三垂线定理，本文主要内容关键词为：垂线论文,定理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教学目标
知识目标：掌握三垂线定理及逆定理推导及运用.
能力目标：通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.
情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识.
教学重点 三垂线定理及其逆定理
教学难点 竖直或倾斜放置的平面上运用三垂线定理及逆定理.
教学过程
1.引入（多媒体显示，学生回答）
问题1 直线与平面垂直的定义
生：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直.
教师补充说明：定义既是判定又是性质，并
问题2 直线与平面垂直的判定定理？
生：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.学生回答后教师复述并板书
问题3 PO是平面α的斜线，O为斜足；PA是平面α的垂线，A为垂足；AO是PO在平面α内的射影.
（1）如果a
α，a与PO的位置关系如何？为什么？
生1：a⊥PO，根据线面垂直的定义.
（2）如果aα，a与PO能垂直吗？如果能，请你补充条件，使a与PO垂直.
生2：能，当a⊥AO时.
师：你能证明吗？
生：能.学生回答，教师板书如下
师：谁能将以上问题写成一个命题？
生：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
师：好！根据刚才同学们的回答可知这是一个真命题，这就是我们这节课要学的一个重要定理，从而引入
2.新课（板书课题——三垂线定理）
2.1 三垂线定理与逆定理
教师用多媒体显示定理内容，并用课件演示定理中的主要元素并强调，具体如下：
（1）当定理中“在平面内的一条直线”的平面内3字闪烁时，下面图形中的平面同时闪烁5下；
教师要特别强调“在平面内”，并用实物演示直线不在平面内是错误的.
（2）当定理中“如果和这个平面的一条斜线的射影垂直”的射影两字闪烁时，下面图形中的射影AO所表示的图形也跟着闪烁5下；
（3）当定理中“那么它也和这条斜线垂直”中的斜线两字闪烁时，下面图形中的斜线也同时闪烁5下；
（4）演示平行移动直线a的不同位置.
教师反问：平面的一条斜线在平面内是否一定有垂线？如果有，有几条？怎么确定？
生：有，有无数条.
师：一个命题的证明需要写已知求证，谁能写？
生：已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥AO，求证：a⊥PO（教师将此写在刚才设计好的证明文字上面，并说明下面就是三垂线定理的证明）
教师说明：三垂线定理实质上是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理，这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线.
师：这个定理的逆命题怎样叙述？
生：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
师：这个逆命题是真命题吗？
学生回答后，教师用多媒体显示逆定理，并用课件演示逆定理的主要元素（步骤类似前面定理）
师：你能证明吗？
学生边回答教师边将上面3处黑体字部分改动一下，以说明与定理的联系与区别.
2.2 定理涉及到的几何元素（教师用多媒体演示）
1个平面α（文字显示时，图中平面α从左向右渐露）
4条直线（文字显示时，图中每条直线相应从上至下渐露）
（1）平面的垂线PA；
（2）平面的斜线PO；
（3）斜线在乎面内的射影AO；
（4）平面内的一条直线a.
3个垂直（文字显示时，图中每对直线依次同时闪烁3次）
（1）垂线PA与平面α垂直；
（2）平面内的一条直线a与斜线在平面内的射影AO垂直；
（3）平面的一条直线a与斜线PO垂直.
2.3 例题分析（多媒体显示）
例1 如图2，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
分析：（多媒体演示如下）
（1）将图中已知线段AB、CD同时闪烁3下
（2）将图中已知线段AC、BD同时闪烁3下
（3）将图中已知线段AD、BC同时闪烁3下
学生思考后教师分析：要证明线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理，其关键是确定垂面，由于位置的对称性，不妨以面BCD为垂面（确定垂面）多媒体演示文字“确定垂面”，同时将面BCD闪烁3下.
师：图中AB、AC、AD对面BCD来说是什么线？
生：斜线.
师：对！（抓住斜线），多媒体演示文字“抓住斜线”.哪位同学能证明？
生：作AO⊥面BCD于O
师：强调（作出垂线）多媒体演示文字“作出垂线”并作图.
生：连结OA、OB、OC
师：强调（联成射影）多媒体演示文字“联成射影”并作图.
师：以上最后一步的理由是什么？
生：三垂线定理
师：很好！在
下多媒体显示“三垂线定理”并闪烁3下.
师：从上例我们可以知道，运用三垂线定理解题可归纳为以下3步：
一定（定垂面） 二找（找4线） 三证（证垂直）
也可用口诀记忆如下
确定垂面 抓住斜线 作出垂线 联成射影 找第4线 证明垂直
例2 在正方体AC[，1]中，求证：（1）B[，1]D⊥BC[，1]；（2）B[，1]D⊥截面A[，1]C[，1]B
思考后请一名同学解答（1）如下：
确定垂面BC[，1]
抓住斜线B[，1]D
作出垂线DC（图3中已有）
联成射影B[，1]C（正是所需添辅助线，体现了口诀的妙用）
找第4线BC[，1]
证明垂直（不难证明BC[，1]⊥B[，1]C），
由三垂线定理可得B[，1]D⊥BC[，1].
说明：以上学生每回答一步，教师多媒体显示相关文字及线段，充分发挥Authorware课件的动感与交互性.
再请一名同学同样可得（2）的证明.
师：如图4，若P是BB[，1]上的任意一点，DP与A[，1]C[，1]也垂直吗？为什么？
生：垂直，因为DP在面A[，1]C[，1]内的射影是B[，1]D[，1].
师：好！教师用多媒体显示射影过程，激发学生的学习兴趣.
例3 如图5，已知平面α、β，α∩β=AB，PQ⊥α于Q、PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.
生1：由线面垂直可得.
生2：PO在平面α上的射影是QR，由三垂线定理的逆定理可得.
师：以上两同学的方法都对，但生2回答的方法简捷，这说明三垂线定理证明的问题都可用线面垂直来证，因为三垂线定理就是利用线面垂直来证明的，这也是我们为什么要学习三垂线定理的道理——因为简捷.
3.小结
（1）三垂线定理及逆定理
（2）说明：①定理中4条线均针对同一平面而言；②应用定理关键是确定“垂面”这个参照系；③操作程序分3步——一定二找三证
（3）记忆口诀
确定垂面 抓住斜线 作出垂线 联成射影 找第4线 证明垂直
（4）三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理.
4.作业（略）
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