浙江省义乌市苏溪镇初级中学 322009
摘 要：分类讨论思想其实是归类整理思想的体现，初中数学解题中，分类讨论思想应用十分广泛。在实际的数学教学中，分类讨论思想的应用有助于学生掌握数学基础知识，使学生的数学条理性以及概括能力得到提升。在初中数学解题中，分类讨论思想具有十分重要的地位和作用。本文就分类讨论思想在初中数学解题中的应用进行剖析和研究。
关键词：分类讨论思想 初中数学 解题
一、初中数学解题中应用分类讨论思想的意义
分类讨论其实就是进行逻辑上的划分，也就是将数学题目进行化整为零，逐个击破，实现积零为整的教学模式。当前，分类讨论思想是一种十分重要的数学思想，在解答数学问题时，如果题目中存在一些不确定的因素，无法解决，就可以将数学问题划分成若干个小问题，进行分类讨论，使抽象、复杂的问题简单化，条理化，便于解答。分类思想在数学教学中应用十分广泛，在逻辑分析上，以及学生思维严谨性和学习能力提升上都有积极的促进作用，是一种有效的数学解题策略。
二、分类讨论思想在初中数学解题中的应用
1.分类讨论思想在三角形问题中的应用。
初中数学教学中，在解决三角形问题时经常会用到分类讨论思想，明确分类讨论的对象、原因，根据实际情况进行准确的分类，综合归纳进而解决实际问题，有助于强化学生的条理性和思维的严谨性。
例如，2015年浙江金华中考卷24题：易求出第（1）题a=- ，c=2。第（2）题通过求E点坐标和OE长,利用勾股定理求出OF长。从而得到OE=OF,即△OEF为等腰三角形。
下面就第（3）题情形一“点Q在射线HF上时”进行剖析：由题意的，Rt△PQE与Rt△POE全等，PE是公共边，可以得出Rt△PQE与Rt△POE成轴对称，利用分类讨论的思想得到两个基本图形（图1和图2）。
图1 图2
根据题中“点Q在射线AF上”这个已知条件，把图1图2的两个基本图形“植入”到直角坐标系中，得到图3和图4，然后通过全等三角形、相似三角形、勾股定理等结合，较自然地求出QH的长。
图3 图4
可以说，在情形一的解答中图1图2这两个基本图形的熟练掌握是主线，横穿这根主线的就是分类讨论思想。在上述的解答中，全面考查了学生的分类思想和探究能力，通过仔细观察、缜密思索、合理分类、严谨推理等思维活动解答问题。
2.分类讨论思想在圆教学中的应用。
在初中教材圆的教学中，圆的对称性、圆与直线、圆与圆、圆与正多边形之间的关系是教学的主要内容，圆的平行弦、弦心距、弦所对的圆周角等教学中经常会用到分类讨论思想。通过圆的对称性进行合理的分类讨论，挖掘出题中隐含的数量关系以及图形中的各种不同的变式，从而达到正确完整求解的目的。
比如在学习“圆的对称性”时：
题目1：在⊙O中,半径长为5cm,弦AB∥弦CD,AB=6,CD=8,求AB,CD之间的距离。本题中由于圆的对称性，两条平行弦就出现两种不同的情形，依据弦AB与弦CD可能在圆心的同一侧，也可能在圆心两侧，通过分类讨论进行解题。
题目2：已知AB是⊙O的直径，AC, AD是弦，且AB=2, AC= 2，AD=1，求圆周角∠CAD的度数，就要充分考虑到两弦在直径AB的同侧和两侧的情况。
题目3：一条弦分圆周为5:7,求这条弦所对的圆周角的度数，在分析时要明确弦所对的圆周角有两个，分别在弦的两侧，这两个圆周角互补。
利用分类讨论解决数学问题，在解题过程中有助于强化学生的分析和归纳能力，对于学生概括性思维的提升具有十分积极的作用。
3.分类讨论思想在实际应用题中的应用。
在实际应用题中出现了不同情况，从而对不同情况进行合理分类，其本质是一种逻辑划分的方法。所以分类讨论思想是一种重要逻辑思维方法，同时又是一种重要的解题策略。应用分类讨论思想解决问题时，必须做到不重复、不遗漏，分类讨论思想具有较高的逻辑性及想象力，需要学生具有思维的条理性、缜密性、科学性。
