“数学小论文”：教学反馈的有效形式，本文主要内容关键词为：反馈论文,形式论文,数学论文,小论文论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我国数学教师从上世纪80年代起就开展数学小论文活动；90年代中后期，国内有不少数学教师开展了数学日记的相关研究；新世纪后，越来越多的数学教师、数学教育研究者关注数学写作.但就目前关注的文献成果来看，作为学科写作一个分支的数学小论文写作研究远远没有达到美国那样[1].一段时间以来，笔者在教学中尝试让学生课后以数学写作的形式提交对数学概念或解题的理解，积累了上百篇学生写作作品，“无心插柳柳成荫”，现在这些写作已成为教学反馈的有效形式，无形中也帮助了自己对数学教学的认识、对学情的掌握，促进专业成长.本文将结合三篇学生作品，阐释自己的理解和思考. 一、学生数学小论文展示 案例1 从“种萝卜”到函数概念. 高一 小张 今天的“函数概念”课学习，老师从“一个萝卜一个坑”的故事说起，让我们对函数概念有很好的理解，我也是自初中学习函数以来，才初步理解所谓函数的概念（以前只是会解函数题）. 记得老师开课就说：“同学们，常言道‘一个萝卜一个坑’.今天我们就来研究一个种萝卜的问题：现有一筐萝卜苗需栽种在一块已挖好坑的足够大的田地里，会出现哪些栽种情况呢？” 同学：“一个萝卜一个坑.” 同学：“多个萝卜占一个坑.” 也有同学回答：“有的坑没有萝卜.” 还有同学回答：“萝卜苗剩余，坑没了.” 这时候一个平时很是调皮的学生回答道“一个萝卜两个坑”. 全班同学哄堂大荚. 最后，大家经过热烈的讨论，发现萝卜苗有限，坑足够多，最后的结论是“前三种情况保留，后两种情况被排除”. 接着，老师从映射的角度向学生讲解函数的定义：非空数集A到B的映射叫做函数. 那么，映射又是什么呢？书上是这样定义的：一般的，设A、B是两个非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f，使对集合A的任意元素x，在集合B中都有唯一的元素与之相对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射. 这个概念与前面的“种萝卜”问题之间存在某种关联，即“集合A中的元素x就是萝卜苗，集合B中的元素就是萝卜坑，被保留下来的三种情况即可理解为：A中元素不可有多余，B中元素可以多余，可以多对一，一对一，但不可一对多.”这样一来，映射的概念及函数的概念就一目了然很好理解. 笔者点评：函数概念的理解有一定难度，如果直接按传统模式讲解，对于能理解的学生而言仅仅是被动接受，索然无味，而对于基础薄弱的学生就有可能基本不参与.所以，针对这样的问题，用“种萝卜”的情境帮助学生理解达到了较好的效果，如小张同学在文中生动记叙一样，记得当时很多学生都达到了较好的理解.当时练习了这样一道题： 设x、y、z、a、b、c均为实数，则下列对应是函数的有哪几个？
学生很快得到正确答案：图1、图2、图5. 案例2 谨防“数列考题”中的“思维定势”. 高一 小王 前天习题课上，由于“思维定势”，我在一道很熟悉的关于数列知识的考题上出错，请看题目：
当我顾盼左右看同学们有没有获得解答时，看见几个“高手”还没算出来，颇有点得意洋洋. 老师也发现我早就做好了，就安排我来说说思路，当我如上讲解后，老师没有立即判断我的对错，只是让大家思考我的解题过程. 班上一个“数学高手”说：他的解题过程中潜伏着错误，即这个公式成立的前提是q≠1，显然出现了增根.
笔者点评：通过这道题的互动与对话，学生对“等比数列（公比q≠1）的前n项和公式
”有了进一步的认识，同时小王同学意识到这类问题求解中的思维定势问题，而且还要懂得学会“求出答案并继续前进”（舍费尔德语）的重要性. 案例3 一道椭圆方程问题的“成果扩大”. 高一 小杨 数学自习课上，我们小组几人对一道椭圆问题讨论后，不仅解决了问题，还得到了很多意外的结论.
