基于“模仿行为”策略的双寡头博弈模型分析

徐玉华^1,2，杜明娟¹，赵 玥¹，周心莲³

(1.南京审计大学金融学院，211815，南京；2.江苏省金融工程重点实验室，211815，南京；3.汉江师范学院数学与计算机学院，442000，湖北，十堰)

摘要： 目前，针对影响边际利润最大化的因素来构建寡头博弈模型的研究较少，而在现实情况下，有的厂商会通过了解博弈的历史信息来模仿他人的行为进行决策的调整。基于“模仿行为”建立了2个大小寡头厂商的动态博弈模型，分析了模型均衡解的稳定性、分岔图以及最大李雅普诺夫指数。研究结果表明：1)小厂商的“模仿行为”增强了其自身系统的稳定性，降低了对大厂商调节速度或幅度的敏感程度；2)小厂商的模仿行为也增强了大厂商稳定性；3)厂商间的竞争促进了2个厂商的良性发展；4)随着厂商调整系数的不断增大，系统经过一系列分岔最终进入混沌运动状态，导致市场失去稳定。根据分析得到的结论，提出了3点建议，从而为企业的科学决策提供了一些可供参考的理论依据。

关键词： 双寡头模型；有限理性；模仿行为；分岔；混沌

0 引言

寡头市场是一个很特殊的市场，寡头市场既有垄断因素又有竞争因素，同时，寡头之间还会因为实力、地位的不同而存在大寡头和小寡头厂商。Cournot模型和Bertrand模型是寡头博弈模型研究中最常用的2个寡头模型，Cournot模型是以产量作为决策变量，Bertrand模型是以价格为决策变量，它们都是完全信息静态博弈模型，这与现实情况往往是不相符合的^[1]。为了使更贴近现实情况以及保证研究结果更有说服力和实用性，很多学者都在原有模型基础上进行改进，进一步放松相关假定来研究寡头博弈的复杂性特征。在构建动态博弈模型时，许多学者基于“边际效用”和“边际利润”的思想构建动态博弈系统^[2-3]。如潘玉荣、贾朝勇在不同理性的双寡头博弈市场的动态演化研究中对不同理性的双寡头市场进行了定量分析，通过数值模拟的方法发现了市场混沌、分叉和奇异吸引子等复杂的动力学现象^[4]。卢亚丽则是构建了一个主从型的Bertrand价格博弈模型，通过数值仿真分析2个厂商的价格分叉图以及对应的最大李雅普诺夫指数，得出厂商需要保持较低的价格调节速度，获得纳什均衡利润方是最优结果^[5]。于维生、于羽探究了基于伯川德推测变差的有限理性动态寡头博弈的复杂性，对竞争厂商的产量行为进行推测，进而影响到自身的边际利润函数，并发现伯川德推测均衡仍然具有分岔混沌等一系列动力学行为^[6]。范明等构建了具有知识溢出效应的双寡头模型，进行混沌分析并进行控制^[7]。李佼瑞、昌建在确定策略的情况下建立了不确定策略的双寡头模型，结论表明不确定行为不具有明显的动力学行为，确定策略行为会起到稳定市场、防止恶意竞争的作用^[8]。于羽在推测变差寡头模型的基础上加入了推迟系数，研究结论表明，加入延迟系数的寡头模型的稳定域更大，系统更具有稳定性。还有部分学者基于不同理性进行了相关研究^[9]。刘峰、李亚光等研究了非线性需求下四寡头价格博弈模型及其复杂性，结论表明当厂商过快调整价格阻止新厂商进入时，易使市场发生混乱^[10]。钟美瑞等把代际公平均衡、社会偏好均衡与古诺模型相结合，解决代际价值补偿与策略性价值补偿计量的技术难题^[11]。马国顺采用了对数形式的成本函数对Cournot模型加以改进，验证了对数成本函数的厂商的利润都增加了，对现实问题吻合度更好^[12]。

上述文献对寡头模型做了许多有价值的讨论，但文献大都单的基于寡头模型中的“边际利润”或“边际效用”来定产定价，并没有考虑其他可能会影响边际利润函数和边际效用函数的可能因素。不同于以往研究，本文考虑了大小2个双寡头厂商，并引入了小厂商的“模仿行为”这一决策影响因素。寡头之间由于市场地位和实力的不同，会出现小厂商模仿大厂商的行为，进而调整自己的产量。小厂商“模仿行为”的引入会使博弈模型更接近实际，更好地分析厂商竞争时的演化行为，从而为厂商科学的决策提供一定的参考。

1 模型建立

假设某行业中有大小2个寡头厂商，大厂商相对于小厂商具有更多的信息优势，且2个厂商都能够知道对方的历史决策信息，即前一时刻的产量，因此市场是出清的。假设他们所处产品市场的需求曲线为：

p _i =a _i -b _i q _i -dq _j ，a _i >0，b _i >0，0≤d ≤1，i ≠j ，

4.若将本题中的条件变化为∠A=∠B=∠EDF=90°,把△ABC打开，AC、BC边分别表示为AC1、BC2，请画出图形，直接写出相关结论.

