交流电路的矢量表示法及其应用，本文主要内容关键词为：矢量论文,及其应用论文,电路论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、简谐交流电
有效值I，角频率ω和初相位
决定了简谐交流电的性质，所以通常将它们称为简谐交流电的三要素。
除了电流强度以外，简谐交流电的电压、电源电动势也有相同形式的表达式，如电压的瞬时值表达式可写成
等等。
在交流电路中，除了要确定元件两端的电压与流过元件的电流之间的有效值大小的比值以外，还必须确定两者的相位差。但因为电压和电流的变化频率是相同的，所以电压和电流任意时刻的相位差都等于它们的初相位之差。
交流电路中有三个基本元件，它们分别是纯电阻、纯电容和纯电感。对于交流电路中阻值为R的纯电阻，电压与电流的有效值之比等于电阻的阻值，U/I=R；初相位之差
-=0，电压与电流同相位，表示电压、电流随时间的变化是同步的。
二、交流电的矢量表示
其实，t=0时刻的矢量已包含了交流电流的两个要素的信息：矢量的长度即为峰值（为了以后计算方便，我们也可以等效地用矢量的长度代表有效值），而矢量与x轴的夹角即为初相位。另外，在同一个交流电路中，电压、电流等各物理量的角频率是相同的，而且不随时间改变，可视为一常量，这是第三个要素。我们只要记着，这些矢量是同步地逆时针旋转的。为了区别于一般的有效值，通常在电压、电流有效值符号的上方加一个小点，表示相应的旋转矢量，如：I、U等。
当我们要研究电压与电流的关系时，只需要画出分别代表电压和电流的两个矢量，它们的长度分别表示各自的有效值，它们的夹角则表示相位差。比如，纯电阻、纯电容和纯电感电路的矢量表示分别如图3（a）、（b）、（c）所示。这些矢量虽然不停地旋转，但它们之间的相对位置关系保持不变。而正是这相对位置关系中包含了我们需要的重要信息：有效值之比和初相位之差。有了这些信息，我们就可以解决不少问题。
三、交流电矢量表示法的一些应用
1.两个串联元件的电压之和
交流电的性质不仅取决于有效值的大小，还与其相位有密切关系。这使得交流电常常表现出与直流电完全不同的特性。如果我们习惯性地用分析直流电路的方法来处理交流电路的问题，就会得出错误的结果。
在直流电路中，两个串联电阻的总电压等于两个电阻各自的电压之和。然而在交流电路中，只要两个串联元件电压的相位不同，我们就不可以将两个元件各自的电压有效值直接相加。就像两个不同方向的矢量相加时，要用平行四边形法则，而不能直接做代数加法。
[例题1]如图4所示，普通日光灯由一个灯管和一个镇流器串联而成，灯管可视为一个纯电阻，阻值为R，镇流器可视为一个纯电感，电感系数为L。现将日光灯与有效值为220伏的交流电源连接，日光灯正常发光。此时，测得灯管两端的电压为110伏，问镇流器两端的电压为多少。（题中的电动势和电压均指有效值。）
相位差大于零，说明电路中的电流滞后于总电压。这是电感性电路共有的特征。
这个例子指出了交流电与直流电的一个明显的差别。虽然电压的瞬时值关系
依然成立，但电压有效值的关系是
。计算结果告诉我们，虽然总电压只有220 V，但灯管和镇流器两者的电压之和却约等于300 V，明显大于总电压。这与直流串联电路的电压相加关系完全不同。这一特征与矢量相加很相似，当两个夹角不为零的矢量相加时，得到的合矢量的大小并不等于两个矢量大小之和。
2.功率与功率因数
在交流电路中，功率随时都在变化。但对于日常生活中常见的简谐交流电，频率f=50 Hz，变化很快，真正有意义的其实往往是平均功率。一般情况下，对于任意无源二端网络，平均功率P=IUcosφ，式中I、U分别是电流和电压的有效值，φ是电压和电流的相位差。可以看出，交流电路的平均功率不仅取决于电流和电压的大小，还跟电压与电流的相位差有关，所以将相位差的余弦cosφ称为功率因素。功率因素的最大值为1。
在实际生活和生产当中，供电部门往往需要通过长距离输电来给用电单位供电。但是长距离输电会在输电线上损失不少功率，转化为输电导线上的焦耳热，从而造成能源的浪费。已知输电导线上损耗的焦耳热为
（R为输电线的总电阻），要减小损失，唯有减小电阻R或减小电流I。加粗导线可以减小电阻，但很明显这会大大提高成本，所以这一做法是有限度的。那么，能不能减小输电线上电流，却又不减小用电单位所需的用电功率呢？从用电单位所需的平均功率P=IUcosφ可以看出，只要设法提高用电单位电路中的功率因素cosφ，就可以在保持平均用电功率不变的情况下，减小输电线中的电流，从而有效减小输电线的焦耳损耗。
其实，在很多情况下，用户的用电电路都是电感性的。比如，常用作照明的日光灯，可视为电阻和电感的串联电路；常用作动力的电动机，也是由线圈绕组构成的，也可视为电阻和电感的串联电路。对于这样的电感性电路，电流滞后于电压，相位差φ＞0。只要并联上适当的电容（因电容的电流是超前于电压的，即相位差是小于零的），即可有效减小相位差φ，从而提高功率因素。
