数学理性及其对现代数学教育的启示，本文主要内容关键词为：数学论文,启示论文,理性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来，数学作为一种文化，在我国数学教育界受到了广泛的重视。在数学文化进入中学数学课程标准后，它更成为众人所关注的热点话题。而数学理性是现代数学文化中常用的一个名词，它具体指什么？源自哪里？它对现代数学教育有怎样的影响？本文从发生学的角度对数学理性的形成、发展作深入的研究，并对数学理性的内涵和对现代数学教育的启示进行阐述。
数学理性的形成
在早于古希腊时代或与之同期的各个古代文明中，人们基本上处于蒙昧物质的状态，为了摆脱这种状态，不同的民族都会利用他们原始文明中的经验、思维方式解释这个奇妙的世界：这个世界的本源是什么？它是怎样运转的？不同的民族对此有不同的解释。如古印度用宗教学说解释世界；中国则形成了阴阳学说、金木水火土“五行”学说。而古希腊民族则用数学解释世界。这正如克莱因所指出的：“任何值得一提的文明都探索过真理。思索的人们尽管不能，但总是试图去理解复杂多变的自然现象，去解开人类如何定居在这个地球上的谜题，去弄明白人生的目的，去探索人类的归宿。在所有早期的文明中，这些问题的回答都是宗教领袖给出的，并为人们所普遍接受。只有古希腊文明是个例外。”“希腊的智者们对自然采取了一种全新的态度。这种态度是理性的、批判性和反宗教的。神学中上帝按其意志创造了人和物质世界的信仰被抛弃了。智者们终于得出了这样的观念：自然是有序的，按完美的设计而恒定地运行着。……这种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解。”并且克莱因曾明确地指出，古希腊人之所以能“摒除故弄玄虚、神秘主义和对自然运动的杂乱无章的认识，而代之以可以理解的规律”，其“决定性的一步是数学知识的应用”。于是，在几个文明古国中，如埃及、巴比伦和中国，虽然都储存了相当丰富的数学知识，但他们都无法从具体的事物抽象出数学的本质，没能对数学赋予理性的涵义，也无法创造出作为理论体系的数学。而唯有古希腊将数学发展为一种对世界的解释——万物皆数，并坚持用逻辑演绎和证明的数学方法推理数学结果，进而理解整个世界。而数学理性就起源于此。
1.数学理性的萌芽
爱奥尼亚学派是希腊最早的哲学学派，也是最早断定自然界实质的人。数学理性在该学派中萌芽表现在两个方面：(1)爱奥尼亚学派的思想。他们认为在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，该物质的本质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释。这种理性思维的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在。(2)其创始人泰勒斯的数学贡献。泰勒斯是希腊最早留名于世的数学家，他发现了五个几何命题，并试图对其进行证明。泰勒斯将命题证明的思想引入数学，这使数学从具体的、实验的阶段开始向抽象的、理论的阶段过渡，这是以演绎证明为基本特征的数学的起点，是数学理性的萌芽。
2.数学理性的形成
毕达哥拉斯学派和雅典学派用数学理性看待周围的世界，促成了数学理性的形成；欧几里得在继承前人思想的基础上编写了《几何原本》，这将数学理性推上一个高峰，标志着数学理性的形成。