其中：p _i 是2个厂商的产品市场价格，q ₁,q ₂分别是大厂商和小厂商的产量，d 是2个厂商所生产产品的同质程度 。假定2个厂商采取的都是产量决策。

大厂商生产一单位的产品所要付出的资源相对于小厂商来说是更多的，因此假定大厂商的边际成本大于小厂商的边际成本。为简化计算，假设2个厂商的成本函数均为一次型：

C _i =c _i q _i ,c ₁>c ₂,i =1,2。

通过对原题干不停地进行不同的变换以后，学生会慢慢地发现，高中数学并不是“无坚不摧”的.因为再难的题干都是从简单的题干中引申出来的，只要将这些题目分解之后，就可以发现其中的解题奥秘，从而可以极大地培养学生学习数学的积极性，启发学生的思维.

2.1 患者一般情况及手术方式 两组患者一般情况及合并手术方式如表1所示。骶骨固定术组年龄、绝经概率及术前SUI概率显著低于改良全盆底重建组，差异有统计学意义，骶骨固定术组手术前3个月内有性生活概率显著高于改良全盆底重建组，骶骨固定术组中71例患者合并有阴道前及(或)后壁脱垂，改良全盆底重建组中72例合并有阴道前及(或)后壁脱垂，均给予相应的修补手术治疗。骶骨固定组中，41例SUI患者中36例接受了TVT-O手术；改良全盆底重建组中，53例SUI患者中37例接受了TVT-O手术。见表1。

π _i =(p _i -c _i )q _i ,i =1,2。

2个厂商在t 时刻的边际利润函数为：

∂π _i (q ₁,q ₂)/∂q _i =a _i -c _i -2b _i q _i (t )-dq _j (t ),i ≠j

(1)

大厂商的边际利润函数为：

∂π ₁(q ₁,q ₂)/∂q ₁=a ₁-c ₁-2b ₁q ₁(t )-dq ₂(t )。

体验性营销包括先经历过——获得娱乐的体验——表达的欲望——传递了愉悦的基本流程。其中情绪和情感是研究的重点。

由于小厂商存在模仿行为，小厂商则会根据上期与大厂商存在的“产量差”进行调整，如若q ₁(t )>q ₂(t )，在下期会相应地增加自己的产量。因此，基于模仿行为下的小厂商的边际利润函数为：

∂π ₂(q ₁,q ₂)/∂q ₂=a ₂-c ₂-2b ₂q ₂(t )-dq ₁(t )+(q ₁(t )-q ₂(t ))。

现实生活中，由于2个厂商无法掌握市场的充分信息，并且不了解对手的决策信息，只能通过各自的边际效用函数进行下期的产量决策，这也是有限理性思想中的满意化原则。在本文中引入小厂商对大厂商的模仿行为，考虑其他可能会影响边际利润函数的因素，使得模型更贴近现实。因此，小厂商基于模仿行为的2个厂商动态博弈模型如下：

(2)

式(2)中：α ₁和α ₂分别为2个厂商进行产量调节的调节速度或幅度系数；(q ₁(t )-q ₂(t )表示在第t 期厂商1和厂商2的产量差，若q ₁(t )-q ₂(t )>0，则表明在第t 期厂商1的产量大于厂商2的产量，厂商2预测在t +1产量厂商1仍会保持原有产量，于是厂商2便会模仿厂商1的行为，在t +1时刻提高自己的产量。

1)对于E ₀(0,0)均衡点，其对应的雅克比矩阵：

2 寡头模型复杂性分析

2.1 均衡点分析

λ ₂=1+α ₂(2b ₂(c ₂-a ₂)+(c ₂-a ₂)/1+2b ₂)<1。

根据式系统(2)，可以求出系统的4个均衡点分别为：

LIU Cheng-ling, LIU Xing-chen, HU Xing-ye, YANG Chao

E ₀(0,0)；

E ₁(0,(a ₂-c ₂)/1+2b ₂)；

E ₂((a ₁-c ₁)/2b ₁,0)；

显而易见E ₀,E ₁,E ₂是有界均衡点，E ₃是纳什均衡点，现在需要讨论4个均衡点的稳定情况及达到稳定状态时参数所需要满足的条件，根据式(2)得出其雅克比矩阵：