[例题2]标明额定数据为“220 V 15 W”的日光灯，与频率为50 Hz的交流电源相连，工作电流为0.35 A。求：（1）该日光灯的功率因数；（2）欲将功率因数提高到1，所需并联的电容；（3）并联电容后电路中的总电流。
（3）由图可知，并联电容后电路中的总电流即为
=Icosφ=0.35×0.2=0.07（A）
从这个例子可以看出，该日光灯的功率因素较低。实际上工作电流中仅有一小部分用于使日光灯正常发光，而其余电流则只是在电路中无效地往返。并联一适当的电容后，电容中无效往返的电流恰与日光灯中的无效往返电流抵消，所以最后的总电流全部用于做功，使得功率因素提高为1。而功率因素提高以后，电路中的总电流比并联电容以前小了很多。这样就可以减小输电线路上的焦耳损耗。
3.RLC串联谐振
在图7所示的串联电路中，电阻、电感和电容三个元件中的电流相同，总电压等于三个元件电压的矢量和。三个元件上的电压和电流矢量关系如图8所示。
根据图8中各电压和电流的关系，再考虑到三种理想元件电压和电流的关系（有效值之比和初相位之差）可知，电流
另外还有一点必须特别引起注意，当电路谐振时，电感和电容上的电压可以大于串联电路的总电压。这是交流电的又一个明显区别于直流电的重要特征。
[例题3]一个由电感L=0.01 H，电容C=100μF和电阻R=2 Ω所组成的串联电路，接在电压为U=16 V的交流电源上。求：（1）回路的谐振角频率；（2）谐振时的电流；（3）谐振时电感和电容上的电压。
从这个例子可以看出，谐振时同路中的电流是相当大的。另外，虽然电源电压仅为16 V，但电感和电容上的电压却达到了80 V，是电源电压的整整五倍。
4.理想变压器的串联问题
根据教学需要，一般教科书上对理想变压器的原理讲得比较简单。初学者在得到了原、副线圈电压比和电流比等一些重要计算公式以后，往往对于这些公式是怎样得出来的，以及这些公式在什么条件下才适用等问题印象并不深。处理一些简单的变压器问题时，还比较顺利。但遇到一些比较复杂的问题时，就会力不从心，不知该从哪里下手。不分青红皂白直接代公式吧，却往往得出错误的结论。
有一个关于两个相同理想变压器串联引起的“悖论”，很值得探讨。
[例题4]如图9所示，两个完全相同的理想变压器串联，原线圈ab与a’b’完全相同，副线圈cd与c’d’完全相同。现在两副线圈上分别接电阻
和
，若＜，则有（ ）。
对于这个问题有不同的解答，有的写成文章进行讨论。但其中有的分析存在错误而难以自圆其说，有的分析虽然基本正确，但也觉得难以说得非常清楚。
有的初学者认为，由于是理想变压器，且完全相同，加之两原线圈顺向串联，所以两个变压器原线圈上的电流、电压均应相同；又因两变压器匝比相同，根据理想变压器的电压、电流变比关系可知两副线圈上的电压、电流也应相同。但两副线圈上所接负载电阻不同，于是便出现了副线圈所在回路上的电压、电流和电阻不符合欧姆定律的悖论。
有的文章将悖论产生的原因归咎于对理想变压器的假定。认为当两个变压器串联后，就不能再把它们当成理想的，必须考虑两变压器原、副线圈本身的绕阻。那么，理想变压器到底可不可以串联呢？如果可以的话，那么导致上述“悖论”出现的根源又在哪里呢？
最近，顾俊琪和于正荣两位老师在一篇文章中对此问题给出了比较合理的分析。他们的观点是：
这一分析思路很清晰，逻辑性强。结论是串联的两个变压器原线圈上的电压并不相等，而应与副线圈中的负载电阻成正比。初学者之所以容易误认为串联的两个变压器原线圈上的电压相等，就是因为习惯性地用直流电的思维方法分析问题，忽视了副线圈的影响。
但是，正如上述两位老师在他们的文章中对这一问题所作的进一步讨论中指出的：如果选项C正确，则通过两个变压器原、副线圈的电流均相同，加之它们的匝数也相同，因而两变压器铁芯中的自感磁通和互感磁通也将相同，那么即使发生互感，通过两变压器铁芯的磁通量及其变化率也应相同。这样再根据法拉第电磁感应定律，选项A、B又应该成立了，“悖论”似乎仍未被破解。
其实，这个问题不考虑交流电流和电压的相位关系是难以得到满意解释的。而运用矢量法则可以简捷而清晰地解决这一问题。
实际上，副线圈中的总感应电动势是由原、副线圈电流在铁芯中产生的总磁通决定的，而这一总磁通同时也决定了原线圈中的总感应电动势。只是由于原、副线圈的匝数不同，所以原、副线圈中的总感应电动势的大小是不一样的。但是，可以得到这样的结论：原线圈两端电压的大小（等于原线圈总感应电动势的大小）与副线圈中电阻的阻值成正比。
由于两个变压器的负载电阻大小不同，导致副线圈中自感电动势和互感电动势的相位差不同，也就是原、副线圈电流的相位不同，从而使得两变压器铁芯中叠加后的总磁通的大小不同，所以两个原线圈的电压自然也就不同了。
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