运算能力的培养在争辩与迁移中生长
——以“带有小括号的三步混合运算”教学为例
张 靖
摘 要： 运算能力是数学的核心概念之一，对于小学阶段的学习，运算能力的培养至关重要，直接影响学生的数学学习能力，小学阶段的计算课显得尤为重要。从教材的编排来看，计算类型的课呈块状有层次地出现并符合学生的年龄特点。对于教师来说，计算课不是枯燥无味地教计算，而是悟算理和教算法有机结合，为了使计算课更有数学味，本文提出以下三点建议：一、有层次呈现错误资源，使学生从错误中总结运算规律；二、对于新题型给学生思考的空间，让学生在争辩中总结新的运算技巧；三、通过知识的迁移，观察新旧知识之间的联系，找到共同点，进而总结算法，掌握算理。
关键词： 运算能力；错误资源；争辩；迁移
“错误资源”显真知，学生评价察算理
爱，是我们教师心中永恒的主题，师爱无异于母爱，爱是世界上最动人的语言，教师对学生的爱，是一种把全部心灵和才智献给孩子的爱，这种爱是深沉的，它蕴涵在我们为学生所做的一切事情中，使学生无时无刻都感受到这种爱的真诚。要让他知道你对他的关注，要让他知道你对他的关怀，是发自内心的。学生们就能感受到老师的爱，学习才会有动力，才会在生活中，在学习上一步一个脚印地坚实地前进。
《含有小括号的三步混合运算》是在已经教学了《不含小括号的三步混合运算》的基础上进行学习的，学生已经有了一定的计算基础，对于运算顺序的掌握也相当到位，但是对于括号的处理却仍处于未知或疑惑状态。对此，教师通过展示不同的作业资源并交由学生评价，是引导学生判断括号在混合运算中的使用方法以及括号对于运算顺序的影响，学生通过对不同资源的处理有效解决对含有括号的三步混合运算的疑惑。
[教学片断1]
计算300-(120+25×4)，明确运算顺序
(1)师：那我们先来试一试，先想一想运算顺序再下笔。
模拟国际象棋和执行统计赢率的流程图如图5所示。A点的最终总比赛达到6场比赛，胜利4胜，胜率为66.6%。
预设呈现一：
练习三：先想一想运算顺序，再计算。
返回的路上，经过一条很深的过山渠，猪牯见鬼一样跑到渠边，前腿梭地往下滑，我父亲眼疾手快拽住猪尾巴，再慢慢去够它的后腿，结果是猪一蹬上来了，我父亲却失去重心掉了下去。摔得很惨，抢救一天一夜，命总算保住了，可人全身瘫痪，话也说不清楚。当初抢救时，迷迷糊糊的，他倒是说过几段经典的胡话，一是说猪牯够浪漫想采花呢，二是说新厕够气派那么多蹲位象征生源充足呀，三是问那个东家会叫县中老师重新写过春联吗，还叮嘱我，讲义夹里记下的人家将来记得要一一拜访。这句不算胡话，应是遗嘱，管了猪生仔还不够呀，还要管它们瓜瓞绵绵吗？
使用云天化镁立硼复合肥+四全水溶复合肥的示范田与对照田比较，前期长势明显，中期病虫害少、落果少，后期肥劲长、不脱肥、着色好。云天化示范田与其它品牌对照田相比，同等的气候条件下，示范田樱桃亩增产28.5kg，增产率达8%。这表明，使用云天化系列化肥可以显著提高该地区樱桃的产量。
2018年，进入全球汽车零部件供应商100强的中国零部件企业已有6家，创历史新高，进入500强的企业就更多了。进入百强的6家中国企业分别是延锋（排名第16）、海纳川（排名第65）、中信戴卡（排名第71）、德昌电机（排名第79）、五菱工业（排名第80）和敏实集团（排名第92）。
师：一起来看一看，2种做法得数不同，哪一种是正确的。
生：第一种正确。
师：谁来说说他是怎么算的？
生：先算乘法、再算加法、最后算减法。
师：那第二种做法你同意吗？问题出在哪了？
生：第二份是先算乘，再算减，最后算加。
师：是啊，运算顺序发生了错误，所以得数也错了。(在学生作业纸上打叉)
预设呈现二：
①正确的 ②丢括号的
师：这份作业确实是先算小括号里的乘，再算加，最后算减，他这样写大家同意吗？
生：不同意，因为括号丢了，应该先算乘再算减最后算加。
和林全的接触多了，便感觉他身上充满暖暖的力量，他见识广博，头脑灵活，吃饭的时候会讲许多笑话给我和黄玲听，工作的压力就在笑声中慢慢化解掉。
师：是啊，括号里没有算完，小括号要保留不能丢。
预设呈现三：
①正确的 ②跳步骤计算的
本文综合考虑了运输成本、运输时间及服务水平，研究了基于成本价值的深圳港水上“巴士”经济性问题，并分析了运输需求量及运价对路径经济性的影响，结果表明：1) 当集装箱量较小时，集装箱拖车因其灵活性而更占优势，随着集装箱量的增加，驳船的规模运输带来的优势更加明显；2) 运价对水上“巴士”经济性的影响作用显著，随着运价的增加其经济性减弱.结合实际及研究结果提出的适当降低中转节点服务价格、推行单航线多支线港运营等对策可以有效降低客户与航运公司双方成本，提高驳船满载率，提高港口竞争力.本文研究不仅可为货主选择路径提供依据，为深圳港相关部门管理与决策提供方向，也可为路径选择的理论研究提供思路.
