卢忠良 四川省盐边县中学校 四川 攀枝花 617100
中图分类号：G652.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2019）11-158-02
二次曲线在高考中是一个必考的知识点，主要考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义标准方程、几何性质及于直线的位置关系和求轨迹方程等，涉及的数学思想方法主要有：数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类讨论思想以及配方、换元、待定系数法等数学方法，有关弦的问题是二次曲线中最常见的情景，也是高考命题常用素材和热点问题。本文就直线与二次曲线相交所得弦中点问题分为以下三种类型：
（1）求中点弦所在直线方程问题；
（2）求弦中点的轨迹方程问题；
（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题
例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为, 代入椭圆方程并整理得：
又设直线与椭圆的交点为,,则是方程的两个根，于是
又M为AB的中点，所以，解得，
故所求直线方程为.
解法二：设直线与椭圆的交点为,,为AB的中点，
所以，，
又A、B两点在椭圆上，则，
两式相减得，
所以，即，
故所求直线方程为.
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，由于中点为，
则另一个交点为
因为A、B两点在椭圆上，所以有
两式相减得
由于过A、B的直线只有一条, 故所求直线方程为.
二、求弦中点的轨迹方程问题
例2、过椭圆上一点作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。
解法一：设弦PQ中点，弦端点，，
则有，
两式相减得，
又因为，，所以 ，
所以，
而，故
化简可得 （）.
解法二：设弦中点，，
由，可得，，
又因为Q在椭圆上，所以，
即，
所以PQ中点M的轨迹方程为 （）.
三、弦中点的坐标问题
例3、求直线被抛物线截得线段的中点坐标。
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解：解法一：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，
消去y得，即，
所以，，即中点坐标为.
法二：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，两式相减得，
所以，
所以，即，，即中点坐标为.
上面我们给出了解决直线与二次曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论
引理 设A、B是二次曲线C：上的两点,
为弦AB的中点，则
设，则（1）
……（2）
得
∴
∴
∵∴∴
即
（说明：当时，上面的结论就是过二次曲线C上的点的切线斜率公式，即）
推论1 设圆的弦AB的中点为 （），则（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）
推论2 设椭圆的弦AB的中点为,则（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）
推论3 设双曲线的弦AB的中点为 则
（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率）
推论4 设抛物线的弦AB的中点为,则.（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为）
我们可以直接应用上2面这些结论解决有关问题，下面举例说明。
例1、求椭圆斜率为3的弦的中点轨迹方程。
解：设是所求轨迹上的任一点，则有，故所示的轨迹方程为16x+75y=0
例2、已知椭圆A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于，求证：
证明：设AB的中点为，由题设可知AB与x轴不垂直，∴，
∴ ∵l⊥AB ∴
∴l的方程为： 令 得
∴∵∴
∴
例3、已知抛物线C： ，直线要使抛物线C上存在关于l对称的两点，k的取值范围是什么？
解：设C上两点A、B两点关于l对称，AB的中点为
∴∴
∵P∈l∴
∴∴∴
∵P在抛物线内 ，∴∴
∴ ∴
解析几何题的最大特点是运算量大，具有入口宽、方法灵活多样的特点。用不同的解题途径其运算量就有繁简之分，繁琐的运算就会出错或潜在失分。所以解题时要有大量的思想准备及运算方法的储备。高考复习时不仅让学生进行有效的练习，提高运算能力，还要注意积累运算技巧，总结解题经验，提高学生运算速度和准确度，从而提高学生的解题能力。
作者简介：
卢忠良 男 1982年生 中学一级教师，四川省攀枝花市高中数学名师工作室成员
论文作者:卢忠良
论文发表刊物:《中小学教育》2019年11月3期
论文发表时间:2019/12/12
标签：中点论文; 方程论文; 直线论文; 椭圆论文; 抛物线论文; 解法论文; 斜率论文; 《中小学教育》2019年11月3期论文;