“二次函数的应用”（复习课）教学实录与评析，本文主要内容关键词为：函数论文,教学实录论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教学背景
本节课是中考第一轮复习中二次函数内容的第三课时，前面已经复习了二次函数的定义、图象和性质，本节课是二此函数的应用。以往在应用问题的教学中，教师常常把问题情景给出后，自己读题或让学生读题，然后和学生共同分析题意，找等量关系，建立函数模型，对问题的处理看似顺利，但学生的掌握情况并不乐观，课下作业往往出现很多问题，此时教师责怪学生：这种类型的题目刚讲过怎么还不会做。究其原因，是教师没有给学生充分的思考时间，学生没能真正理解题意，没有自己的想法所致。针对这个问题，我们采用“创设问题情境—学生自主探索—小组合作交流—全班展示交流—答疑解惑—总结提升”的教学模式，积极实践，努力实现高效课堂。
二、课例展示
设计思路
本节课是二次函数应用问题的复习课，故以“学生自主学习”为主线展开教学活动，充分调动学生学习的积极性和主动性，突出学生的主体地位，体现新课程理念。在选题上，精心设计了5道与实际结合密切的问题，属于中考的热点题型。第1、第3题是球类问题，第2题是拱桥问题，这三道题比较简单，学生通过讨论和相互交流，是可以自己解决的，这样就提高了课堂效率。第4题是二次函数在销售问题中的应用，是较复杂的市场营销问题，需要通过思考建立适当的数学模型来解决，使学生体会二次函数建模的思想。第5题是二次函数在几何中的应用。5道题由易到难，这样安排可以激发学生的学习兴趣，有利于增强学生的自信心，使不同学力水平的学生都参与，都动脑，符合新课改的理念。
教学目标
(1)知识与技能。
通过解决与二次函数相关的问题，让学生掌握利用二次函数解决实际问题的方法，体会数学建模的思想。
(2)过程与方法。
通过对生活中实际问题的研究，经历将实际问题转化为数学问题的过程，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。
(3)情感、态度与价值观。
通过解决实际生活中与二次函数有关的问题，学生亲身体会到学习数学知识的价值，从而增强学习数学的兴趣。
教学重、难点
正确理解题意，把握问题中的数量关系，建立函数模型解决问题。
教学过程
师：前面我们复习了二次函数的图象、性质及解析式的求法，这节课我们来复习二次函数的应用。二次函数的图象和性质在实际生活中经常用到，那么，怎样通过建立二次函数模型来解决问题呢？通过解决下面的问题，我们可以找到一些方法。请同学们完成学案上的1～5题。
要求：能独立完成的尽量独立完成，有不清楚的问题同桌或前后桌间可以讨论。
（学生做题，时间约20分钟。）
【点评】复习中绝大部分教师采用的做法是：首先复习与本节课有关的内容，如二次函数的一般形式、图象和性质，为这节课的内容做好铺垫，然后给出问题。这样就给了学生一个暗示——本节课就是运用教师复习的这些内容解决问题，不利于学生个性思维的锻炼，容易造成学生的懒惰心理。而本节课教师开门见山，指出了所要解决的问题，给学生布置了任务，并提出了完成任务的要求，这样学生可以根据题目的内容和要求，通过自主思考解决问题，充分发挥自身的潜能，也能真正暴露学生的思维，以便于课堂上教师帮助他们解决不清楚的问题。
题1 如图1，小华在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈中心底部的水平距离是______。
图1
题2 廊桥是我国古老的文化遗产，如图2是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为
，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______。
图2
题4 某商品的进价为30元每件，现在的售价为40元每件，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价涨1元（售价不能高于45元每件），那么每星期将少卖10件。设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件。
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星期的最大利润是多少？
题5 （2007年江西省中考试题）如图3，在Rt△CAB中，∠A=90°，AB=8，AC=6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为2个单位长度每秒，过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为t秒，AE的长为y。
图3