①正确的 ②错误的
师：诶，这份作业你看得懂吗，谁来说说？
生：他跳步骤了，括号里两步一起算了。
2.2.6 专属性考察 分别取上述混合对照品溶液、供试品溶液和阴性对照溶液各1 μL，按“2.2.1”项下色谱条件进样测定，记录色谱图，详见图1。由图1可知，各色谱峰分离良好，且阴性对照溶液在龙脑对照品出峰相应位置未见色谱峰出现，对测定无干扰。
师：的确是这样的，那你觉得跳步骤好不好呢？
学生争辩。
师：为了提高正确率，建议大家还是按照运算顺序一步一步进行计算。
师：老师还发现这道题有2种做法，得数都是185，你有什么想说的？
[教学片断2]
计算四道题，看谁做得又快又好。
25×(22+576÷32)6×58-(74+89)540÷(30×15÷50)120×(10-10÷5)作业交流
余热源为沼气发电机排放的尾气及缸套热水。共4台沼气发电机组。单台数据如下。尾气参数：排气温度435℃，排气流量10 278 m3/h。缸套水参数：出水温度106～108℃，回水温度75℃；额定流量10 t/h。
层次一：(先呈现全对)
优化指导物理教学目标，是借助组织小组、科学指导和合理分配任务及其大纲和主线的体现，实现学生对物理基础知识的理解和掌握.有效指导的实现，需要教师在小组合作活动前，做好相关合作步骤的全局建设，而后循序渐进的开展物理学习有序环境.强化学习中的督促和检查工作，实现互帮互助，严格指导的氛围.为确保学生合作学习的开展，需要在有效的互助中，综合实现合作学习全局建设.
师：刚刚大家都说小括号不要丢，第一题括号没丢，第三题没丢，第四题没丢。咦？第2题的小括号怎么丢了呢？(红笔描出括号)
生：因为第1、3、4道的小括号里是两步计算，第2题小括号里只有一步计算。
师：那就奇怪了，小括号什么时候可以保留，什么时候可以去掉？
生：小括号里算完了括号可以去掉，没算完括号要保留。
层次二：
师：最后一题还有个同学是这样做的。错在哪？
生：运算顺序不对，应该先算除法，再算减法。
师：(对比第一题)为什么这里他还知道先算加再算除，到了这儿这么忘了呢？
在前期研究基础上[21-23]，本研究以天然菱镁矿为原料制备重镁水溶液，并以此为前驱溶液，利用热分解法制备晶须，主要考察热分解时间、重镁水溶液浓度和搅拌速率对晶体组成和形貌的影响，并分析了结晶动力学过程。
生：数字比较简单。
师：是啊，10-10=0太简单了，他被数字迷惑了，可见我们不能被数字干扰，想清楚运算顺序再下笔。
层次三：
上述环节，用了四份作业，三次对比，使学生内化算法，掌握算理。三个层次的对比都有其存在的道理，第一次对比，使学生感受到运算顺序对混合运算的影响，如果运算顺序发生了错误，那么得数也就错了；第二次对比，使学生意识到小括号的作用，如果括号里没有算完，小括号不能丢，否则会改变运算顺序；第三次对比，通过争辩得出两种方法都可以，为了提高正确率，也为了刚开始保持良好的计算习惯，建议学生按照运算顺序一步一步往下算。通过三个层次的交流，让学生的计算学习更加靠近教学目标的定位，从常见的错误中感悟运算顺序和小括号对混合运算的重要性。这样的学习过程，才是计算知识的生长过程，更符合小学阶段学生的认知需要。
学生争辩。
(2)交流：
师小结：因为乘法是高级运算，加法加上括号就升级了，中间却是低级运算，所以两边同时先算，这不违反运算顺序，也是可以的，所以这两份作业都是正确的。
