略论数学直觉主义的渊源、特征和贡献，本文主要内容关键词为：渊源论文,直觉论文,特征论文,贡献论文,主义论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
19世纪末，数学分析经过波尔查诺、柯西、阿贝尔、维尔斯特拉斯等数学名家的努力终于被认为奠定了严密的基础，从而数学也被认为有了坚实的根基。然而众多悖论，尤其是集合论中的罗素悖论和相容性问题又使数学家们陷入了新的困境，并终于爆发了数学发展史上著名的直觉主义、逻辑主义和形式主义三大流派关于数学基础的大论战。本文试图就直觉主义的渊源、特征和贡献作些探讨。
一、
直觉主义的思潮源远流长。在一定意义上，数学发展史上的直觉主义鼻祖是阿那克萨哥拉，他在探讨“化圆为方”问题时提出了事物无限可分的潜无穷观点。此后，欧多克斯和阿基米德在研究几何问题的过程中发展和具体化了阿那克萨哥拉的思想，创造了“穷竭法”。在认识发展史上，古希腊哲学的完成者亚里士多德第一个讨论了无穷的存在和不存在问题，明确地提出了潜无穷，并把它与实无穷作了区分。他认为“只有潜能上的无限。……不会有现实的无限。”①数学对象是人们数学活动的结果，人们通过分割而发现几何图形，“分割的过程永远不会告终，这件事实保证了这种活动潜在地存在，却并不保证无限独立地存在。②”
在近代，直觉主义的重要哲学先驱包括笛卡儿、莱布尼兹、斯宾诺莎和洛克。他们从强调直觉在认识中的作用和数学知识是心灵的创造两个方面直觉主义提供理论依据。笛卡儿坚信，仅靠直觉就能发现作为推理出发点的、无可怀疑的基本概念，“直觉……比演绎更简单，因而也就更可靠”③。莱布尼兹认为，人们只有靠直觉才能认识不证自明的基本真理，而“感觉永远只能给我们提供一些例子”④。斯宾诺莎提出直觉高于推理，唯有通过直觉才能悟出自然界的实质。洛克强调，人类的数学知识完全来源于对心灵内部活动的反省，数学观念本身就是“原型”。“数目底情状是相加而成的──我们把这个观念在心中重迭以后，并且把这些重迭又加起来以后，就得到复杂的数目情状底观念。”⑤“一个人如能在一上加一，并且在二上加一，如此一直往下计算，……便可得到所有的数目观念。”⑥“人们如果想知道，所谓无限观念究竟是什么，则他们顶好来考究人心在什么上边比较直接地把无限性加上去……”⑦
直觉主义的直接理论来源是康德的哲学。康德认为，人的认识从感性开始，感性工作的结果就是直观。人们在接受对象时感性自身必然要运用空间和时间来安排和整理对象。空间和时间不是事物本身的性质和存在形式，亦非来自经验，所以它们不是经验的直观，而是先天的、纯粹的直观，其中空间是外感官形式，时间是内感官形式。由于人的观念和知觉到的一切必然要运用空间和时间的形式，所以空间和时间也肯定是数学的基础，“几何学是根据空间纯直观的；算术是在时间里把单位一个又一个地加起来，用这一办法做成数的概念。”⑧康德进一步认为，算术和几何学原理也依赖于“直觉形式”，并且数学的论证是通过“纯直觉中的概念的构造”来进行的，具体的构造既可以证明任一包含的存在假设，或抽象结构的纯概念，也包含了阐述对象的方法。
唯意志主义者叔本华继承了康德的数学导源于时间的直观的思想。他在论及存在的充足理由律时认为，存在的对象涉及到时空的存在，也就是算术和几何。时间中的一刻或空间中的一个位置都被前一个所制约……因此存在的充足理由律是数学的主导原则。⑨叔本华还认为，“一切知识的根源根本就不在理性自身，而是从别的方面获得的直观认识沉淀于理性之中”⑩，“直观是一切真理的源泉，是一切科学的基础；它那纯粹的、先验的部分是数学的基础。”(11)
在叔本华之后，新康德主义的马堡学派以“先验逻辑”解释康德哲学，把科学知识的规律性和必然性归结为“先验逻辑”。马堡学派的创始人柯亨认为，科学认识的过程就是纯粹思维按照先验逻辑主动创造的过程，数和数学方程是自我思维的自由创造物。
