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一、概念定义及其特征
概念定义(concept definition)是概念内涵（即概念所反映的现实世界中对象的空间形式和数量关系）的科学表述和界定，它通过刻画概念所反映的对象的本质属性来明确概念。定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的。
数学家一般认为数学定义的特征包括：(1)存在性（所定义的对象必须存在）；(2)无矛盾（内在一致）；(3)不模糊（唯一性）；(4)逻辑上等价于同一概念的其他定义；(5)有层次（仅以基本的和已定义的术语为基础）；(6)不随表象的改变而改变；(7)表明构建的目的；(8)良好的（科学地界定了一类具有某些共性的对象）；(9)可操作；(10)其他一些未被公认的特点，如简洁、优雅、易理解等。
概念定义是数学思维的基础，一切分析、推理和想象都要依据概念定义。所以学生对概念定义的准确把握是数学思维发展的前提；相反地，如果学生不能准确把握概念定义，则其数学思维的发展会受到极大的限制，表现出思路闭塞、逻辑紊乱的混乱状况。
二、概念印象之于数学思维
Vinner和Hershkowitz就几何引进了概念定义和概念印象(concept image)这两个术语，来区分概念的正式、公认的定义和个人提出的由与概念相关联的例子、非例子、事实和关系所构成的认知结构。概念印象一般是对个人而言的，是个八对概念的整体认知，这包括所有与之相关的认知图式、特征和过程等。概念印象建立在一定的经验之上，随着经验的增加会不断改变。概念定义的用词有相当的考究，须经过反复推敲，做到科学、准确。
学生的概念印象包括他们的原先知识，且建立于其上，这些知识是他们通过不同的途径（包括日常经验）获得的，也称即时概念。学生回答数学问题，至少部分是依据他们的概念印象，而不是概念定义。实际上，概念印象对数学问题的解决和数学思维的发展是很重要的，所以学生拥有丰富的概念印象是我们所期望的。然而许多数学概念，如“映射”，通过形式化的概念定义介绍给学生，让学生用这些定义来列举正反例，对建立概念印象是有帮助的。
增强学生的概念印象的方法之一是帮助学生获得形象化数学概念的能力。研究表明：形象化可促进数学理解。但即便是那些数学思维已经成熟且具备形象思维能力的学生都不情愿形象化数学概念。Eisenberg和Dreyfus将形象思维和分析思维进行比较，指出：学生不情愿的原因之一是，老师们向学生传递或明或暗的信息：与分析推理相比，形象推理是次要的。最常见的困难是，学生将图形与它的符号表示联系起来的能力比较欠缺，而这是形象思维不可或缺的。
三、概念定义之于数学思维
首先，概念定义刻画了概念的本质属性，具有可操作性。因此，我们思考数学问题都是依据概念定义进行判断和推理。如：在处理圆锥曲线的轨迹问题时通常会根据定义确定轨迹。相反，离开定义，概念就成了空洞的抽象。
其次，概念定义可以简化思维，提升思维的品质和效率。定义反映了事物的本质特征和联系，用定义解决问题，最直接、最本质。很多时候，在解题的过程中，如能适时地将自己的思维回归到定义上来，“效果”会很明显。如：很多有关圆锥曲线的题目比较难，若能巧妙地利用圆锥曲线的第二定义，你很可能会“柳暗花明又一村”！对学生来说，在解题过程中紧扣并充分地利用概念定义，不仅可以简化他们的思维，也是培养他们严谨科学的数学思维品质的必然要求。
再次，定义可以作为组织活动。按照弗赖登塔尔的观点，定义是用来从混乱的世界和数学中组织现象。至少在几何思维的发展中，像VanHiele描述的那样，定义和组织可能在认识过程中是相互依靠的。在第二层次（分析）上，学生根据一系列的特征来看图形。在这个层次上，几何对象是通过列出学生知道的所有特征来描述的，而不区分必要条件和充分条件。当学生的思维过渡到第三层次（抽象），能够选择充分条件来描述对象，创造有意义的定义，能够理解逻辑关系和类包含，例如“正方形是矩形中的一种”。在第四层次（形式演绎），学生能够识别未定义的术语、定义、公理和定理之间的不同，而且能够在欧氏几何中构造原始证明。向高等数学思维(advanced mathematical thinking)的完全转变发生在向第五层次（严密性）过渡的过程中，在这一层次上。学生能够分析形式化定义的概念之间的关系。
