基于ELECTRE的犹豫二元语义多属性群决策方法

刘 蕊¹，王秋萍¹，肖燕婷¹，闫海霞²

(1.西安理工大学理学院，陕西西安710054；2. 西安理工大学高科学院，陕西西安710109)

摘要： 针对属性权重完全未知，属性值为犹豫二元语义信息的多属性群决策问题，提出了一种基于ELECTRE的犹豫二元语义多属性群决策方法。定义了犹豫二元语义元比较的可能度公式，引入了犹豫二元语义元的距离测度。利用犹豫二元语义可能度公式确定和谐集、不和谐集与无差异集，分别根据可能度和距离测度确定和谐指数及不和谐指数，并构建相应的矩阵，通过和谐矩阵与不和谐矩阵余矩阵的Hadamard乘积确定综合优势矩阵，进而确定净优势值并实现方案间的排序。最后通过算例说明所提方法的可行性和有效性。

关键词： 犹豫二元语义信息；可能度公式；距离测度；ELECTRE法；多属性群决策

在现实决策过程中，由于客观事物的复杂性，决策信息有时以“好”、“坏”、“一般”这样的语言术语来表达，但在以往处理语言评价信息的过程中，往往存在着信息损失和集结结果不精确的问题。为此，Herrera和Martínez^[1]于2000年提出用由一个语言术语和[-0.5, 0.5)中的一个数值组成的2元组，即二元语义模型来处理语言信息，避免了语言评价信息集成和运算过程中出现的信息损失和扭曲的问题^[2]。2016年，Beg和Rashid^[3]进一步提出了犹豫二元语义信息模型的概念。该模型考虑到了决策者在[-0.5, 0.5)中的多个数值之间犹豫的情况，因此比二元语义模型更适合处理模糊性和不确定性。本文将研究属性值为犹豫二元语义信息的多属性群决策问题。

已有的大多数决策方法都是建立在承认属性间的完全可补偿性的假设之上的。也就是说，方案A _i 在某个属性j ₁上比A _k 差，而且无论差多少，都可以通过其他属性j (j ≠j ₁)上的A _i ≻_j A _k 进行补偿，使方案对的总体比较结果为A _i ≻A _k ^[4]。在实际决策过程中，这种处理方法有时是不合理的。比如，过期的食品即使很便宜人们也不会购买，即食品的价格属性不能完全补偿质量属性。因此，在决策过程中考虑属性间的部分可补偿性是非常有必要的。ELECTRE(法文Elimination et Choice Translating Reality的缩写)方法是一种基于级别高于关系^[5-6]的多属性决策方法，它通过不和谐性检验反映决策人关于属性间的部分可补偿性。此外，该方法具有算理简明、过程清晰、对决策矩阵信息利用相对充分等特点^[7]，众多学者对它进行了改进与应用^[8-12]。文献[8]提出了犹豫模糊和谐集与不和谐集的概念，构造了强、弱级别高于关系，从而确定了方案间的排序。文献[9]提出了在区间二元语义环境下的ELECTRE和ANP的混合方法，其中，利用基于似然的偏好度定义和谐集、不和谐集和无差异集。文献[10]采用一种改进的ELECTRE方法^[11]确定方案排序，以帮助消费者决定购买哪种农产品。针对决策信息为区间犹豫模糊集的决策问题，文献[12]提出了一种基于级别高于关系的决策新方法。

文献[12]将ELECTRE方法拓展到区间犹豫模糊决策环境中，受此启发，本文将ELECTRE方法拓展到犹豫二元语义决策环境中，提出了一种基于ELECTRE方法的犹豫二元语义多属性群决策方法。该方法基于犹豫二元语义可能度比较公式定义了犹豫二元语义和谐指数，结合文献[10-12]中的ELECTRE方法改进思想确定综合优势矩阵，并凭借净优势值对方案进行排序。最后，通过实例分析及与已有文献方法的比较分析说明所提方法的可行性和有效性。

1 基础知识

二元语义是基于符号转移值的概念提出来的，通常用二元组(s _i ,α )来表示语言评价信息，s _i 是语言术语集S ={s ₀,s ₁, …, s _g }中的元素，α 为符号转换值并且α ∈[-0.5, 0.5)。

定义1 ^[1] 设S ={s ₀,s ₁, …, s _g }为一个语言术语集，β ∈[0,g ]是语言术语经集结运算得到的实数，则与β 对应的二元语义可通过函数Δ得到：