从18世纪下半叶到19世纪上半叶，为直觉主义提供理论基础的至少还有柏格森主义提出的“直觉高于理性”的认识论和胡塞尔的现象学直觉主义认识论。
二
如果说亚里士多德、洛克、康德等哲学家大多从哲学的角度论述数学的有关问题，那么直觉主义数学家则主要从分析和探讨数学的起源、性质、数学对象的存在性和消除数学发展的内在矛盾等问题出发来阐述他们独具特色的观点，在与逻辑主义和形式主义的斗争中发展自己的思想。
1、数学是心智的创造
这是数学与客观现实的关系问题。某些数学家认为客观现实和自然科学问题是数学问题和数学思想的最终源泉；某些数学家相信数学是独立于现实世界和认识主体的精神存在；直觉主义数学家则坚持数学是一种智力的自然功能，一种自由的、生气勃勃的思维活动的结果，一种人脑的产物。
克罗内克是一位重要的直觉主义数学家，他认为整数是一切数学发展的基础，并明确宣布它们“是神造的，其他的一切都是人造的”。
彭加勒完全赞同克罗内克的观点，他提出了数学原理约定说。他在分析了三种不同的几何后声称，几何学不是从经验事实中证明的，几何学中的点、线、面在实际生活中并无纯粹的形态，它们只是实物的抽象，并得到数学家一致赞同的约定，而“约定是我们精神的自由活动的产品”。他还认为，在数学创造“这种活动中，人类精神起着作用，或者似乎只是自行起作用和按照自己的意志起作用。”(12)
直觉主义的奠基者布劳威在其《意识、哲学和数学》一文中开门见山地指出了直觉主义的这一特征：“认为不存在非经验的真理以及认为逻辑并非发现真理的绝对可信赖的工具的观点，在对数学的考察中已经被接受。……从这一观点出发得到严格处理的和以内省构造作为推导定理的独一无二方法的那种数学被称作为直觉主义数学。”(13)
布劳威思想的继承者和学生海丁也明确地表明了数学并不来源于思维以外的客观世界，而依赖于主观思维的观点，他强调：“我的数学思想属于我个人的理智生活，并限于我个人的思想，……数学思想的特性在于它并不传达关于外部世界的真理，而只涉及心智的构造。”(14)“人的心智中构想的实体是一切思想的出发点，特别是数学的出发点。”(15)
2、直觉是数学的基础
推动直觉主义发展的一个重要因素是数学矛盾的发现，尤其是在集合论成了数学的基础之后，集合伦中的悖伦更是令数学家们寝食难安。他们从不同角度探寻矛盾的根源，或者认为是集合的定义不严格，或者认为是没有把数学建立在可靠的逻辑基础上，或者认为是数学体系本身的相容性问题尚未解决，或者认为是滥用逻辑推理法则，并由此导出了三大流派解决数学基础问题的不同方法。直觉主义解决矛盾的方法是完全摒弃导致矛盾的集合伦，坚持把数学建立在直觉的基础上。
克罗内克早在集合论诞生之时就将其斥之为神学，并坚决主张只有直观上清晰明白的整数才能作为数学的基础。彭加勒对逻辑主义把数学奠基在逻辑的基础上的企图嗤之以鼻，认为这将把数学化为无限的同义反复，而抹杀了直觉在数学中的作用。他认为数学不是逻辑的衍生物，相反，数学直觉先于逻辑和逻辑结构，它既是数学的基础，也是数学创造的必要条件和源泉，它能够创造真正的数学推理，而没有直觉的数学家仅仅是一个只会按语法写诗的诗人。
布劳威批判地发展了康德把数学建立在时空直觉上的思想。由于非欧几何的创立以及它与欧氏几何的相容关系，布劳威舍弃了康德建立在空间直觉基础上的几何学。他在指出时间直觉仅与人的本性和人观察时间上因果联系的能力相关，而与外界经验无关的前提下，发展了康德建立在时间直觉基础上的算术理论。他强调最基本的直觉是按时间顺序出现的感觉，布劳威强调，这种数学直觉先于语言、逻辑和经验，它既是数学的基础，同时也是判别数学概念、数学定义、数学运算和逻辑规则等的正确性或可接受性的标准。
在数学基础问题上，海丁也强调直觉主义所要寻找的基础是“直接给出的并且是我们能直接理解的，而没有哲学的不可捉摸性”，也即数学直觉。
3、数学等于基于直觉的被构造