(1)毕达哥拉斯学派舍去了世界的神秘，认为看似混乱的现象中隐含一种规律，并应用数学，揭示其中的本质，推动数学理性的形成。毕达哥拉斯学派继承并发展了爱奥尼亚学派的思想，认为世界是由一种物质构成，而这种物质就是数。所有物体都由点或“存在单元”按照相应的各种几何形象组合而成，事物的差异源于数学的差异。因为他们发现音乐和行星的运动变化可以归结为数与数之间的关系。于是，“万物皆数”的观点就构成了毕达哥拉斯学派的核心观念，而且他们相信自然界是有规律的，这种规律是人们可以认识的，而数学就是人们认识自然界的工具。正如毕达哥拉斯所说：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或其与别的事物的关系都不能为人所清楚了解……你不仅可以在鬼神的事务上。而且在人间的一切行动和思想上乃至一切行业和音乐上看到数的力量。”他们把人们对世界的认识从神秘主义和随意性的混乱中解脱出来，使人们意识到在运动变化的世界中隐含了数学规律，对世界的认识和理解可以归结为数学的问题。这是从具体的事物抽象出事物的本质的理性过程，是数学化的过程，促成了数学理性的形成。
(2)雅典学派强化了毕达哥拉斯学派关于数量关系构成了一切事物和现象的本质的信念，强调了数学对哲学和了解宇宙的重要作用，建立了形式化逻辑体系，进一步促进数学理性的形成。雅典学派创始人柏拉图认为世上的神是按几何规律办事，感官所认识的世界是不稳定的，时刻都在运动变化着的。于是，人们无法从整体上对其进行完美地研究。但是，人们可以从周围的世界中归纳隐含其中的数学规律，而数学定律是永恒不变的，这才是现实世界的真髓。按照柏拉图的观点，“理念世界”与“现实世界”是有区别的：前者是真实的、完美的、永恒的、不变的；后者则是不真实的、有缺陷的、暂时的、变动的，而且是前者的一种不完美的复制。而数学对象被认为是理念世界中的一种存在。于是，数学沟通理念世界和现实世界的桥梁，是人们认识理念世界的工具。举例来说，我们研究圆，就不是研究现实的圆盘圆碗之类的圆形物体，因为它们只是理念的残缺不全的体现，甚至我们画圆的图形也只是理念的圆的粗糙的表现，而真正研究的对象应该是理念世界的圆，即概念的圆或圆的概念。用数学去研究理念的世界，在这种意义下，数学的研究就必然具有高度的抽象性，这体现了数学理性。正如柏拉图所想的，数学既然是关于完全抽象的概念的学问，理念世界又要求数学的真理有永恒不变的完全的确定性，这就决定了只能用演绎推理的方法来获得数学结论。例如：“三角形三内角之和是两直角”，若用量得许多具体的三角形的情况归纳的方法来说明该命题，这只能表明“大多数三角形的内角和十分接近于两直角”。这不是完全确定的结论。希腊人认为必须用合乎逻辑的演绎推理该命题。那应该怎样进行推理呢？在数学理性的基础上，亚里士多德建立形式化的逻辑体系，总结了当时数学推理的规律。他创立逻辑学的三段论法，如凡人都要死（大前提），苏格拉底是人（小前提），所以苏格拉底必死（结论）。这体现了数学理性推理的作用。因此，雅典学派不仅要求人们从具体的事物中抽象出理念的概念，还要建立逻辑体系演绎推理数学真理，这大大地促进了数学理性的形成。
(3)《几何原本》的出现标志着数学理性的形成。《几何原本》是欧几里得在继承了柏拉图的思想和亚里士多德逻辑演绎的方法的基础上，通过收集、整理前人和别人的成果并加以自己的独特的构造设计所完成的一部划时代著作。它集中地反映了数学理性，具体表现在：①《几何原本》提出了数学理性的模式，是完成公理化结构的最早典范。欧几里得恰当地选择了他所必需的公理、公设与定义，既不太多，又足够证明全书所含的一切定理，然后用逻辑演绎的方式将数百条定理编排起来，形成体系。而且，所有的数学理论都必须按照数学的定义、公理（公设）和三段论式的逻辑论证来组织，并由此构成了数学结构的大厦。②《几何原本》提出了一种认识世界的思维理性方式。《几何原本》建立在柏拉图哲学、亚里士多德的逻辑学和欧几里得的精心构思的基础之上，因此它表现出的不仅是一种数学命题的真理性特征，更重要的是它借助数学给人们提供一种认识世界、表述世界的思维理性方式：从几个简单的原理出发，可以逻辑演绎出整个理论体系，进而表现这个理论所揭示的真理。这使得一种数学公理化的方法最终演化为一种认识世界的理性思维方式，促进了数学理性的形成。