护理结束后，观察组患者护理满意度为100%，对照组护理满意度为60.71%，两组数据差异明显，差异有统计学意义（x2=4.012，P＜0.05）。见表2。

Δ: [0, g ]→S ×[-0.5, 0.5)

(1)

式中，round(·)表示通常的四舍五入取整运算。

定义2 ^[1]设S ={s ₀,s ₁, …, s _g }为一个语言术语集，若(s _i ,α )表示二元语义，则存在逆函数Δ^-1将二元语义转换成相应的数值β ∈[0,g ]，即：

Δ^-1:S ×[-0.5, 0.5)→[0, g ]

Δ^-1(s _i ,α )=i +α =β

(2)

为了定义犹豫二元语义元的可能度比较公式，本文首先给出两个二元语义间的二元关系。

定义3 设S = {s ₀,s ₁, …, s _g }为一个语言术语集，(s _i ,α _i )和(s _j ,α _j )为任意的两个二元语义，二元关系p 定义为：

(3)

2 犹豫二元语义术语集

定义4 ^[3]设X 为一论域，S ={s ₀,s ₁, …, s _g }为一个语言术语集，X 上的一个犹豫语言术语集A 可以表示为

A = {(x ,h (x ))|x ∈X }

(4)

式中，h (x )= (s _i ,α _ij )，x ∈X 。

犹豫二元语义表达模型利用一个二元组(s _i ,α _ij )表达犹豫语言信息，其中，s _i 为S 上的一个语言术语，α _ij 是[-0.5, 0.5)的一个有限子集，表示s _i 可能的符号转移值。

称h (x )=(s _i ,α _ij )为一个犹豫二元语义元，表示为h =(s _i ,α _ij )={(s _i ,a _k )|k =1,2,…,l (h )}，h 的上界为h ⁺= max{a _k |(s _i ,a _k )∈h }，下界为h ^-= min{a _k |(s _i ,a _k )∈h }。

基于犹豫模糊语言可能度比较公式^[13]的定义思想，本文将给出两个犹豫二元语义元大小的可能度比较公式。

定义5 设h ₁=(s _i ,α _ij )={(s _i ,a _k )|k =1,2,…,l (h ₁)}与h ₂=(s _l ,α _lm )={(s _l ,b _n )|n =1,2,…,l (h ₂)}是任意的两个犹豫二元语义元，则h ₁≥h ₂的可能度比较公式为：

P (h ₁≥h ₂)=

Step 4 ：根据式(16)～(18)确定和谐集、不和谐集和无差异集。

(5)

式中，(s _i ,a _k )∈h ₁，(s _l ,b _n )∈h ₂，h ₁∩h ₂={(s _i ,a _k )|(s _i ,a _k )∈h ₁且(s _i ,a _k )∈h ₂}。

犹豫二元语义元的可能度比较公式具有如下性质。

1) 规范性：0≤P (h ₁≥h ₂)≤1。

2) 直观性：若则P (h ₁≥h ₂)=1；若则P (h ₁≥h ₂)=0。

3) 互补性：P (h ₁≥h ₂)+P (h ₂≥h ₁)=1。

4) 自反性：若h ₁=h ₂，则P (h ₁≥h ₂)=

4）满足《水文巡测规范》（SL195-2015）4.2.4条 a要求，水位流量关系经单值化处理后水位流量关系线呈单一线，流量定线达到本标准规定的允许误差，故该站流量可实行巡测。

P (h ₂≥h ₁)=0.5。

5) 传递性：若P (h ₁≥h ₂)≥0.5，P (h ₂≥h ₃)≥0.5，则P (h ₁≥h ₃)≥0.5。

证明 易知定义5满足性质1)和5)，下面就性质2)～4)给出相应的证明。

2) 若则：

深化人事制度改革 为加快水利改革发展提供组织和人才保证——访水利部人事司司长侯京民 ……………………… （24.35）

第二天，我把自己“武装”了一下：头上戴了一顶草帽，手上戴了一副破手套。我还准备了新的武器：一把镰刀，战场当然还是树林，对手也依然是马蜂。这次我是胜利者。当我用镰刀割下那马蜂窝后，转身拔腿就逃，跑出不多几步，就听见一片嗡嗡声在头顶响起，草帽上停落了好几只马蜂，但是它们对我的防御系统无可奈何……