(1)求出y关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(2)当t为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
（学生在做题的过程中，教师在教室巡视观察，并参与到学生当中，几分钟后先后让两名学生板演第4题、第5题；有的学生独立做题，有的学生小声讨论。）
【点评】对于这样的环节，大部分教师的处理方法是：给出一个题，解决一个题，只要有一部分学生有了答案，就开始组织学生展示。这样做对于学困生来说，题意还没搞清，答案就出来了，一节课下来，一个问题也没弄懂，容易导致他们对学数学失去信心。本节课教师设计了5道题让学生做，试题的设置分3个层次，1～3题较容易，4题为中档题，5题为较难题，让学生一起完成，满足了不同学力水平学生的需求。学困生至少能够完成1～3题，中等生能够完成1～4题，优等生能够完成1～5题。这样使每名学生都有收获，符合课改理念：不同的学生在数学上得到不同的发展。学生在做题的过程中，教师巡视观察，并参与到学生当中，充分体现了教师是学生学习的组织者、合作者。
（20分钟后绝大部分学生已完成1～4题，少数学生完成了第5题。）
师：现在请同学们与你的同桌或前后桌进行交流。
（教师走下讲台深入到学生中间，5分钟后，全班进行交流。）
【点评】小组之间的交流能够调动学生学习的积极性，提高学生的参与度，学生教学生是一种很好的学习方式，能够使学生中的一些比较简单的问题得到有效解决，这样就节省了时间，提高了课堂效率。
师：哪名同学来说说1～3题的答案？
师：请说出你的解题思路。
：第1题由图可知篮圈中心的高度是3.05米，把y=3.05代入到抛物线解析式中求出x的值，再加上2.5米，就是小华与篮圈中心底部的水平距离；第2题由已知条件可知点F的纵坐标为8米，把y=8代入到抛物线解析式中求出x的值，再把x的值扩大2倍就得出这两盏灯的水平距离EF是
米；第3题令h=0，求出一元二次方程的两个根，其中的正根x=10就是他将铅球推出的距离。
师：有不同答案的请展示。
：第1题把y=3.05代入到抛物线解析式后，求出x的值为±1.5，取正根1.5，再加上2.5，就是小华与篮圈中心底部的水平距离；第2题把y=8代入到抛物线解析式后求出x的值为±
，两根差的绝对值米就是两盏灯的水平距离EF。
师：、的结果相同，但解题过程有所区别，你们认为哪个更合理？
：我认为的过程更合理。因为当把y的值代入函数解析式后，得到的是一个一元二次方程，解方程得到两个根，然后取需要的根得到答案，他的解题过程比较完整。
师：说得很好，此类题型是给出二次函数模型，已知y的值求x；将已知量y的值代入解析式，得到一个一元二次方程，解这个一元二次方程，再根据题目要求就可得到所求结果。1～3题虽然是填空题，但对解题步骤也不能马虎，一定要搞清答案的来龙去脉。
【点评】教师语言简练，一句“有不同答案的请展示”，让学生进行充分反馈，把不同答案都反馈上来；学生讲出自己的解题思路，不仅反映了学生的思维，同时也锻炼了学生的语言表达能力，能更进一步提升学生的数学素养。最后教师给出了解决这类问题的基本思路，使学生对此问题有了清楚的认识。
师：下面我们一起来看第4题的解答过程。
：（板书）解：
(2)设利润为W，
则W=(40+x-30)(150-10x)=-
+50x+1500。
因为-10＜0，
即价格定为42.5元时，最大利润为1562.5元。
师：你们的解题过程与的相同吗？
：我的解题过程第(1)问与的相同，第(2)问不同。
师：说出你的不同答案。
：（板书）解：(2)设利润为W，
因为-10＜0，
所以W有最大值。
因为x为非负整数，
所以x=2或3时，函数有最大值。
因为要使每星期销量较大，取x=2，
所以当x=2时，
。
师：还有不同答案吗？
（学生无语。）
师：好，我们来看这两名同学的答案，谁的正确？
：的正确。
师：为什么？
：因为x为非负整数。
师：很好，这两名同学的解题过程还有什么问题？
（学生摇头，示意没有发现别的问题。）
师：我们来看这两名同学的第(1)问中自变量的取值范围虽然写出，但是强调整数了吗？
：没有。
师：应该强调整数吗？
：应该。
师：所以自变量的取值应是什么？
：应是0≤x≤5的整数。
师：第(2)问中设利润为W后面应有什么？
：单位。
师：设未知数不写单位，是我们同学经常出现的问题，以后做题一定要注意。我们接着看的解题过程还有问题吗？
：最后应该给出结论，应该答出定价，因为题目问定价为多少，正确答案应是：价格定为42元时，利润最大，（元）。
师：非常好，所以我们做这类题目一定要注意——
：自变量的取值范围要写清楚，设未知数后面要加单位，审题要清，问什么要答什么。
师：回答很准确，除了这名同学总结的事项外，此类题型还有规律可循，它是典型的利用二次函数解决最大利润的问题，这类题型可套用公式：总利润＝（售价－进价）×销量；销量＝起始件数±
