性
，给定初始条件
和
。则ASICKF具体算法如下:
其中，
为方向向量，n维球面Un满足，σ（g）为球面积分微元。
2）计算经状态方程传递后的容积点
3）计算状态预测值
和中间过程变量
4）对矩阵
进行QR分解
其中，SQ，k-1为 Qk-1的均方根。
5）进行第2次CT变换，根据
和
计算更新后的状态容积点
7）计算残差的协方差阵
10）计算引入渐消因子
后的量测预测协方差矩阵的均方根
和互协方差矩阵
式（56）中，ρ为遗忘因子，一般取 0＜ρ≤1。
8）定义中间过程变量Nk和Mk
第一步:用y（n）表示每个灰度上的像素点数目，n代表对应的灰度值。用式（1）对直方图滤波，得到的人眼图像典型直方图如图4所示。
热水循环流程为二联来水进入采油站热水循环管内，经循环水泵房，进入加热炉，经加热后，温度控制在90℃以上，输送至单井。在井口，经由隔热管与油管环形空间进入井底，通过分流器，经隔热管与套管环形空间回至井口，并回到采油站循环水回水阀组，最终进入循环水罐内。进行再次循环。采用热水循环工艺，循环深度较大，循环水温度较高，优势在于原油在举升过程中获得较多的热量，出井温度较高。原油流动性较好。缺点在于对天然气消耗量较大，而且存在循环水向油管内漏失情况，无法准确计量原油产量。但随着开采时间的延长，该项工艺暴露出来的问题日益突出。
9）计算自适应渐消因子
他说这话时，他们刚刚结束一场床笫之欢。他靠在床头抽烟，她赖在他的臂弯。那话不中听，她便想过滤，可是已然刺耳入心。她穿着不知被多少女人穿过的拖鞋，起身去洗手间，坐在马桶上观察他的领地。一切都乱糟糟的样子。洗衣台上还放着画好的设计草图。洗脸台和镜子都湿漉漉的。她帮他收拾好了，用纸巾擦了又擦。镜子里的那个她，穿着他的睡袍，头发乱着，眼睛迷茫着，带着一种类似天上掉馅饼的幸福感。可是天上掉的馅饼大多是馊的，而她的幸福感，似乎已经飘走了大半。
1.3 评价指标 ①出血量：记录两组产妇产后2 h、24 h出血量。产后出血标准：分娩后24 h内出血>500 ml。②产后出血并发症：包括先兆子痫、子痫。③生活质量：使用自主设计的生活质量量表进行产后评分，包括情绪功能、社会功能、认知功能、躯体功能，以百分制，分值与生活质量呈正比。④满意度：评价两组对护理满意度，≤64分为不满意，65～84分为较满意，≥85分为特别满意。
11）进行量测更新。本文按照式（64）～式（65）可以求出增益矩阵Wk，状态估计
和估计误差协方差阵Pk|k的均方根Sk|k，从而整个滤波过程结束。
基于正交性原理，STF通过调整增益矩阵Wk，能够使状态估计实时跟踪残差的变化。上述ASICKF算法与SICKF算法在时间更新过程上相同；创新点是，做了强跟踪理论与SICKF算法的结合，即在量测更新过程中，根据残差γk得到渐消因子
，通过
和
反馈于增益矩阵Wk。这与文献中提到的强跟踪滤波算法相比，ASICKF算法仅需进行两次CT变换，使算法的复杂度和计算量都大大降低，相比应用起来更为简便。
3 数值仿真
这里，还将ASICKF算法尝试用于解决包含未知机动的目标跟踪问题中，并将ASICKF算法与SICKF、CKF和ACKF等算法进行仿真对比研究。这里把地面坐标系o-xyz的原点定于地面，对3个坐标轴方向分别设定，ox方向为东，oy方向为北，oz方向为天向。对目标假设以未知角速度Ω等高度飞行，假设高度h=11 000 m。计算过程中，地球扁率、自转的影响不作考虑。根据上述假设目标的运动特点，可采用如下模型进行描述:
(3)发展农村社会保障事业，完善农村扶贫体系。除了前面提到的新型农村合作医疗制度，政府从2007年开始，先后建立了农村最低生活保障制度、新型农村养老保险制度、社会救助制度等，并完善了农村“五保户”制度，初步形成了农村社会保障网络。这些农村社会保障制度虽然多为普惠性制度，但是由于它们瞄准的多为贫困人口集中的低收入农户、老年人口和患病人群，客观上起着一定的扶贫作用，成为了中国农村扶贫体系的重要组成部分。
其中，k时刻目标状态可表示为
，目标的位置矢量可表示为
，目标的速度矢量可表示为
；机动输入设定为uk-1；过程高斯白噪声
其中，过程噪声强度参数
；量测时间间隔T=1 s。
设定测量雷达自地面坐标系原点处获取目标斜距η和目标方位角θ等信息。测量方程为
，满足
大豆的根属于直根系，由主根、侧根和不定根3部分组成。主根是由种子中的胚根伸长而成，侧根是由主根产生的分枝，由主根直接生长而成的根为一级侧根，一级侧根产生二级侧根，依次类推，每级侧根都有与主根相似的形态特征。L系统在描述具有自相似的植物拓扑结构和生长规律上具有很大优势，为计算机模拟植物的真实感图形提供了强有力的工具，本文采用L系统进行大豆根系模型构建。
其中，
为量测噪声，
为其协方差阵，