③《几何原本》提出了一种理性的构造方式，为其他科学体系的建立提供了直接的范例。《几何原本》所建立的数学公理化体系是一个经典模式，促使其他科学体系的再构造。据考证，古希腊文化在欧几里得之后，它的各种学科都按照《几何原本》体系进行了再构造；另外，文艺复兴之后，古希腊文化的复活更使《几何原本》成为整个西方文化中的一个理性模式，物理、化学、天文、医学、哲学、逻辑等都是按《几何原本》的形式进行了理性构造。④《几何原本》体现了数学理性的精神，是人类理性思维的一个高峰，使整个古希腊文化具有一种深远的从数学探求真理的精神。这种理性的信念和精神作为古希腊文化的精髓后来为整个西方文化所完全吸收和继承。
总的来说，古希腊文化中数学理性的形成，使人类第一次从数量和逻辑的角度来看待世界，从而给世界以一种定量的、精确的、逻辑的描述方式；而且这种方式又极大地加强了人们关于自然界是有规律的，这些规律是可以为人们所认识的信念，并促使人们更为积极地从事这种理性的研究。于是，数学理性被看成近代自然科学能在西方顺利建立的一个重要条件。
数学理性的发展
在文艺复兴时期，数学理性得到巨大的发展，彻底地摆脱了宗教神学，对自然学科起到重要的作用。古希腊形成的数学理性一直无法摆脱“上帝”的作用。古希腊的人们认为上帝是有规律的，数学是人们认识上帝的途径，正如柏拉图指出，“神永远按几何规律办事”。于是，古希腊的自然科学也带有神秘的色彩。到了中世纪，数学理性被埋没于神学之中，人们更是从圣经中获得关于自然的知识，自然科学依附于基督教神学。随着对基督教神学的认识，人们开始意识到基督教的局限性，如缺乏理论基础。当时著名的神学家托马斯·阿奎那运用逻辑的方法为基督教建立了理论基础，创立了一个新的基督教的哲学体系。他的著作《神学大全》不仅为基督教神学作了一个最透彻、最全面的解释，而且也为古希腊数学理性的复归开启了大门。于是，人们认识到上帝是有理性的，他按照数学规律设计、创造了整个世界，从而，人们就可通过直接的探索去发现自然规律。这正如克莱因所指出的：“上帝的方法是正确的，人们可以证明其正确性。因此，中世纪晚期的学者，特别是经院哲学家，不仅为近代数学和科学的诞生提供了理性环境，而且给文艺复兴时期的大思想家传授了这样的观点：自然界是上帝创造的，上帝的方法能为人们所领悟。”在数学理性的进一步指导下，科学家对自然科学研究的目光逐渐由“为什么”转向了“怎么样”，即由“质的研究”转向“量的研究”，探求自然界的数学规律。然而，宗教神学的作用仅限于对“为什么”的问题作出解释，而对于事物和现象的描述则完全是科学的任务，因此，自然科学就与宗教神学独立开来，摆脱了宗教的束缚，自行发展，从而也促使了数学理性的发展。例如，伽利略在研究自然科学时追求的是数量的规律，他认为数学推理比实验更重要。伽利略的科学研究的程序是：从几个实验开始得到最基本的简单明了的原理，即得出数学模型，再往下就是数学的推导、演绎，得出尽可能多的结果。这实际上是欧几里得《几何原本》的方法，是数学理性的指导，由几个命题通过逻辑演绎推理建立一个体系。对此德国哲学家胡塞尔写道，这正是“从近代开始的自然科学、或说自然科学的理性的实际上完全不可避免的榜样作用的结果。……自然科学具有最高度的理性，因为它是受纯数学的指导的，它是通过归纳的数学的研究而获得的结果。”数学理性的复兴和发展，使得欧洲的近代自然科学脱离宗教的束缚，独立发展，影响现代社会的各个方面；相反的，自然科学的发展也推动了数学理性的进一步发展，促使数学向多个方面发展，形成多个数学分支。
数学理性孕育于古希腊，发展于欧洲的文艺复兴时期，那数学理性究竟指什么？它的内涵又是什么？
数学理性的内涵
1.理性的内涵