(6)

若则：

(7)

3)P (h ₁≥h ₂)+P (h ₂≥h ₁)

(8)

4) 若h ₁=h ₂，则P (h ₁≥h ₂)=P (h ₂≥h ₁)。又P (h ₁≥h ₂)+P (h ₂≥h ₁)=1，则P (h ₁≥h ₂)=P (h ₂≥h ₁)=0.5。

例1 设h ₁=(s ₅, (0.2, 0.3))与h ₂=(s ₅, (-0.1, 0.1, 0.2))是两个犹豫二元语义元，则=0.9167，即h ₁≥h ₂的可能度为0.916 7。

中医心理疗法对重症神经系统疾病患者负面情绪及治疗依从性的影响………………… 杨志刚 潘春联 郑丽芳 等（4）484

定义6 ^[3]设(s _i ,α _ij )与(s _l ,α _lm )是两个任意的犹豫二元语义元，且α _ij ={a _k |k =1, 2, …, l (α _ij )}，α _lm ={b _n |n =1, 2, …, l (α _lm )}，则(s _i ,α _ij )和(s _l ,α _lm )之间的距离被定义如下：

1943年11月，毛泽东总结了一年来生产运动的经验，认为1942年高级干部会议的方针是正确的。他说：“高级干部会议方针的主要点，就是把群众组织起来，把一切老百姓的力量、一切部队机关学校的力量、一切男女老少的全劳动力半劳动力，只要是可能的，就要毫无例外地动员起来，组织起来，成为一只劳动大军。”［4］928他指出，把群众组织起来，这是一种方针。与此相反的方针是，不注意把广大群众组织起来，而只注意组织财政机关、供给机关、贸易机关的一小部分人；不把经济工作看做是一个广大的运动，一个广大的战线，而只看做用以补救财政不足的临时手段。这是一种错误的方针。

(9)

例2 考虑例1中的犹豫二元语义元h ₁和h ₂，根据定义6可得h ₁和h ₂之间的距离为d (h ₁,h ₂) = 0+0.3=0.3。

3 基于ELECTRE 的犹豫二元语义多属性群决策方法

针对犹豫二元语义多属性群决策问题，设方案集为A ={A ₁,A ₂, …, A _m }，属性集为C ={C ₁,C ₂, …,C _n }， 决策者集为D ={D ₁,D ₂, …, D _t }。决策者D _l ∈D 给出的决策矩阵为其中，(i =1, 2, …, m ;j =1, 2, …, n )表示决策者D _l 对候选方案A _i ∈A 关于属性C _j ∈C 的犹豫二元语义元形式的偏好信息。属性的权重向量为ω =(ω ₁,ω ₂, …, ω _n )^T，满足

3.1 个体决策矩阵的集结

将t 个决策者所给的犹豫二元语义决策矩阵(l =1, 2, …, t )集结为群决策矩阵X =(x _ij )_m×n =((s _ij ,α _ij ))_m×n (i =1, 2, …, m ;j =1, 2,…,n )，集结方法为：

s _ij =

(10)

其中，算子的定义^[3]为

表示通常的四舍五入运算，且：

基于因子分析法的云南省药品短缺影响因素调查…………………………………………………… 黄润青等（17）：2315

l =1, 2, …, t }

(11)

其中，

属性分为效益型属性和成本型属性，本文利用式(10)构建规范化犹豫二元语义群决策矩阵Y =(y _ij )_m×n ：

(12)

式中，neg(x _ij )可以根据式(13)确定。

neg(h )=

Step 3 ：根据定义5计算属性C _j (j =1, 2, …, 4)下方案A _i 和A _k (i ,k =1, 2, …, 5且k ≠i )两两比较的可能度并构建可能度矩阵

(13)

3.2 属性权重的确定

偏差最大化法是一种根据各属性下所有候选方案评价值之间的差异来确定属性权重的方法，差异越大的属性对决策的作用越大，其权重也就越大。计算第j (j =1, 2, …, n )个属性下所有候选方案间的总偏差为V _j ：

研究显示,肾病内科住院患者容易出现各种安全隐患,如坠床、管道滑脱等,可增加意外的发生,影响患者康复[1-2]。本研究选取2016年2月-2017年6月88例肾病内科住院患者并随机数字表法分组,分析了肾病内科住院患者存在的护理安全隐患及防范措施,报告如下。