为位于坐标原点的地面雷达斜距量测噪声的标准差，
为位于坐标原点的地面雷达方位角量测噪声的标准差。
这里设定初始时刻t0=1 s，期间飞行目标进行了2次加强机动，分别在t=25 s时刻和t=75 s时刻，持续时间均为2 s:
这里进行蒙特卡洛打靶实验200次，打靶时间为100 s。
为目标真实状态初始值，真实状态的协方差矩阵可以表示为如下矩阵:
。这里采用满足均值为
、协方差为
的高斯正态分布
随机生成每次实验的初始状态估计
。分别采用SICKF，CKF，ACKF和ASICKF对假设未知飞行目标进行跟踪。
定义位置均方根误差和位置的均方根误差均值分别为
Miya听说宝宝越小越好生，于是孕期很严格得控制体重，结果怀孕32周产检时发现宝宝偏小，诊断为胎儿生长受限，被紧急收住院输液补充营养，天天打吊针、吃尽苦头。
其中，N为打靶次数，
为第i次打靶时第k时刻的目标真实位置分量，
为第i次打靶时第k时刻的目标真实位置估计值。
承德市水资源区域分布特点为：南部较多，北部、中部相对较少，水资源区域分布与生产力布局不匹配。水资源利用效率总体水平不高。从灌溉设施看，一些水库未设主干渠，依靠河道输水；一些灌渠只有干渠，干渠以下渠系配套不健全，配套率为40%，农业灌溉用水方式落后，水资源利用率低，灌溉水利用系数不足0.5，远远低于国家节水灌溉技术规程要求；工业用水方面，2005年全市工业水重复利用率为62%，市区部分为78%，邻近的天津、唐山等城市工业用水重复利用率已达80%。
同样的，可以定义速度均方根误差RMSEvel和均方根误差均值MRMSEvel以及转速均方根误差RMSEomg和均方根误差均值MRMSEomg。
图1～图3为4种滤波方法对假设未知飞行目标位置、速度和转速的均方根误差情况对比。
图1 飞行目标位置的估计均方根误差
图2 飞行目标速度的估计均方根误差
图3 飞行目标转速的估计均方根误差
目标在第25 s和75 s发生加强机动后，CKF和SICKF的估计误差发生剧烈跃升且开始收敛的情况滞后。分析原因，状态改变后，由于飞行目标真实运动与模型不符，这时激发模型的状态更新过程引入误差变大，飞行目标真实状态通过协方差阵无法得到准确反映，也无法根据测量信息进行调整，因此，算法的估计性能下降，导致跟踪精度下降。
ACKF和ASICKF的估计误差相比其他两种算法的估计误差，跃升幅度较小。同样的，飞行目标状态的剧烈变化让系统模型出现短暂失灵，不同的是，在采用这两种算法滤波过程中，根据残差γk的变化，由残差的方差阵得到的
对增益矩阵Wk进行跟踪调整，保证了残差序列中的有效信息能够被迅速提取出来，不断使输出残差序列正交；相对其他两种算法，较为准确的测量数据在量测更新过程中的比例变大，从而有效降低了状态突变后模型不准造成的状态一步预测估计误差的占比，跟踪精度变高。这里，ASICKF采用了更为精确的容积准则，因此，其计算精度相比ACKF算法而言，更为精确。
表1 4种滤波方法的均方根误差均值对比
此外，表1中展示了针对4种滤波方法对未知飞行目标位置、速度以及转速的滤波均方根误差均值MRMSE、使用的容积点个数进行了分析。很容易发现，引入自适应渐消因子解决状态突变的机动目标跟踪问题，可以显著提高容积滤波的估计精度。这里对比发现ASICKF算法在整体测量性能上要明显优于ACKF算法。
图4中，将5次随机打靶实验，4种滤波方法运行所需的CPU时间进行对比。这里数值模拟采用Matlab2014a，计算机配置为 Intel（R）Core（TM）i5-3470 CPU 3.20 GHz。因为ASICKF和SICKF两种算法在状态和量测更新过程中会分解协方差矩阵这一运算过程，并且其采用容积点多达33个，这必然会导致其运行时间比CKF方法和ACKF方法要长；采用10个容积点的ACKF方法由于滤波过程中要进行3次CT变换，而ASICKF滤波过程只进行2次CT变换，相比而言，ASICKF方法计算量较小。总的来看，运行时间上ASICKF和ACKF相差不大；由于引入了
，使得ACKF和ASICKF两种方法运算量增加，运行时间大于上述其他2种方法。
图4 4种滤波方法的运行时间
4 结论
本文通过研究引入STF方法中的自适应渐消因子，有效减少因系统状态突变造成的估计精度下降的问题。文中将该方法在状态发生突变的目标跟踪系统中进行了应用，数值模拟发现，当未知飞行目标发生激烈状态变化时，ASICKF法对比CKF法和SICKF法，鲁棒性和系统自适应能力更强，经过对比也发现，ASICKF法相比ACKF法估计精度和状态跟踪能力更好，证明了ASICKF法表现出良好的滤波性能。
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Adaptive SICKF with STF and Its Application to Target Tracking