理性在人文科学与社会科学研究中，通常指人所具有的一种本性，是人区别于其他动物的根本标志。它有两种意义。一种是指在人的认识过程所独有的一种特性，使人透过事物的表面现象看到事物的本质、事物的内部联系、事物的规律，是人的概念、判断、推理等思维形式和思维活动的能力。这种理性被称为认知理性。另一种是人类独有的用以调节和控制人的欲望和行为的一种精神力量。人与其他高等动物一样，存在着动物性。但是人可以凭自己的理智，支配自身的动物性，使自身的需要在社会关系和社会规则的调节与制约下得到满足。这种理性被称为道德理性或实践理性。
从理性概念的两种意义可以看出，理性这一概念不是单义的，而是多义的，人们可以从不同的角度去理解。从意识论意义上说，理性是指受人的目的和意识所支配的一切主观的和心理的活动，它不仅包括人的理性认识的活动，而且也包括人的有意识、有目的的感觉、知觉和表象等感性认识活动；从认识论意义上说，理性是指人认识事物本质和规律的逻辑思维形式；从人性论意义上说，理性是指人的抽象的逻辑思维能力以及受这种思维能力所支配的人的理智的、克制的、自觉的能力和存在属性。理性的涵义尽管有多种，但它们有一个共性，即理性是人类独有的、其他动物身上不具备的特性；同时，理性也是人类身上普遍存在的特性，即只要是正常的人，都具有理性思维的能力，都具有自觉地调节和控制自己行为的能力，只是这种能力高低的程度不同而已。
2.数学理性的内涵
由于理性的内涵是多义的，数学理性也具有多种涵义。从横向的角度看，数学理性具有一定的文化相对性，即是对于不同的民族或文化可能具有不同的内涵。例如，以《九章算术》为代表的中国的古代数学偏重应用，而以《几何原本》为代表的欧洲数学偏重逻辑演绎。于是，有些数学史学者提出：“古代东、西数学是风格迥异的两种理论体系，如果说西方数学著作表述为逻辑的演绎体系，那么东方数学则是呈现出计算为中心的算法体系。”所以，可以看到，东方的数学理性跟西方的数学理性可能具有不同的内涵。从纵向的角度看，数学理性也具有相对的空间性和时间性，不同的时代赋予数学理性的内涵应不尽相同。在此定义的数学理性是指孕育于古希腊文明、并伴随着近代自然科学的形成和发展逐步定型的西方理性精神。
数学理性的内涵主要表现在4个方面：
(1)在自然科学的研究中应当严格区分主客体
首先，数学研究的对象并非是现实世界中的真实存在，而是抽象思维的产物。其次，对于自然科学的研究也即是对于客观世界的研究。这正如柏拉图的观点，我们研究的对象是“理念世界”中的概念，是一个不以人的意志为转移的客观世界，并非是“现实世界”中的物质。于是，我们应该采取纯客观、理智的态度，把自然界的对象（包括数学对象）看成是一种不依赖于人类的独立存在，并通过严格的逻辑分析去揭示其固有的性质和相互关系，而不应掺杂有任何主观的、情感的成分。
(2)对自然界的研究应当是精确的、定量的，而不应是含糊的、直觉的
这种思想不仅直接关系到科学研究的基本方法，而且也表明了科学研究的基本目标，即是要揭示自然界内在的数学规律。揭示数学内在规律的基本方法应该是进行定量的研究。
仅靠直觉或主观上的判断，是不够全面的，而且很难衡量正确与否。例如，告诉一个小学生第二次世界大战持续了十年，他会相信；告诉他两个4的和为10，就会引起争论了。因为仅从定性研究，可以众说纷纭，并无统一的判断标准，每个人都带着自己的偏见，如何判断呢？从事定量的研究，伴着数学给予精密的自然科学以某种程度的可靠性，人类便可以得到物体本质、客观的性质。例如，在从事自然规律的研究中，亚里士多德大多进行质的研究，研究物体运动的原因、目的，而这种研究很大程度上是用理想的、幻想的联系来代替尚未知道的现实的真实的联系。正如亚里士多德提出在高空中，重的物体要比轻的物体下落的速度要快一样，他仅靠直觉和经验就得到此结论。可伽利略从量的研究得出相反的结论：重的物体与轻的物体下落的速度一样快。他运用了数学理性，通过逻辑演绎推理得到这个结论。进行自然科学的研究，靠的是数学理性精确的、定量的研究。
(3)批判的精神和开放的头脑