(14)

式中，d (x _ij ,x _kj )表示候选方案A _i 与A _k (i ,k =1, 2, …, m ;j =1, 2, …, n )在属性C _j 下的距离。则第j (j =1, 2, …,n )个属性的权重为：

2, …, n

(15)

3.3 犹豫二元语义和谐性指数与不和谐性指数

在传统ELECTRE法中，通过方案在各属性下的成对比较(A _i ,A _k )可以将属性的下标集J ={j |j =1, 2, …, n }分为三类，即和谐集、不和谐集和无差异集。本文根据方案A _i 不劣于方案A _k 的可能度x _kj )(i ,k =1, 2, …, m 且k ≠i ;j =1, 2, …,n )确定犹豫二元语义和谐集、不和谐集和无差异集：

3.4 果粒生长动态 无核红宝石单果质量和单果体积随果实生长发育而变化。避雨与露地栽培对比，在花后30天，葡萄单果质量基本一致，避雨栽培单果体积略大于露地栽培；随时间推移，避雨栽培单果体积和质量明显高于露地，采收时避雨栽培的单果质量增加14.29%，单果体积增大5.56%。

(16)

(17)

(18)

传统ELECTRE法中的和谐指数I _ik 为：

(19)

由于则式(19)为：

(20)

传统ELECTRE法中的和谐指数I _ik 是方案A _i 不劣于方案A _k 的那些属性的权重之和在所有属性权重的总和中所占的比例，没有考虑方案属性值之间的差异。因此，本文基于可能度比较公式定义犹豫二元语义和谐指数c _ik 为方案A _i 不劣于方案A _k 的那些属性下可能度的加权之和，具体为：

(21)

式中，ω _j (j =1,2,…,n )为属性C _j ∈C 的权重值，c _ik ∈[0,1]表示方案A _i 不劣于方案A _k 的程度。c _ik 越大，表示方案A _i 不劣于方案A _k 的程度越大。

不和谐性指数d _ik 是指方案A _i 与方案A _k 在不和谐属性下的相对差异，它反映了候选方案之间的有限补偿。也就是说，当某个属性下的两个候选方案之间的差异达到一定程度时，决策者将拒绝其他属性下的收益对于该属性下的损失的补偿。不和谐性指数d _ik 具体由式(22)确定。

(22)

式中，ω _j (j =1, 2, …, n )为属性C _j 的权重值。d _ik ∈[0,1]能够反映方案A _i 与方案A _k 的相对劣势程度，并且d _ik 越大，表示方案A _i 劣于方案A _k 的程度越大。

根据犹豫二元语义和谐性指数与不和谐性指数分别构建犹豫二元语义和谐性矩阵C =(c _ik )_m×m 与不和谐性矩阵D =(d _ik )_m×m 。

3.4 对候选方案排序

本文通过计算净优势值实现候选方案的排序。为此，需要根据犹豫二元语义和谐矩阵C 及不和谐矩阵D 的余矩阵D ′=(1-d _ik )_m×m 的Hadamard乘积确定综合优势矩阵E =C ∘D ′=(e _ik )_m×m ，其中：

e _ik =c _ik (1-d _ik )

(23)

e _ik 越大，表示方案A _i 不劣于方案A _k (i =1, 2, …, m ;j =1, 2, …, n )的程度越大。进一步的，根据式(24)确定方案A _i 的净优势值：

（1）年龄35～65岁。（2）患者意识清醒，符合脑卒中偏瘫的诊断标准，能够配合康复训练和治疗。（3）患者病情已平稳，处于脑卒中恢复期，病程＞3个月。排除标准：意识障碍，无法配合治疗。

(24)

式中，N _i 越大，说明方案A _i 越优。

本文在元动作单元概念的基础上，结合灰色聚类理论和粗糙集理论，提出一种基于元动作单元的数控机床故障分级决策方法。首先，介绍了基于系统功能的结构化分解基本流程，给出了元动作单元概念模型；然后，分析了元动作单元的故障模式类型与等级；接着，通过灰色定权聚类理论对元动作单元故障模式等级进行决策分析，再通过粗糙集理论对决策规则进行简化；最后，以某数控机床齿条移动元动作单元为分析主体进行了实例分析。