SHEN Xiang-hong1，2，XU Xiao-feng3，LIU Kuan2，ZHANG Lei1
（1.Plasma-Dynamic Laboratory，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China；2.Sichuan Gas Turbine Research Institute，Mianyang 621000，China；3.Xi’an Applied Optics Institute，Xi’an 710065，China）
Abstract: In order to overcome the problem that cubature kalman filter decreases in accuracy when system states suddenly change，combined with the square-root imbedded cubature kalman filter（SICKF）and the strong tracking filter（STF）algorithm，an adaptive square-root imbedded cubature kalman filter （ASICKF）is established.The imbedded family cubature formulae and the method of square-root filter are used to improve the accuracy and the stability of filtering algorithm.Furthermore，strong tracking filter algorithm is introduced to improve the capability of the filter to deal with uncertainty factors by modifying the predicted states’error covariance with a fading factor and the residual sequence is forced to be orthogonal.A maneuvering target tracking problem with unknown sudden states changes in system states is used to test the performance of ASICKF，the simulation results indicate that ASICKF can achieve better filtering performance when states’changes suddenly occur，with great robustness and better system adaptive capacity.
Key words: nonlinear Gaussian filter，imbedded cubature rule，adaptive filter，target tracking
中图分类号： TP13；TJ02
文献标识码： A
DOI： 10.3969/j.issn.1002-0640.2019.04.024
引用格式: 沈翔鸿，徐晓枫，刘宽，等.引入STF算法的自适应SICKF及其在目标跟踪中的应用［J］.火力与指挥控制，2019，44（4）:114-120.
文章编号： 1002-0640（2019）04-0114-07
收稿日期： 2018-03-12
修回日期： 2018-05-07
*基金项目： 国家自然科学基金资助项目（61304120；61473307；61603411）
作者简介： 沈翔鸿（1983- ），重庆綦江人，硕士，工程师。研究方向：压气机试验技术及计算机仿真。
Citation format: SHEN X H，XU X F，LIU K，et al.Adaptive SICKF with STF and its application to target tracking［J］.Fire Control&Command Control，2019，44（4）:114-120.
标签：非线性高斯滤波论文; 嵌入式容积准则论文; 自适应滤波论文; 目标跟踪论文; 空军工程大学等离子体动力学重点实验室论文; 中国航发四川燃气涡轮研究院论文; 西安应用光学研究所论文;