李香杰 辽宁工程职业学院 112008
摘 要：在微积分学中，极限是最基本最重要的概念。掌握好极限的概念并灵活运用是学好高等数学的基础。极限的种类包括数列极限、函数极限、一元函数极限以及左右函数极限等。本文在介绍极限定义的基础上分析了其在微积分中的应用。
关键词：高等数学 极限 应用
一、极限的种类及其定义
1.数列极限。假设{an}为一个数列，若对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，总是有|an-a|<ε，则我们称数列an收敛于a,记作an→a或liman=a（n→∞），也称数列an的极限是a。在数列极限定义中，ε是预先给定的常数，N是根据ε而求出来的，故有时会记作N=N（ε）。ε具有二重性，既具有固定性，又具有任意性，固定性是指ε是一个固定的很小的正数，任意性是指ε可以随意小。当ε具有固定性可确定数列逼近的程度，具有任意小的性质则可以刻画出数列逼近的无限性。ε和N的关系：ε越小则N越大，且N不是唯一的，因为它是由|an-a|<ε决定的，由于ε具有任意性，则N不唯一。故找到一个存在的N特别重要，一旦N的值确定了，则n就是比N大的任意自然数。打算找到N很不容易，可以通过适当放大法和分步法来找到N。适当放大法就是当|an-a|<ε较复杂时，得出n很不方便，此时，可以将|an-a|<ε放大，成为|an-a|<a1<a2<…<ε的形式，然后再通过化简讨论极限的证明问题就比较简单了；而分步法是为方便解题，对n做一些限制，从而使|an-a|<ε化简容易，此时一般都是假定n>N1（N1是常数），然后再对|an-a|<H（n）进行放大，通过解Hn<ε，得出n>N2。取N=max{N1，N2}，则当n>N是，会有|an-a|<ε。
2.函数极限。设f是定义在区间[a，+∞）上的函数，A是一个常数，如果对于任意给定的正数ε>0，都存在一个大于或等于a的正数M，使得当M<x时有|f（x）-A|<ε，则我们就称当x趋于正无穷时，函数f的极限为A，记作limf（x）=A或f（x）→A，（x→∞）；函数极限与数列极限的定义很相似自然变量的变化趋势相同，只是形态有所不同，数列极限中自然变量的形态为n，而函数极限中自然变量的形态为x。n的取值是一切正整数，而x的取值是在一定的区间[a，+∞）内；n的增长是离散型的，而 x的增长是连续型的。数列极限中的证明，正整数N是关键，而函数极限f（x）→A（x→∞）中的证明，正数M是关键。有时在证明的过程中，函数的极限可能不存在，此时可以利用反证法对其进行证明，既可将复杂的问题简单化，又可以加深对极限定义的理解。
3.一元函数极限。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆设函数f（x）在x0的空心邻域U0（x0；δ’）有定义，A是一个固定的数，如果对于任意给定的正数ε，存在δ(０<δ<δ’)使当0<|x-x0|<δ时有|f（x）-A|<δ，那么我们就称当x趋于x0时，函数f的极限为A，记作limf（x）=A或f（x）→A（x→x0）。
函数极限是在数列极限的基础上发展起来的，当函数的自变量取自然数时，则就是数列极限。数列极限和函数极限的自变量都是ε，数列极限的因变量是N，而函数极限的因变量是δ。函数极限中的因变量δ由ε决定，其变化方向是一致的，当ε变小时δ也越来越小。函数极限研究的是当x趋向于正无穷、负无穷、特定数x0及从左和右两个方向趋向于x0时，其值的变化趋势。而数列极限研究的是n趋向于无穷时数列的变化趋势。
4.左、右函数极限。设函数f在x0的某个空心邻域U+0（x0；δ’）（U-0（x0；δ’））有定义，A是一个固定的数。如果对于任意给定的正数ε，存在一个数δ（0<δ<δ’），使得当x0<x<x0+δ（x0-δ<x<x0）时，存在|f（x）-A|<x，则我们就说当函数由右（左）趋向于x0时，其极限是A，我们也称A是其右（左）极限。记作linf（x）=A（limf（x）=A）。
函数f趋向于的x0左极限等于右极限，则其趋向于x0的极限存在，且其极限值等于左极限或右极限值。假如其左极限值不等于右极限值，则其极限不存在。
二、极限在微积分中的应用
1.极限对连续函数的作用。在画图的时候，我们定义连续函数为一笔画完，但是函数图形得来不容易，对其语言描述都不如用极限的定义式表达得简明形象limf（x）=f（x0），在连续函数中用极限来表示其定义，就会将其函数在某点连续的结果以及条件简明地表达出来。从某点出发并对其连续性进行研究，两点确定一条直线，由这一点我们可以利用极限来研究线的特征，从而得出导数的概念。
2.极限在导数中的作用。导数是由莱布尼茨和牛顿在研究几何学和力学问题时产生的。牛顿用路程和时间两者各自的改变量之比来表示平均速度。对两者都无限地趋近于0的比取极限，从而就会得到瞬时速度，由此引出导数概念。
设函数y=f(x)在x0附近有定义，函数改变量相对于自变量的改变量△x为△y=f(x0+△x)-f(x0)，如果lim=lim 存在，则就称其为函数f（x）在x0处的导数，记作f`（x0）。导数的定义源于对实际问题的研究，函数在某点的导数即为其在该点处切线的斜率，当最终返回实际问题时可以研究其极值与最值、单调性、凹凸性，从而得出函数的图形，为我们解决实际问题有一定的方向。
3.极限在积分中的作用。通过利用极限来研究线，我们也可以用其来研究面，积分学中的一个重要概念就是定积分，是从实际问题中抽象出来的。当在求总成本、总产量、空间立体的体积、平面图形的面积时，虽然其实际意义不同，但是对其求解的方法和思路都是相同的。例如求曲边梯形的面积时采取以均代不均，以直代曲的极限思路。这些极限的和就是其定积分。对这个问题的结局步骤分为四步：第一步是分割，在区间内插入尽可能多的分店，将其分为各个小的部分；第二步就是用常量代替变量；第三步是对那些各个小部分求和；最后一步就是取极限。其中取极限是最关键的一步。由此就会得到定积分的定义，在闭区间[a，b]上，定积分的定义是∫f（x）dx=lim∑(ξi)△xi。定义是为我们理解定积分的几何意义及其思想奠定了基础，但是在应用的过程中我们不经常使用定积分的定义式，而是采用微积分基本公式∫f（x）dx=F（a）-F（b），（在此公式中F（a）和F（b）都是f（x）的原函数）。利用三维坐标体系可以表示空间中的各种物体，解决“体”的问题，可以通过解决每个维度上的极限来进行。同样利用“分割、求和、取极限”的思想将物体先分为各个小部分的曲顶柱体，然后对其各个小部分的体积进行求和，最后对其求极限，让分割时所求出的体积与原物体的体积更加接近，即我们所说的重积分。
论文作者:李香杰
论文发表刊物:《素质教育》2013年12月总第140期供稿
论文发表时间:2014-4-16
标签：极限论文; 函数论文; 数列论文; 定义论文; 导数论文; 正数论文; 对其论文; 《素质教育》2013年12月总第140期供稿论文;