“传统解法”与“向量解法”的比较研究，本文主要内容关键词为：解法论文,向量论文,传统论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
新教材引进了“空间向量”，使一些空间问题（例如：求异面直线所成的角、二面角，求证线线平行、线面平行，求证异面直线垂直和线面垂直等基本问题）的处理得以简化，这样不但使解题过程简捷和易于程序化，而且还开阔了学生的视野.
题设背景之一：几何体是正方体或长方体
例1 （2004年全国高考·湖北卷）如图1，在棱长为1的正方体中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D[，1]E⊥平面AB[，1]F；
（Ⅱ）当D[，1]E⊥平面AB[，1]F时，求二面角C[，1]-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）.
传统解法
（Ⅰ）如图2，连结A[，1]B，则A[，1]B是D[，1]E在面ABB[，1]A[，1]，内的射影.
因为AB[，1]⊥A[，1]B，所以D[，1]E⊥AB[，1].
于是D[，1]E⊥平面AB[，1]F
D[，1]E⊥AF.
连结DE，则DE是D[，1]E在底面ABCD内的射影.
所以D[，1]E⊥AFDE⊥AF.
因为ABCD是正方形，E是BC的中点.
所以当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF.
即当点F是CD的中点时，D[，1]E⊥平面AB[，1]F.
（Ⅱ）当D[，1]E⊥平面AB[，1]F时，由（Ⅰ）知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点，连结BD，则EF∥BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C[，1]H，则CH是C[，1]H在底面ABCD内的射影.所以C[，1]H⊥EF，即∠C[，1]HC是二面角C[，1]-EF-C的平面角.
在Rt△C[，1]CH中，因为C[，1]C=1，CH=（1/4）AC=
向量解法（关键：以其中一顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，相关问题运用向量解法）
（1）以A为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系.
设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A[，1]（0，0，1），B[，1]（1，0，1），D[，1]（0，1，1），E（1，（1/2），0），F（x，1，0）.
故当点F是CD的中点时，D[，1]E⊥平面AB[，1]E.
（Ⅱ）当D[，1]E⊥平面AB[，1]F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结BD，则EF∥BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF.连结C[，1]H，则CH是C[，1]H在底面ABCD内的射影.
所以C[，1]H⊥EF，即∠AHC[，1]是二面角C[，1]-EF-A的平面角.
题设背景之二：几何体某一顶点处有两两互相垂直的三条棱
例2 （2004年全国高考·吉林、黑龙江、云南、四川、贵州卷）如图4，直三棱柱ABC-A[，1]B[，1]C[，1]中，∠ACB=90°，AC=1，CB=
，侧梭AA[，1]=1，侧面AA[，1]B[，1]B的两条对角线交点为D，B[，1]C[，1]的中点为M.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B[，1]BD与面CBD所成二面角的大小.
传统解法
（Ⅰ）如图5，连结CA[，1]，AC[，1]，CM，则CA[，1]=.
因为CB=CA[，1]=，所以△CBA[，1]为等腰三角形，又知D为其底边A[，1]B的中点，
所以CD⊥A[，1]B.因为A[，1]C[，1]=1，C[，1]B[，1]=，所以A[，1]B[，1]=
.
又BB[，1]=1，A[，1]B=2.因为△A[，1]CB为直角三角形，D为A[，1]B的中点，
所以CD=（1/2）A[，1]B=1，CD=CC[，1]，又DM=（1/2）AC[，1]=（/2），DM=C[，1]M.
所以△CDM≌△CC[，1]M，∠CDM=∠CC[，1]M=90°，即CD⊥DM.
因为A[，1]B，DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设F，G分别为BC，BD的中点，连结B[，1]G，FG，B[，1]F，则FG∥CD，FG=（1/2）CD.所以FG=（1/2），FG⊥BD.
由侧面矩形BB[，1]A[，1]A的对角线的交点为D知BD=B[，1]D=（1/2）A[，1]B=1，所以△BB[，1]D是边长为1的正三角形.
向量解法（关键：找准非顶点的坐标）
如图6，以C为原点建立空间直角坐标系.
题设背景之三：几何体中只有两棱互相垂直的特殊体
例3 （2004年全国高考·河南、河北、山东、山西、安徽、江西卷）如图7，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离，
（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
传统解法
（Ⅰ）解：如图8，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB，OA，OD.OB与AD交于点E，连结PE.
因为AD⊥PB，所以AD⊥OB.
因为PA=PD，所以OA=OD.
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，所以∠PEB=120°，
∠PEO=60°.
由已知可求得PE=，所以PO=PE·sin60°=×
=（3/2）.
即点P到平面ABCD的距离为（3/2）.
（Ⅱ）如图8，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG，AG，GF，则AG⊥PB，FG∥BC.FG=（1/2）BC.
因为AD⊥PB，所以BC⊥PB，FG⊥PB，
所以∠AGF是所求二面角的平面角.
因为AD⊥面POB，所以AD⊥EG.
又因为PE=BE，所以EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
在Rt△AEG中，AE=（1/2）AD=1.于是tan∠GAE=（EG/AE）=，
又∠AGF=π-∠GAE.所以所求二面角的大小为π-arctan.
向量解法（关键：建立适当的坐标系）
（Ⅱ）如图9建立空间直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.
两种解法各有利弊优劣，应视具体情况而定，灵活处理、择优选用.从以上几种“题设背景”来看，“传统解法”需作辅助线，有时不易解出；而使用“向量解法”，程序化强、便于操作，求解的关键在于建立恰当的空间直角坐标系（基本原则：使图中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于用坐标表示相关的点及向量），然后利用坐标系确定各相关点及向量的坐标，再借助向量坐标运算法则和公式，无需添加辅助线，即可达到解题的目的.一言以蔽之，处理空间问题不可忽视“以数助形”这种空间向量解析思想.