例如 2015年浙江绍兴市中考卷16题：三个互通的甲乙丙圆柱形容器(图5)，底面半径之比为1:2:1。若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 cm，求出开始注入多少分钟的后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm。本题切入点难找,难度比较大，需要较高的推理能力和合理的分类讨论。本题中需要解决以下问题：丙中每分钟水位上升多少？丙向乙溢水后乙中每分钟水位上升多少？乙丙同时向甲容器溢水后甲中每分钟水位上升多少？在分析时，甲与乙的水位高度之差是0.5cm时，需考虑哪三种情况？在对题中的数量关系和分类策略了然于胸后做好分类讨论的前期预备工作：先算出当丙中水位刚好为5cm时，注水时间为 分钟；此时乙的水位为1.25cm,当乙的水位刚好为5cm时，注水时间为 +（5-1.25）÷（2× ）= 分钟。将甲与乙的水位高度之差是0.5cm分成三种情况讨论
:
①当乙的水位为0.5cm时，注水时间为0.5÷ = 分钟。
②乙的水位为1.5cm时，此时丙容器已向乙容器溢水, 甲的水位不变时，注水时间为 +（1.5-1.25）÷（2× ）= 分钟。
③当甲的水位为4.5cm时，此时乙和丙同时向甲容器溢水，注水时间为 +（4.5-1）÷（8× ）= 分钟。从上述分析中不难发现，分类讨论的目的是化繁为简，简化思维过程，是一种“化整为零，各个击破”的思维方法。
三、分类讨论思想在方程教学中的应用
初中数学学习中，解方程是基础性的知识，在解题过程中，可以通过方程的降次、换元和转化等方法求解。在求解含有|x|的方程中，学生通常因为思维定势而忽略化简过程中出现的多种不同情况，很容易囿于取值的局限性而产生失根丢解的情况，这时就要引导学生展开合理的分类讨论。
例如，在解x2-|x-1|-1=0时，根据去绝对值号法则：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a，对x-1的性质符号进行分类讨论。当x-1≥0即x≥1时，原方程可化为x2-（x-1）-1=0；当x-1<0即x<1时，原方程可化为x2-（-x+1）-1=0，再解出化简后的一元二次方程。
例如，在解方程|4-x|-|x+2|=2时，需要注意绝对值内的对象4-x、x+2的性质符号，教师在解题时要指导学生使用分类讨论的思想进行解题，对未知数x的各段不同取值范围进行合理划分，对题目中出现的两个绝对值|4-x|和|x+2|进行分类讨论。对于|4-x|有x≥4、x<4两种情况，而|x+2|也有x≥-2、x<-2之分，在数轴上表示分类的范围进行计算。
当x≥4时，方程转化为（x-4）-（x+2）=2；当-2≤x<4时，方程转化为（4-x）-（x+2）=2；当x<-2时，方程转化为（4-x）-（-x-2）=2，然后可以解得化简后的方程。
上述分类讨论中，必须保证分类科学、统一，不重复、遗漏，教师要引导学生注意这些问题，从而实现正确完整的解题。
四、结语
当前初中数学解题中，分类讨论思想的应用比较广泛，在使用这种数学思想解决实际问题时，需要明确分类讨论的对象、原因，根据实际情况进行准确的分类，最后进行总结归纳，得出问题答案。
参考文献
[1]朴希兰 朴勇杰 分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].教育教学论坛,2015,7，(7)，169-170。
[2]王芳芳 浅谈分类讨论思想在数学解题中的应用[J].亚太教育,2015,18，(18)，41。
论文作者:骆建宇
论文发表刊物:《教育学文摘》2016年4月总第190期
论文发表时间:2016/5/10
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