目标考核与评价是目标管理的重要一环，核心内容包括目标完成情况、数量、质量和时限等。韩建峰告诉记者，目前目标考核将过程管理和结果管理相结合，形成了日常考核和年终考核。

式(2)中，采用的仍是“有限理性”策略，在小厂商的行为决策模型中，由于信息不对称等原因，考虑了小厂商会模仿大厂商的历史信息进行决策，这也是符合现实情况。

其对应的特征根：

λ ₁=1+α ₁(a ₁-c ₁)；λ ₂=1+α ₂(a ₂-c ₂)。

2)对于均衡点其对应的雅克比矩阵：

由均衡点E ₁具有实际意义，a ₁-c ₁+2a ₁b ₂-a ₂d -2b ₂c ₁+c ₂d >0。由此得出该矩阵特征方程的根分别为：

λ ₁=1+α ₁(a ₁-c ₁+2a ₁b ₂-a ₂d -2b ₂c ₁+c ₂d /1+2b ₂)>1，

市场中2个寡头厂商经过多次的策略博弈，不断地调整自己的策略最终会达到一种均衡，在这种均衡下，只要竞争对手不改变自己的策略，其中另一个寡头厂商也不会改变自己的策略选择，即满足：

有目标才能有的放矢，目标管理工作首先要制定明确的工程目标，通常情况需要从以下几方面推进：第一，管理人员要对施工企业的内部情况进行了解，充分掌握内部人物信息和工程数据后对工程项目本身进行研究，据此做出科学合理的目标定位。第二，先制定工程总目标，然后基于时间制定年度、季度、月度、旬、周等目标，基于空间制定各工种分目标，基于专业制定质量、进度、安全、成本等目标。

由此可得出大厂商和小厂商的利润函数为：

p (λ )=λ ²-Tλ +D =0

3)对均衡点其对应的雅克比矩阵：

若使式(1)满足经济意义，则参数必须满足，a ₁>c ₁,a ₂>c ₂，因此方程的2个特征根均大于1，可知，均衡点E ₀是不稳定的。

由此可得出其特征方程的根分别为：

λ ₁=1+α ₁(c ₁-a ₁)<1;λ ₂=1+α ₂(a ₁-c ₁+2a ₂b ₁-a ₁d -2b ₁c ₂+c ₁d )/2b ₁>1。

因此，均衡点E ₂也是不稳定的。

4)对于均衡点：

其对应的雅克比矩阵为：

该矩阵的特征方程为：

因此，均衡点E ₁是不稳定的。

其中：

根据Jury条件，若使均衡点E ₃是稳定的，则需满足如下条件：

(3)

在除了对α ₁,α ₂之外的参数赋值后，满足上式Jury条件的值即为纳什均衡点E ₃。关于α ₁,α ₂的稳定域，若α ₁,α ₂的值在稳定域内，则表示经过一系列博弈之后，q ₁(t ),q ₂(t )最终趋于稳定点E ₃，反之不在稳定域内，系统则最终会失去稳定进入混沌状态。

经计算式(3)中前2个条件都是成立，因此，式(3)成立则要求参数满足如下条件：

由上，可以得到结论1。

结论1：E ₀,E ₁,E ₂是有界不稳定均衡点；当满足如上条件(3)时，该均衡点E ₃是局部稳定的。当α ₁,α ₂位于稳定域内时，系统(2)是稳定的，当α ₁,α ₂不在稳定域内时，系统(2)会出现一系列复杂的动力学行为，甚至进入混沌状态。

在MIMO GBSB模型中,由于列车移动,AOA的分布随时间变化,信道将具有非稳态特性.假设信号从p天线发射,由q天线接收,发射信号功率为Ωpq.复信道增益hpq(t)可以表示为散射部分和直视部分的叠加:

网络流行语的产生总是与社会、观念、文化、习俗等变迁密切相关。它们不仅仅是作为新的语言载体、新的交际工具出现在我们的生活中，而且真实地反映了社会生活，记录了社会的每一个进程。我们使用着语言，又生活在语言中。我们影响了语言，同时也受到语言的影响。