四、学生构建概念定义的方式
学生应该积极地参与数学概念的定义。弗赖登塔尔认为一般有两种定义方式：(1)描述性的（滞后的）定义。通过突出对象的本质特征来描述它，这是人们早已有所了解，只是后来才为人们所定义的概念。(2)建构性的（预先的）定义。即从熟悉的事物中塑造新事物。一个给定的概念定义，经过排除、一般化、特殊化、替换或添加新特征而产生的新的定义，称为建构性的定义。
同一概念可能有不同的定义（如菱形），而且“有效”的定义可以简化证明，也可以帮助学生提高建构形式化的、有效的定义的能力。通常，学生所给的定义是不完善的，但这也提供了举反例和进一步修正的机会。
五、从过程性概念到高等数学思维
对一个概念，学生一般有两种认知观，操作观(operational view)和结构观(structural view)，又称过程观(process view)和对象观(object view)。前者意味着更多算法上和程序上的视角，而后者意味着更多形式化、静态和面向对象的视角。思维灵活的学生不论从哪种视角都能适应特定的数学情境。
其实，大多数数学概念在它们的结构性定义和描述定义形成之前，早已被操作性地构思了很久。结构（对象）观较抽象，需对数学的本质抱有坚定的信念。结构观的形成是一个漫长而极其困难的过程，需经历三个阶段：内化、压缩和具体。Sfard强调在教学中要遵循两个原则：(1)不用结构术语引进新概念。(2)结构定义能不采用就不采用。学生们的原始概念比结构概念更具操作性，而且许多学生经由形式（结构）定义接触到概念时，可能形成伪结构概念。例如：若以一族有序对的方式介绍函数，中学生们倾向于将函数与代数表达式联系起来，将它们看作计算法则和静态关系。但并不是说结构定义不重要，实际上它对证明的建构是十分重要的，而且对高水平的数学课程来说，不以结构法，似乎没有足够的时间介绍那么多的概念。
那么是什么将操作观（过程观）与结构观（对象观）联系起来的呢？是数学的符号体系。开始，学生典型地是将概念看作一个过程，后来为了表示过程的产物（对象）而引进符号，最终符号具有过程和对象双重含义。如函数单调性概念的形成，从“图象的升降”到“x与y的整体变化关系”到“离散成两个点中x与y的数量比较关系”到“
与0的比较关系”到“导数”，符号表示过程和对象的复合，Gray和Tall称之为“过程性概念(procept)”。过程性概念蕴涵着丰富的数学思想，其中符号起着关键作用，符号的模糊性使得学生的思维能够在过程与对象之间灵活地转换。
不同的阶段，不同的过程性概念以不同的方式起作用，学生的思维需要不断地转变。两个整数之和是另一个整数，但作除法的过程，产生了一种全新的实体——分数；后来，从算术到代数的转变产生了一种新的过程性概念，如表达式“
”只代表潜在的估计过程；从代数到微积分的跨越又产生了一种新的过程性概念，极限号（如
）预示着潜在的无限过程。
然而在形式化层面，过程性概念扮演着次要角色。如“群”，它并不是一个过程性概念，而是由定义（包含了所有的特征）所确定的一种大结构。建构形式意义(formalmeaning)的过程是一个逻辑过程，概念是被形式化地建构的。不连续的产生很大程度上预示着：从以“计算和操作”为特征的初等数学到以“定义和证明”为特征的高等数学的转变。
从初等数学到高等数学的跨越，学生需要彻底转变思维，从关注“对象和符号”转变到关注“形式化定义的数学结构及其特征”，其中想象是非常关键的，使高等数学思维区别于初等数学思维的本质特征是“形式化定义和证明的引入”。高等数学思维是需要对数学概念进行归纳和严密推理的思维，不是通过我们的五官就能获得的，它依赖于数学思维的连续性，它似乎超越却又少不了初等数学思维的程序经验或直觉。另外，高等数学思维，至少部分地必需和数学家们的思考、实践和成果相联系。
概念定义在学生数学思维的发展以及向高等数学思维过渡的过程中扮演着十分重要的角色。我们应该重视并加强概念定义的教学，帮助学生夯实数学根基。