Step 3 ：根据定义5计算属性C _j (j =1, 2, …, n )下方案A _i 和方案A _k (i ,k =1, 2, …, m 且k ≠i )两两比较的可能度，并构建可能度矩阵

3.5 决策步骤

基于以上分析，提出一种基于ELECTRE的犹豫二元语义多属性群决策方法。具体步骤如下：

Step 1 ：根据3.1节集结决策者们的决策信息，得到群决策矩阵X =(x _ij )_m×n (i =1, 2, …, m ;j =1, 2,…, n )，并根据式(12)～(13)构建规范化犹豫二元语义群决策矩阵Y =(y _ij )_m×n 。

Step 5 ：构建和谐性矩阵C =(c _ik )_m×m ，其中，和谐指数c _ik 由式(21)确定。

Step 2 ：根据式(14)～(15)确定属性权重。

将各方案的净优势值按照降序的顺序排列，就可以得到各方案由优到劣的排序。

高校内部各项软硬件设施的建设，其最主要的目标，是要满足整体工作需求，包括教学工作与管理工作。但与发达国家的高校相对比，我国高校的基础建设依然体现出落后的趋势，后勤信息化管理平台的建设与更新也不到位。但是高校后勤管理是一项内容复杂、贯穿全程的综合性管理工作，服务的范围广、数据分散难以收集，且关联多个部门，因此如果没有先进的技术与设施，管理目标是无法达成的[2]。

Step 6 ：构建不和谐性矩阵D =(d _ik )_m×m ，其中，不和谐指数d _ik 由式(22)确定。

Step 7 ：根据式(23)构建综合优势矩阵E =(e _ik )_m×m 。

Step 8 ：根据式(24)确定各方案的净优势值，并按降序排序，即净优势值越大的候选方案越优。

4 算例分析

本文算例来自文献[3]。一家信贷公司要将资金投资于最佳候选企业。现有5个可供选择的投资企业：冰箱公司A ₁，食品公司A ₂，建筑公司A ₃，电影业A ₄，软件公司A ₅；4个评价属性：增长因子C ₁，税收问题C ₂，风险问题C ₃，社会影响C ₄。其中，C ₁与C ₄是收益型属性，C ₂与C ₃是成本型属性。设决策委员会有三位决策者D _l (l =1, 2, 3)，决策者根据语言术语集S ={s ₀,s ₁,s ₂,s ₃,s ₄,s ₅,s ₆}={极差，非常差，差，中等，好，非常好，极好}给出的犹豫二元语义决策矩阵见表1～3。

酶联免疫吸附实验检测细胞因子的表达 收集AMSCs 与患者外周血淋巴细胞共培养中上清液，按照酶联免疫吸附实验(enzyme-linked immunosorbent assay,ELISA)试剂盒(莱兹生物科技有限公司)中说明书进行操作，在酶标仪上检测 450 nm处吸光度值，计算标本浓度。

本文所提方法的决策步骤如下。

或条件的属性。

Step 2 ：根据式(14)～(15)得到属性权重分别为ω ₁=0.2401，ω ₂=0.2234，ω ₃=0.2155，ω ₄=0.3210。

{Δ(g -(Δ^-1(s _i ,a _k )))|k =1, 2, …, l (h )}

表1 犹豫二元语义决策矩阵X ⁽¹⁾

Tab.1 Hesitant 2-tuple linguistic decision matrix X ⁽¹⁾

表2 犹豫二元语义决策矩阵X ⁽²⁾

Tab.2 Hesitant 2-tuple linguistic decision matrix X ⁽²⁾

表3 犹豫二元语义决策矩阵X ⁽³⁾

Tab.3 Hesitant 2-tuple linguistic decision matrix X ⁽³⁾

表4 犹豫二元语义群决策矩阵X

Tab.4 Hesitant 2-tuple linguistic group decision matrix X

表5 规范化犹豫二元语义群决策矩阵Y

Tab.5 Normalized hesitant 2-tuple linguistic group decision matrix Y

P ²=

P ³=

Step 4 ：根据式(16)～(18)确定和谐集、不和谐集和无差异集，其中，“-”表示不存在使得方案A _i 与A _k (i ,k =1, 2, …, 5且k ≠i )满足集合

Step 1 ：根据3.1节确定的群决策矩阵X =(x _ij )_5×4(i =1, 2, …, 5;j =1, 2, …, 4)，见表4。根据式(12)和式(13)构建的规范化群决策矩阵Y =(y _ij )_5×4，见表5。