2.2 数值模拟分析

在本节中，通过对动态博弈系统中的参数赋值，以此来更直观地观察系统的演化过程。在引入小厂商的模仿行为后，小厂商在有限理性的基础上进行下一阶段的产量决策，小厂商的模仿行为是否加强了自身系统的稳定性呢？大厂商又是否受到小厂商模仿行为的影响呢？下面通过对参数赋值，进行数值模拟来观察大小厂商的一系列分岔混沌等动力学行为。参数赋值如下：a ₁=6;a ₂=4;b ₁=b ₂=0.8;c ₁=0.5;c ₂=0.4;d =1，初始值q ₁(t )=1,q ₂(t )=1。

首先分析小厂商的动力学行为，通过对大厂商不同调节速度的赋值，来观察小厂商的稳定性情况，当大厂商的调节速度α ₂=0.2时，系统的稳定性和厂商调节速度之间的关系，如图1所示。

近年来，在病虫害防治措施方面，我国积极倡导了很多新的防治技术，如生物防治与物理防治技术。生物防治方式主要是通过对动植物的天敌加以充分的利用，来实现病虫害防治。物理防治方法主要是利用害虫的趋光性等，通过颜色、灯光等方式对害虫进行诱杀，具有良好的发展前景。

在“方向与位置”单元，描述如图14的4路公交车路线时，会将“4路公交车从光明路向东行驶2站到商场”错数成“行驶3站到商场”。

当大厂商的调整系数α ₁=0.2时，系统(2)的分岔图和最大Lyapunov 指数如图1，可以看到α ₂=0.556 5时系统发生第1次倍周期分岔，当α ₂=0.679 2时，系统发生第2次倍周期分岔，当α ₂>0.700 5时，系统开始进入混沌状态。与之对应的是下方最大Lyapunov 指数图。Lyapunov >0，意味着系统进入无序状态。因此，可得到结论2。

图1α =0.2

结论2：随着厂商调整速度的不断增大，系统会出现一系列动力学行为，出现分叉并最终进入无序的混沌状态。因而，厂商的调整幅度或速度过快时，容易引发整个系统的不稳定性，进而可能使整个行业陷入混乱的危机之中，不利于整个行业的健康发展。

图2 α₁=0.3

当厂商1的调整系数α ₁=0.3时，根据图(2)的产量分岔图和最大Lyapunov 指数，并与图(1)进行对比，发现小厂商的稳定性几乎是和大厂商保持一致的，并没有受到大厂商调节速度或幅度的影响。认为小厂商的模仿行为实际是根据环境结构的变化或大厂商之间的产量差进行自我调节的一个过程。这也体现出小厂商在与大厂商竞争的过程中，不断进行产量的调整，在调整的过程中，小厂商势必要根据发挥自身优势并改变相应发展战略，由此可见，模仿行为增强了小厂商自身的稳定性，促进了其良性的发展。因此，有如下结论。

1978年,我国实行改革开放政策。党的十一届三中全会决定“把党的工作重心转移到社会主义现代化建设上来”，自此我国体育开始了强国之路。在发展竞技体育的同时，群众体育也发生翻天覆地的变化，无论是群众体育发展的模式、思路、观念都发生了很大的变化。得益于社会大环境的改变和政府的协助，我国群众体育无论是在横向或纵向都有了突破性的进展，而国内学者对于群众体育的横向研究较多，对于群众体育的纵向研究相对较少，在此借改革开放40周年之际，对我国群众体育发展进行纵向研究并展望。

结论3：当加入小厂商的模仿行为后，小厂商的稳定性几乎是和大厂商保持同步的，且小厂商的稳定性并没有受到大厂商调节速度的影响。可以得出厂商之间的竞争在一定程度上有利于企业的发展，合理的竞争关系会使整个行业处于有活力的状态，促进整个行业的不断更新与迭代。

那么对于大厂商呢？大厂商是否会因为小厂商的模仿行为而加剧自身系统的不稳定性呢？下面给定小厂商的调节速度α ₂=0.2，分别给出存在模仿行为和不存在模仿行为时大厂商的产量分岔图和最大Lyapunov 指数图，更加直观地观察模仿行为对大厂商稳定性的影响。图3是不存在模仿行为时大厂商的产量分岔图。

基于“成分-靶点-通路”网络模式探讨淫羊藿治疗骨性关节炎的分子机制 ………………………………… 骆 帝等（15）：2073

图3α ₂=0.2

当给定小厂商的调整系数α ₂=0.2时，根据大厂商的产量分岔图和最大Lyapunov 指数，在调整系数α ₁=0.369 2时，系统发生第1次倍周期分岔，在α ₁=0.471 8系统发生第2次倍周期分岔，当α ₁>0.494 0时，系统进入混沌状态，与之对应的是Lyapunov >0。这表明当厂商2的调整速度或幅度逐渐增大时，系统最终进入无序的混乱状态。