上述环节，用了三份作业，通过三个层次的交流，帮助学生解决了含有小括号的三步混合运算中的一些易错点。层次一：教师通过四道题的对比，帮助孩子解决括号什么时候去掉，什么时候保留的问题，孩子通过例题的对比发现，括号里算完了括号就可以去掉，学生通过探究发现规定背后的道理，这比教师直接告知来得更加有效；层次二：教师通过一道错题引发孩子们的思考，为什么在熟记了运算顺序的情况下仍然会算错？学生通过不同题目的对比发现，当数字比较简单的情况下，会被简单的数字干扰导致算错，通过错题提醒学生计算前还是要细致观察运算顺序，这比教师耳提面命地提醒学生细心计算来得更为直观有效；层次三：教师通过两种不同的做法引起学生争论，在我们计算时能否有不同的计算思路？通过生生交流与争论，得出两种做法都可以的结论，学生的观点被赞同比教师强行灌输来得更有说服力。
可以说，在这样的三个层析交流后，学生在计算时已经能总结出一些“注意点”，比如：计算时要按照运算顺序来算；不要被简单数字迷惑；小括号里没算完要保留，算完后就去掉。这些计算过程中的规律不是教师直接抛给学生的，而是通过一次次交流探究，学生自己发现的规律，所以在应用这些计算规则时，学生也会特别留意使用方式，最终内化成自己的知识。
[教学片断3]
师：数学与生活息息相关，所以我们还要用刚才学到的知识去解决实际问题。四年级有9个班，平均每班提供12份商品；六年级比四年级多提供了48份商品，六年级有12个班。六年级平均每班提供多少份商品呢？
师：列综合算式的时候出现了两种情况，哪个算式列对呢？
生：第一种。
师：为什么要加上括号呢？
生：不加括号运算顺序就不对了。
师：是呀，按照分步算式的数量关系先算乘再算加最后算除。为了让加比除先算可以怎么办？
从改革开放以来中国社会发展与进步的历程来看，城乡基层治理一直是中国社会治理改革的实验基地，因此任何对中国治理体系的研究都绕不开对农村和城市基层治理的关注，从政治学视角研读新汉学，更是绕不开基层治理这样一个突破口。
生：可以加上小括号。
师：看来小括号的作用可真大啊，我们要合理用好他。我们一起来答一答。
上述环节在解决实际问题时，学生无非从两点入手考虑：①从问题入手：要求六年级平均每班提供多少份商品，只要用六年级一共的商品数量除以六年级的班级数就等于六年级平均每班提供的商品数量，所以最后一步是除法，所以应该把除法放在括号外面使乘法和加法比除法先算；②从条件入手：先用四年级的班级数乘四年级平均每班提供的商品数算出四年级一共的商品数，再用四年级一共的商品数加上六年级比四年级多的商品数算出六年级一共的商品数，最后用六年级一共的商品数量除以六年级的班级数算出六年级平均每班提供的商品数，所以根据数量关系应该先算乘再算加最后算除，加上括号使乘和加先算，除最后算。
新课程强调数学教学要和实际生活相结合，从学生已有的生活经验出发，创设有意义的数学问题。列综合算式解决实际问题是本节课的隐性教学目标，任何的数学学习都是为解决实际问题服务的，所以在解决实际问题时，我们要带着这节课的思考，去探索如何用对方法，用好技巧，使解决实际问题来得更加简单有效。
参考文献：
[1]中华人民共和国.义务教育数学课程标准(2011版)[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
作者简介：
张靖，江苏省常州市，常州市博爱小学。
它虽然很像北方人爱吃的毛鸡蛋，但吃法上其实更有趣。将即将孵化的鸭蛋煮熟，在蛋壳微微裂开时，先吸一口肉汤，然后用力一嗦，蛋壳里的蛋黄和小小鸭便被吸入口中。