“批判的精神”实质上是指一种真理观，即任何权威，或是自身的强烈信念，都不能被看成判断真理性的可靠依据；此外，一切真理都必须接受理性法庭的裁决。批判精神在古希腊就是数学理性的一个重要内涵。例如，尽管亚里士多德是柏拉图的学生，但他仍然对柏拉图的理念论进行了尖锐的批判。“吾爱吾师，但吾更爱真理”，亚里士多德的这一名言即集中地体现了理性的批判精神。而“开放的头脑”是指若一个假说或理论已被证明是错误的，则无论自己先前曾有过怎样强烈的信念，现在都应与之划清界限；同样地，若一个假说或理论已经得到了理性的确证，则无论自己先前对此具有怎样的反感，现在又都应当自觉地去接受这一真理。在对真理的探索过程中我们始终应当保持头脑的“开放性”，它与批判的精神互相补充、相辅相成。
(4)抽象的、超验的思维取向
数学作为“模式的科学”，并非对真实事物或现象的直接研究，以抽象思维的产物——（量化）模式——作为直接的研究对象；于是，数学规律所反映的并非个别事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象的共同性质。
总的来说，数学理性是一种对周围的事物客观的、定量的看法，一种人们有理有据地推理、论证的思维，一种不迷信权威，坚持真理的精神。
对现代数学教育的启示
在新课程标准的三维目标中，对培养学生情感态度价值观的要求曾提及“要培养学生形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神”，让学生在数学思考中感悟理性精神，用数学理性思维来影响学生的思想、观念、行为、态度和精神。于是，潜移默化地培养学生数学理性思维是数学教育的重要内容。这包括三个方面的内容。
(1)培养学生数学理性思维，要重视学生抽取问题本质的能力。对主客体的严格区分是数学理性的重要内涵之一，从现象中抽取事物的本质，使学生从感性认识上升到理性认识，是数学教育的目标。例如，在任何六个人中，总可以找到三个相互认识的人或三个相互不认识的人。乍看此题，似乎很复杂，若抽出问题的本质，把六个人看成六个点，两个人相识看做两点间连线，问题可转化为平面上六个点，至少有三个点是相互连线或相互不连线的。
(2)培养学生数学理性思维，要重视学生逻辑推理能力。数学理性作为一种有理有据的推理、论证思维，它要求从数学角度看问题，有条理的理性思维，严密的思考、求证。例如，在讲解三角形内角和为180°时，不能仅让学生通过拼凑三个内角得到结论，而是通过严格地逻辑推理证明才能够得出结论。直观的经验不能代替逻辑的推理，否则便会得到错误的结论，如任意三角形都是等腰的。
图1
证明 如上页图1所示，作∠A的平分线AD，若AD⊥BC，则△ABC是等腰三角形。若AD与BC不垂直，作BC的垂直平分线MD与AD相交于点D。当点D在△ABC内。过点D作AB与AC的垂线，设垂足为E和F。
因为BM=CM，∠DMB=∠DMC=90°，DM=DM，所以△BMD≌△CMD。故BD=CD。
因为∠EAD=∠FAD，∠DEA=∠DFA=90°，AD=AD，所以△ADE≌△ADF。
故AE=AF，DE=DF。又因为BD=CD，所以Rt△BDE≌Rt△CDF，所以BE=CF。
所以AB=AE+BE=AF+CF=AC。
(3)培养学生数学理性思维，要重视培养学生正确的数学观。数学理性是抽象的、超验的，于是数学研究的对象跟现实生活中存在一定的差距。培养学生正确的数学观，让学生意识到数学跟生活既有联系又有差距，数学源于生活，又高于生活，使学生体会到生活中处处有数学，数学是用稳定的模式驾驭流动的世界。这有助于学生形成正确的数学观，也有利于培养学生数学理性思维。
在数学教育中，培养学生数学理性思维，让学生用数学的眼观看待事物，用数学的思想思考问题，用数学的方法解决问题，这将使学生终生受益。
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