图4 α₂=0.2

当存在模仿行为时，大厂商的产量分岔图和最大Lyapunov 指数如图4所示：在α ₁=0.485 0时，系统发生第1次倍周期分岔，在α ₁=0.590 5时，系统发生第2次倍周期分岔，当α ₁>0.619 5时，系统开始进入混乱状态。与不存在模仿行为时相比，大厂商的系统稳定性反而增强了，随着大厂商调节速度的增加，系统最终仍会进入混沌无序的状态，但明显推迟了进入混沌状态的时间点。认为小厂商的模仿行为使得整个动态博弈更快地趋向于平衡，从而增强了系统的稳定性。由此得出结论4。

结论4：当小厂商存在模仿行为时，反而推迟了大厂商出现分岔混沌等不稳定的动力学行为时间点。小厂商的主动竞争促使大厂商也会自行调整其决策行为，最终实现了整个行业的良性竞争，有利于整个行业的创新和持续发展。

3 结束语

本文基于小厂商的模仿行为构建了大小2个寡头厂商的动态博弈模型，并分析小厂商的模仿行为对双寡头产量决策博弈模型演化行为的影响，理论和数值仿真研究表明：1)系统均值的稳定性直接影响了博弈模型的动力学演化行为；2)引入小厂商“模仿行为”的博弈模型更符合实际问题，竞争更能促进厂商的健康发展；3)小厂商的模仿行为增强了其系统的稳定性，减少了大厂商调节速度或幅度对自身稳定性的冲击；4)对大厂商而言，小厂商的模仿行为反而有利于其稳定性，这表明竞争能促进了大小厂商的良性发展。

为了做好厂商的风险防范，本文提出3点建议：1)厂商可以在纳什均衡点的稳定域内调整速度，做出合理的产量决策，避免厂商的价格演化出现失稳、分叉、甚至混沌状态；2)合理的竞争有利于厂商的发展，企业在发展的过程中，要不断根据自身特点与时俱进，不断调整自身的发展战略；3)适当的对产量进行调控，能够有效防止厂商进入无序的混乱状态。总之，管理者应根据自己的实际情况制定适合自己的产量策略，保证企业目标的顺利实现。

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Analysis of Duopoly Game Model Based on the "Imitation Behavior "Strategy

XU Yuhua^1,2, DU Mingjuan¹, ZHAO Yue¹, ZHOU Xinlian³

( 1. School of Finance, Nanjing Audit University, 211815, Nanjing, PRC;2.Jiangsu Key Laboratory of Financial Engineering, 211815, Nanjing, PRC;3. College of Mathematics and Computer Science, Hanjiang Normal University, 442000, Shiyan, Hubei, PRC )

Abstract ：At present, there are few studies on the construction of oligarch game model aiming at the factors affecting the maximization of marginal profits. However, in reality, some firms will adjust their decision-making by understanding the historical information of the game and imitating the behavior of others. Based on "imitation behavior", this paper establishes two dynamic game models of oligopoly firms, and analyses the stability of equilibrium solution, bifurcation diagram and maximum Lyapunov index. The results show that: 1) the imitation behavior of small firms enhances the stability of their own systems and reduces the sensitivity of large firms to the speed or extent of regulation; 2) the imitation behavior of small firms enhances the stability of large firms; 3) The competition between firms promotes the healthy development of two firms; 4) with the increasing adjustment coefficient of firms, the system passes through a series bifurcations and enter the chaotic state eventually, resulting in market instability. According to the conclusions of the analysis, some corresponding strategies are proposed, which provide some theoretical basis for scientific decision-making of enterprises.

Key words ：duopoly model; imitation behavior; bounded rationality; bifurcation; chaos

收稿日期： 2019-09-06; 修订日期：2019-10-10

作者简介： 徐玉华(1975-)，男，博士，教授，硕士生导师，主要从事金融数学研究。

基金项目： 国家自然科学基金面上项目(61673221)；江苏省“六大人才高峰”高层次人才项目(DZXX-019)；江苏省“青蓝工程”中青年学术带头人项目；江苏高校优势学科建设工程三期项目南京审计大学应用经济学(苏政办发[2018]87号)；湖北省教育厅科研项目(B2018216)。

doi :10.13990/j.issn1001-3679.2019.05.014

中图分类号： F224.32

文献标识码： A

文章编号： 1001-3679(2019)05-727-06

标签：双寡头模型论文;  有限理性论文;  模仿行为论文;  分岔论文;  混沌论文;  南京审计大学金融学院论文;  江苏省金融工程重点实验室论文;  汉江师范学院数学与计算机学院论文;