Step 5 ：构建和谐性矩阵C =(c _ik )_5×5。

C =

Step 6 ：构建不和谐性矩阵D =(d _ik )_5×5。

D =

Step 7 ：构建综合优势矩阵E =(e _ik )_5×5。

E =

Step 8 ：根据式(22)分别计算净优势值，得到N ₁=-2.1434，N ₂=-0.5762，N ₃=-2.1946，N ₄=1.5189，N ₅=3.3953。根据净优势值越大，相应方案越优的排序原则有N ₅>N ₄>N ₂>N ₁>N ₃，则A ₅≻A ₄≻A ₂≻A ₁≻A ₃，故A ₅为最佳候选企业。

为了说明本文所提和谐指数的有效性，基于本文所提方法，按式(20)计算和谐指数，可得本文算例中各方案的净优势值依次为N ₁=-2.1793，N ₂=-0.5426，N ₃=-2.2562，N ₄=1.3521，N ₅=3.6260。比较分析见表6。由表6可知，基于两种和谐指数的排序结果是一致的，但利用式(21)计算和谐指数所得各方案的净优势值间差异比式(20)的略小，这主要是因为式(21)的和谐指数进一步考虑了方案两两比较的可能度信息。

此外，将本文所提方法与文献[3]、文献[14]的方法进行比较分析，结果见表7。由表7可知，三种方法的排序结果均为A ₅≻A ₄≻A ₂≻A ₁≻A ₃，最佳候选企业为A ₅，这说明本文所提方法是可行的。

表6 基于两种和谐指数的排序结果比较

Tab.6 Comparison of ranking results based on two kinds ofconcordance indices

表7 不同方法的排序结果

Tab.7 Ranking results by different methods

5 结 语

针对犹豫二元语义多属性群决策问题，本文提出了一种基于ELECTRE的犹豫二元语义多属性群决策方法。

该方法利用可能度比较公式确定和谐集、不和谐集与无差异集，基于加权可能度确定和谐指数，基于距离测度确定不和谐指数，并根据净优势值实现对候选方案的排序。

所提方法对候选方案的排序是基于部分可补偿性的条件，同时避免了根据强弱关系图进行排序的复杂过程。

最后通过一个算例及与其他方法的比较分析,说明了该方法的可行性与有效性。

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Hesitant 2 -tuple linguistic multi -attribute group decision -making method based on ELECTRE

LIU Rui¹, WANG Qiuping¹, XIAO Yanting¹, YAN Haixia²

(1. School of Sciences, Xi’an University of Technology, Xi’an 710054, China； 2. The Hi-tech College of Xi’an University of Technology, Xi’an 710109, China)

Abstract : A hesitant 2-tuple linguistic multi-attribute group decision-making method based on ELECTRE method is proposed to solve the multi-attribute decision-making problems in which the attribute weight is completely unknown, with the attribute value being of hesitant 2-tuple linguistic information. The possibility degree formula for comparing two hesitant 2-tuple linguistic elements is defined, with the distance measure introduced. The hesitant 2-tuple linguistic concordance set, discordance set, and the indifference set are determined by the possibility degree formula in the method. The hesitant 2-tuple linguistic concordance and discordance indices are respectively determined based on the possibility degree and the distance measure, with their corresponding matrices constructed. The comprehensive dominance matrix is determined via the Hadamard product between the concordance matrix and the complementary matrix of the discordance matrix, the net dominant value is determined, and the alternatives are ranked. Finally, an example is given to demonstrate the feasibility and effectiveness by using the proposed method.

Key words : hesitant 2-tuple linguistic information; possibility degree formula; distance measure; ELECTRE method; multi-attribute group decision-making

DOI: 10.19322/ j.cnki.issn.1006- 4710.2019.01.014

收稿日期： 2018-06-06

基金项目： 国家自然科学基金资助项目(11601419)；陕西省教育厅2015年科研计划资助项目(15JK2068)

作者简介： 刘蕊，女，硕士生，研究方向为模糊决策方法及应用。E-mail：369469802@qq.com

通讯作者： 王秋萍，女，博士，教授，研究方向为预测技术与决策分析。E-mail：qpwang@xaut.edu.cn

中图分类号： C934

文献标志码： A

文章编号： 1006-4710(2019)01-0086-08

(责任编辑 王绪迪)

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