×b（a表示每涨或降的钱数，b表示增加或减少的件数，x表示涨或降的钱数）。以后再遇到此类问题，可直接套用此公式列出函数关系式。
【点评】第4题是商品的销售问题，属于中档题目，解决此题的关键在于弄清价格的波动与销量的关系，销量的波动与利润的关系。在让学生充分思考和完成的基础上，对不同的解法进行板演，有助于学生进行观察、思考、辨析并发现和提出问题，使学生的思维得到充分的展示、碰撞和交流。当学生不能发现问题的时候，教师给予必要的提示或引导，使问题得到解决，这充分体现了学生的主体地位和教师的主导作用。最后教师对处理这种问题的思路进行了简明扼要的总结，使学生对处理这类问题有了清楚的认识。这也是我们处理每一个问题所希望的。
下面请同学们看黑板上第5题的解答过程（给学生观察和思考的时间）。
：（板书）解：
(1)因为DE∥BC，
所以△ADE∝△ABC。
师：还有其他方法吗？
（学生摇头，示意没有。）
师：我们看这两名同学的解题方法有什么不同？
：用了相似三角形判定和性质，得到y与t之间的函数关系式；
用解直角三角形，根据直角三角形边和角之间的关系，得到y与t之间的函数关系；然后求出二次函数的最大值。
师：说得很好。此题是一道典型的动点问题，试题将二次函数知识与几何知识和三角知识相结合，渗透了数形结合思想。此类问题是中考的热点，解决这类问题的关键是弄清动点运动的特点，结合运动过程建立函数模型，再利用函数模型解决实际问题。
【点评】第5题是一道集几何、三角、代数为一体的综合性较强的题目，属于较难题。此题只有少数优等生能够完成，并能够采取不同的方法完成，体现了学生不同的思维，使优等生有发挥的空间。
师：（小结）
(1)1～3题是已知实际问题中的二次函数模型满足某些条件，根据所满足的条件，求出题目中的未知量，从而得到实际问题的答案。
(2)4题是二次函数在销售问题方面的应用。二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的，这类问题通常是先求出两个变量的一次函数关系，再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值。
(3)5题利用几何图形、几何和三角知识（相似或解直角三角形等）建立等量关系，确定二次函数解析式，解决实际问题。
(4)做这类题目要认真审题，理解题意。特别是自变量的取值范围要写清楚，设未知数后面要加单位，要问什么答什么。
【点评】通过对本节课知识的小结，使学生对本节课解决的问题和需要注意的问题有了清楚的认识，对学生掌握本节课知识起到了画龙点睛的作用。如果先让学生小结，在学生总结的基础上教师再给予提炼升华就更好了。
作业：
(1)作业本上完成本节课上做错的题目和没有做的题目；
(2)课后练习1、2题为必做题，3题为选做题。
【点评】作业的布置体现了对不同学力水平学生的要求，首先把本节课余留的问题解决，是对本节课知识的落实；其次必做题、选做题可以使学生能够根据自己的情况“吃好”“吃饱”。这样有利于学生的发展，增强学生的自信。
【总评】本节课主要有如下4个特点。
1.目标明确，注重过程，突出建模思想
教师在吃透《中考数学考试说明》、《数学课程标准》的基础上，根据学生的实际情况和教学内容的特点设计目标，目标明确，注重过程、方法和建模思想，具有可行性。
2.教学内容面向全体学生，符合学情
本节课设计了3个层次的练习题，适合不同程度的学生的探索和交流，这些题由易到难，由基础到综合，符合学生的认知，从而可激发学生的学习热情，使每名学生都具有探索和思考的空间，增强学生的自信心，使不同学力水平的学生都能够参与到活动中，并积极地动脑，因而符合新课改的理念，有利于学生个性的发展。作业分选做题、必做题，满足了不同学生的需求。
3.让学生间互相交流和补充，提高课堂效率
在独立完成的基础上，让学生间进行5分钟互相交流和补充，可使学生间的部分问题得以解决。如第3题，一部分学生的答案是错的，这时教师给出时间让学生进行探讨、交流，从而解决了问题，不仅提高了课堂效率，也培养了学生的合作精神。
4.学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者
1～5题让学生一次完成，教师为学生提供了个性化的学习时间和空间，能够使学生充分发挥自己的潜能；鼓励学生自主探索、合作交流、勇于创新、大胆表述，满足了学生多样化的学习要求。整个教学过程体现了学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者。
总之，在本节课的学习中，学生热情高，愿意动手动脑进行同学间的交流，教师在组织教学、内容安排、时间安排上都比较合理，教学效果较好，算得上一节高效的复习课。