数学等于被构造既是直觉主义在探讨如何避免悖论的过程中获得的结论，也是它的数学是心智的创造和直觉是数学的基础两种观点的直接结果。直觉主义认为，只有建立在直觉基础上的数学才是可靠的，只有基于“主观直觉上的可构造性”或“心智上的可构造性”，数学概念和数学推理才能“十分清楚地呈现在我们面前”，才能“对于思想来说是如此地直接，而其结果又是如此地清楚，以致不再需要任何别的什么基础了”。因而构造是直觉主义数学的一个极为重要的特征。事实上，构造是直觉主义下定义、确定数学对象的存在性、进行数学运算和证明以及从事数学创造的方法，也是直觉主义制定数学命题的真理性和数学概念等的可接受性的准则。换句话说，一个数学对象的存在仅当它可以被构造，存在命题被证明仅当它能提供寻找或构造存在对象的方法，一个关于所有自然数的命题是真的仅当以生成这自然数序列的法则为依据可判定此命题为真。
在这一点上，克罗内克主张以构造方法和有限的步骤去检验数学研究的对象，对于存在性证明包含的量应当能够计算到任意的精确度。彭加勒也坚持数学中所有的定义和证明都必须是构造性的。
布劳威的思想更为彻底。他强调数学思维与经验世界无关，它完全以时间直觉和数学直觉为基础，用构造性程序来建立数学王国，通过有限次创造有限序数和无限序数W就能发展出包括构造的集合和构造运算在内的任何数学单位的集合。
海丁进一步发展了布劳威的思想。他认为数学限心智，思维能创造实体。“借助构造一个实体，另一个，再另一个，等等，我们在心中创造自然数”。“这种构造最重要的构件是一个清晰直观的概念，它是整数列所依据的构造原则。”由于每一个关于自然数的陈述或定理都具有形式：假设构造A已完成，那么我们也能完成构造B。所以海丁认为，有了自然数，只要引入概念“假设创造”以及适用于这一假设创造的一般构造方法，再结合另一个构造就能产生一个新的构造，或者说就能产生或证明关于自然数的陈述或证明，从而也就能建立起作为全部数学基础的算术理论。
以数学等于被构造为武器，直觉主义向传统数学全面宣战，它要求以构造性这把剃刀剃去一切非构造性的内容和方法，其中受到直觉主义批评最激烈的是实无穷的概念和形式逻辑中的排中律。
对直觉主义来说，无穷的存在仅仅意味着可以给出构造的方法或有限步骤定义的一个有穷集合大于给定的无穷。因而直觉主义反对康德的实无穷观，而赞同亚里士多德的潜无穷观，即反对完成了的无穷，而赞成处于不断创造过程中的无穷。直觉主义认为，把自然数看作一个整体没有直观性和显然性，其它一切实无穷集合也同样如此，真正直观、明显、具有真理性的无穷应该象自然数的形成那样，“数目的序列，它会增长超过任何一个已经达到的阶段……它是一簇开向无穷的可能性；它永远处于创造的状态中，并不是一个本来就存在着的封闭王国”。对于数学操作或运算来说，无穷同样既非直观，而且也不可行。波雷尔、阿达玛、勒贝格之所以都反对选择公理的原因也正在于此。至于排中律，直觉主义认为它仅适用于可以经过有限步骤达到结论的情形，对于无穷集合就可能存在既不能证明其真，亦不能断定其假的不可判定的命题。作为对排中律拒斥的一个必然结果（也是构造性标准的结果）直觉主义断然拒绝接受一切以排中律为根据的存在性证明。
三
直觉主义力图一劳永逸地解决数学基础问题的宏大抱负至今尚未实现，但它对数学和人类文化思想的发展仍然作出了不可磨灭的贡献。
首先，直觉主义提出的构造性和有穷性观点丰富了数学思想和数学方法的宝库，对数学的发展产生了积极的影响。布劳威重新构造了实数和实函数理论、集合理论和序数理论，并且避免了悖论的出现。海丁和比绍普继续了这一工作，特别是比绍普的研究成果更令人瞩目，他完全运用古典数学家所认可的概念重建数学。鉴于逻辑主义和形式主义在数学基础工作方面遇到的麻烦，这说明直觉主义的方案可能比前两者更可取。现代数学中的可计算分析和严格有穷主义理论，数学哲学中的构造主义倾向实质上也源于直觉主义的思想。
