数学知识不确定性的价值及其实现，本文主要内容关键词为：不确定性论文,数学知识论文,价值论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
20世纪末21世纪初，人类知识观发生了重大变化：知识不再被认为是“真理”，而被当作一个暂时的结论.它有待发展、修订与完善.正如波普尔（Popper，K.）所言：“所有的科学知识，不仅是科学知识，在实质上都是‘猜测性的知识’，都是我们对于某些问题所提出的暂时回答”.[1]换句话说，人们认为知识具有不确定性.由于知识是教育的主要内容，因此知识观的变化必然带来教育的变化.本文主要讨论数学知识的不确定性及其教学问题. 一、数学知识的确定性及其教育局限 数学知识具有确定性，其发展也是沿着确定性的道路进行的，但这种确定性是有限度的.超过了这个限度，将不利于数学教育价值的实现. （一）数学知识的确定性及其表征 1.数学知识确定性的涵义 通常认为，在所有知识中，数学是最确定的.正因为如此，某门学科能否称为“科学”，关键就看其能否被数学化（即能否运用数学的方法来进行研究）.数学成了衡量其他学科能否成为科学的标准.比如，社会学之所以成为一门科学，就在于孔德（Comte，A.）将实证（其中最主要是运用了数学的手段）方法引入了社会学.那什么是数学知识的确定性呢？简而言之，数学知识的确定性是指数学的知识结论是精确的，而且这一结论是可信的.数学知识的确定性既指数学知识是精确的，也指数学知识是客观的，还指数学知识是永恒的、超越时空的. 2.数学知识确定性的表征 （1）数学知识确定性的历史追溯 数学知识自产生起，就沿着确定性的道路向前发展.柏拉图（Plato）将世界划分为在的世界和变的世界，数学属于在的世界，是不变的.在《理想国》第七卷中，他认为数学是科学，强调“科学的真正目的是纯粹为了……关于永恒事物的，而不是关于某种有时产生和灭亡的事物的……知识”.[2]欧几里得（Euclid，A.）的《几何原本》被当作是确定性数学知识的代表作，全书包括23条定义、五条公理和五条公设.欧几里得认为公设是适用于一切科学的真理，公理是几何学中的真理，它们都是确定无疑、无需证明的. 中世纪，人们认为数学知识是上帝预先设计好的、确定的客观真理.在《哲学原理》中，笛卡儿（Descartes，R.）认为要使哲学能够统一所有科学，必须要用数学方法（后来他将这称为“普遍数学”），“绝不接受我没有确定为真的东西”.[3]这句名言更是诠释了他对数学确定性的追求.可以说，在20世纪以前，数学发展的历史就是追求数学确定性的历史. （2）数学知识确定性的权威定位 历代的数学权威都认为，数学是不变的真理；甚至认为“自然法则就是数学规则”.[4]柏拉图认为“只有从理想世界是数学知识来理解现实世界的实在性和可知性，无疑这个世界是数学化的”.[5]在他看来，只有掌握了数学，才能理解这个世界.因此，在柏拉图学园门口处挂着这样一个标牌：“不懂几何学者免进”.他认为，只有精通几何，才能够学习其他学科.毕达哥拉斯派甚至提出“万物皆数”，将音乐、行星运动归结为数的关系，认为数是万物的代表，万物都可归结到数中.拉普拉斯（Laplace，P.S.）认为“如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动”，[6]表明在他看来方程式可以表达并解释宇宙间所有运动，这句话也被当作追求确定性的最高描述，即拉普拉斯方程式.兰德尔（Randall，J.H.）在《现代思想的形成》中指出“科学起源于用数学解释自然界这种信念，而且在很久以前这个信念就为经验证实了”，[7]从中可以看出数学是近代科学形成的前提.由此可知，从古希腊起，确定性数学知识在所有知识中占据权威的地位. （3）数学知识确定性的价值澄明 数学知识确定性的表征还表现为，将确定性的数学知识应用到其他学科中去，取得了巨大成就. 首先，对确定性数学知识的追求促进天文学、物理学等自然学科的发展.如高斯（Gauss，K.F.）在24岁时运用数学知识观察小行星谷神星，并预言了这颗行星的轨迹.伽利略（Galileo，G.）运用数学知识来描述和解释自由落体规律，促进物理力学的发展.牛顿（Newton，I.）受伽利略影响，将数学作为描述自然定理的一个工具，如在解释万有引力时，摒弃物理原理而只用数学原理.在《自然哲学的数学原理》一书中，对天文学、物理学和数学等学科知识的证明或求解，也都采取完全数学化的过程，以大量的数学分析为基础，用微积分和几何学知识来解释说明物体运动和宇宙体系，促进了物理学、天文学学科的发展. 其次，对确定性数学知识的追求也促进了音乐、哲学、统计学等人文学科和社会学科的发展.公元前600年，毕达哥拉斯学派用数学方法研究琴弦震动，建立了关于音乐的理论.康德（Kant，I.）