此题解好以后，我们小组内几名组员各自核准了解答过程后，老师对我们的解答表示了肯定，但引导我们结合近期所学内容，想想还可以在其他哪些知识中找到关联？ 同桌发现在双曲线中应该也有类似的性质，于是，我们进行猜想论证，想到了下面一道变式题：
我们还发现例题、变式题中涉及三点的位置关系，即点P是曲线上任意一点，A、B两点是左、右两个顶点，它们关于原点对称. 老师在小组讨论到变式题时，参与了讨论，并追问我们： 若A、B两点改为曲线上任意关于原点对称的一对点，点P仍然是曲线上任意的一个点，结论是否还成立？ 我们立即开始验证，很快得出两个结论：
笔者点评：这个小组的学生在一次数学活动课上由一道题目出发，经过变式追问、成果扩大，得到了很有意义的结论.学生对这两个结论有了深刻的印象，做客观题时就可以快速突破获得解答，减少“隐性失分”，当然这也是让学生有波利亚倡导的“解后回顾”意识. 二、数学小论文促进教学反馈的思考 对于数学学习来说，最常见的反馈形式往往是学生每天的课堂作业、课后作业、定期的考试（单元考试、月考、期中考试、期末考试等），这些形式固然是数学教学反馈的重要方式，但是往往呈现形式都是学生的解题步骤（冰冷的美丽）.而通过数学写作来反馈学生学习数学、理解数学的过程，则能看到学生“火热的思考”，以下即围绕数学写作促进教学反馈阐释三点思考. 1.通过数学小论文能看出学生对数学概念的理解 追求数学概念的教学效果一直是教师的心愿，因为一个新的数学概念是否能理解、能深刻理解，往往决定了对后续围绕该概念的诸多性质、定理、推论的掌握.如案例1中，我们通过创设一个恰当的“种萝卜”情境帮助学生理解概念.正如学生在文中所说：“我也是自初中学习函数以来，才初步理解所谓函数的概念（以前只是会解函数题）.”而且通过学生的写作，还能看出他们对数学概念是否真正理解、有无偏差或不精准的描述.在这种对话反馈下，可以对学生关于概念学习情况做出精准的评估，以便在后续的教学中做出更有针对性的安排. 2.通过数学小论文能看出学生对解题策略的感悟 我们知道，数学解题并不仅仅是追求答案的获取，还需要在“求出解答后继续前进”.新加坡著名数学家、数学教育家李秉彝先生关于“答案、过程、表达”三者关系酌论述：“首先，为什么答案是重要的？假如你在造一栋住宅，竣工后，房子塌了，你愿意因为仅仅是过程正确而向建筑商支付报酬吗？其次，为什么过程是重要的？你可以在过程做错的情况下，得到正确的答案，但我不肯定你下次还会那么幸运.第三，为什么表达是重要的？如果你说得很好，你可以通过一扇门，我是说，你可以把所要表达的意思传递给门后的那个人，如果你写得很好，你至少可以通过三扇门，我是说，你可以把所以表达的意思传递给你老板的老板的老板.只有完美的表达才可以传递得更远.”[2]在上文案例2中，学生小王由于“思维定势”出错后，能在与同学的对话中感悟出数列问题的求解策略，他有了这次数学小论文写作的经历，也就相当于一次深度的“错题纠错与究错”，自然比简单纠正答案的印象深刻；同时对教师来说，有了学生这样的写作，对今后辅导类似的问题求解策略时，也多了一份“生成性资源”，借此在班级纠正这种易错点，也能取得更好的教学效果. 3.通过数学小论文写作能看出学生对同类问题的积累 笔者倡导学生以数学小论文的形式帮助学习时，除了要求他们记录课堂生成、叙述课堂上的故事以外，还有一个重要的写作角度就是让学生写自己解题的心路历程，特别是对同一类问题的积累，这既对学生“眼前利益”有帮助，同时也训练了学生归纳、发现的能力，又能实现教学反馈，让教师看到学生对同类问题的积累.如上文案例3中，学生在小组内对一道椭圆问题成功地实现了“成果扩大”，把定值问题的探究从一题到一类，很好地实现了同类问题的积累.笔者后来将这篇小论文在另外一些班上展示，其他学生也随之受益，也要学习他们这样关于积累同类题的习惯.如另外一个班的学生在小论文中写道：“看了其他班上同学关于椭圆问题的‘成果扩大’后，我才知道原来以前我解题速度不快，每次考试总是时间来不及的原因了，我以后也要学习他们这种好的经验，平时多多把同类问题归类排列到一起，争取把解题速度也提上来！” 三、写在最后 上文只是初步探讨了数学小论文对教学反馈的帮助.事实上，数学小论文是学生学习数学的有效助手，我们在研究的过程中，还关注了数学小论文与课堂教学研究的关系、与命题研究的关系，等等，这些方面都极大地丰富了数学小论文的内涵和外延.我们还发现：数学小论文确实是一种极有价值的师生反思素材、生成性资源，对其开发和再利用仍然值得深入研究.当然，实践过程中，由于高中教学工作紧张，师生往往更喜欢通过多练习、多解题来提高数学成绩.开展数学小论文过程中，有些数学小论文的质量不高，学生不愿意参与，教者评价不到位，师生对数学小论文有倦怠等，这些都是实践者的共性问题，期待我们在后续实践中解决，也期待有兴趣的同行加入研讨.
标签：数学论文; 数学小论文;