其次，直觉主义指出了形式主义和逻辑主义的内在弱点，为建立牢固的数学基础作出了贡献。直觉主义认为公理化和形式主义的方法可以证明完备性和相容性，避免矛盾，但形式系统的相容性并未证明它的正确性，也得不到有数学价值的东西；而且思维永远不可能完全符号化，数学语言和符号不可能完全包容和精确刻划人类的数学思维和数学构造的丰富性和多样性；此外并非所有的逻辑原则都是可接受的，集合论的堕落和原罪就在于把只适用于有限集合的逻辑规则应用于无穷集合。直觉主义对形式主义和逻辑主义的这些批评至少为如何建立牢固的数学基础指出了必须注意的问题。
再次，直觉主义在批判古典逻辑的基础上按照自己的原则创立和发展了直觉主义逻辑，并使其成为现代逻辑中生气勃勃的和有实际应用价值的一支。直觉主义逻辑体系的特征之一，是拒斥了排中律，这既包括可能导出排中律的公理，也包括建立在排中律基础上的一切命题；特征之二是摒弃了双重否定律的前半部分
。因为假命题的虚假性并不等于真命题的可证性，“荒谬之荒谬并不就是真理”。经过数十年的发展，直觉主义逻辑已经有了广泛的实际应用价值。正如莫斯托夫斯基所指出的，在今天，直觉主义逻辑是众多非古典逻辑中唯一被科学家实际使用的逻辑，也是被推广到命题逻辑和量词逻辑之外而用来叙述数学的某些部分的逻辑。
第四，直觉主义逻辑的建立和发展促进了数学和逻辑的发展。形式化的直觉主义逻辑的建立导致了若干重要的元数学定理的发现，其中包括哥德尔发现的只要定义新的联结词就可以使古典逻辑在直觉主义逻辑中获得解释，某些基于古典逻辑的公理化理论可以在基于直觉主义逻辑的公理化理论中获得解释。而直觉主义对排中律的分析和批判则打破了古典二值逻辑的一统天下，为多值逻辑真正诞生和顺利发展辅平了道路。
以上笔者简略地叙述了直觉主义的思想渊源、特征和贡献。就其特征而言，笔者认为，直觉主义把数学看成是与客观世界无关的心智创造的结果的观点是主观唯心主义的；它把直觉作为数学的基础和源泉具有明显的经验主义倾向；它强调构造性和有穷性的思想包含有唯物主义的因素；它仅仅注意到了潜无穷与实无穷的对立，而未看到两者的统一关系，这种思维的片面性使它付出了惨重的代价。它拒斥了实无穷，同时也取消了与实无穷相关的诸多数学成果；此外，它全然否认语言和形式符号在数学发展中的作用，并认为语言和逻辑仅仅是数学的应用的看法也与数学发展史实相悖。事实上，语言是思维的外壳，逻辑是思维的规律，离开了它们，不仅数学思维难以展开，数学本身也将无从发展。
注释：
①亚里士多德：《物理学》，商务印书馆，1982年版，第85页。
②《西方哲学原著选读》，商务印书馆，1985年版，第139、140页。
③转引自李志逵主编：《欧洲哲学史》（上卷）中国人民大学出版社，1981年，第212页。
④《十六──十八世纪西欧各国哲学》，商务印书馆，1975年，第502页。
⑤⑥⑦洛克：《人类理解论》，关文运译，商务印书馆，1962年，第173、175、178页。
⑧康德：《导论》，庞景仁译，商务印书馆，1978年版，第42页。
⑨参考西方《哲学名著介绍》（下册），华东师范大学出版社，1980年，第283页。
⑩(11)叔本华：《作为意志和表象的世界》石冲白译，商务印书馆，1982年版，第104、107页。
(12)彭加勒：《科学的价值》，李醒民译，光明日报出版社，1988年版，第374页。
(13)A·Heyting,Intuitionism,An Introduction,Amsterdam,North-Holland,1956,第78页。
(14)P.Benacerraf and H.putnam ed,philosophy of Mathematics,prenticc-Hall Inc,Englewood Cliffs,New Jerscy,1964，第8页。
(15)林基水主编:《数学哲学译文集》，知识出版主，1986年，第36页。