认为数学是先天的理性真理，对数学真理的追求促进其哲学思想体系的形成，“康德的问题是揭示数学如何能先天被知道，而又能以无可更改的确定性地应用于所有经验”.[8]统计学中定量研究要求对数据进行精确的计算和分析.建筑设计要求有精确的数字比例以达到完美的效果. （二）确定性数学知识的局限 作为自然科学的基础，数学知识确实具有客观性、准确性和普遍性.追求确定性数学知识本身没有什么错，错在“唯确定性”，即人们过于强调其确定性，排除了其他的可能性.在教学中，如果过于强调数学知识的确定性，就会严重限制教师的教和学生的学，不利于学生全面自由的发展. 1.限制了教师教学的主体性 众所周知，教师是教学过程的重要主体之一.他之所以成为主体，并不仅仅是说他决定着教学进度、教学方法、教学评价等，而且还指他是知识的主体.即是说，当教师可以在课堂上用自己的方式讲述自己的知识时，他才是一个真正的主体.过度重视确定性数学知识，容易使教师形成这样一种教学观：数学教学向学生演绎、解释数学真理.对于数学知识而言，教师没有权力和能力去改变，甚至不能有一点不同于书本的理解.在这样的教学中，教师虽然讲述着数学知识，但却是以他人规定好的方式讲述他人的知识.他不但没有成为知识的主体，反而被知识奴役.这种教学对教师来说是痛苦的，因为他不能自主，没有激情和创造性，并由此陷入一种恶性循环：“学术生涯使他感到痛苦，他要把同样的痛苦加诸于学生——这是对自我本身深感困扰的痛苦”.[9]这样，教师无法在教学中进行反思和建立自我感，最终使自己与教学分离. 2.窄化了数学教学的内容 由于数学本身被认为是确定性知识的典范，同时加上人们通常认为基础教育的主要任务是向学生传授基础知识（基础知识一般是指具有确定结论的知识），于是确定性的数学知识几乎成了数学教学的唯一内容，或者说不确定的数学知识仅仅是教学内容的点缀. 过度强调数学知识的确定性，限定了数学教学内容.一是将数学教学的内容限定为那些确定性的内容，不确定性的数学知识没有资格成为数学教学的内容，或者说所占比重非常小.二是教师在讲授确定性的内容时，不敢加以引申，仅仅局限于那个内容. 不仅数学内容的范围被限制了，内容的深度也被限制了.在讲授数学知识时，教师认为数学答案就是唯一的，因此很少在课堂上与学生深度探讨数学问题.数学知识对于学生来说，就像是库存的展品，学生站在展品面前欣赏，但却无法触摸其真正的内涵，无法看到知识的多元意义.其实，对每个学生来说，“知识的现实意义是多元的、多样的、意义的，实现方式也是无限的”.[10] 3.不利于学生创造力的培养 “创造力是一种产生新颖事物的能力，是一种解决问题的能力，是一种破除传统的能力.”[11]培养学生的创造力是数学教育的重要目标.新数学课程标准指出：“数学教学活动，要引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”.[12]确定性数学知识观，不仅无益，反而会阻碍学生创造力的培养. 由于将数学知识当作是客观的、永恒的，因此人们不仅不敢质疑它，而且认为没有必要质疑它.然而，“知识原本是他人对世界的一种看法，把知识当作绝对真理意味着承认他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性.”[13]教学过程中，过于强调数学知识的确定性，会导致学生被动地“接受”数学公式、定理与答案.因此，一方面学生不能形成数学批判思维能力；另一方面，学生思想被禁锢，不敢大胆想象，而批判与想象是创造的前提.正如杜威（Dewery，J.）所说，“教育最大的错误在于认为一个人只学习他当时所学的特定事物”.[14] 二、数学知识的不确定性及其价值 数学知识的确定性在19世纪出现了断裂，因为在这个世纪，人们发现数系、几何等知识都具有不确定性.数学知识不确定性的发现，对数学、对教育都具有重要意义. （一）数学知识不确定性的涵义 数学知识的不确定性是指数学知识具有开放性和模糊性等特征.数学知识的开放性是指，数学知识并不是静止不变的，而是一个动态变化发展过程；它有可能被推翻.数学知识的模糊性是指数学结论本身具有不精确性，如概率论、模糊数学和灰色数学等，都具有模糊性. 数学发展到19世纪，就陷入自相矛盾的境地.数学知识不再是非此即彼的，而是亦此亦彼的.数学的发展也超越了其固有的逻辑路线，这从数系、函数和几何等板块的发展过程中可以看出. 在数系中，无理数、复数的出现，表明数具有不确定性.以前，整数、分数和小数是确定的数.毕达哥拉斯派认为线段的长度与它所对应的原子数目之间的比例是一一对应的，因此直角三角形的三边之比都应是整数比，一些例子也证明它的“正确性”，如3:4:5、5:12:13、8:15:17等直角三角形.然而后来毕达哥拉斯学生发现当两直角边均为1时，斜边为
