解题反思：内涵理解与实践探索，本文主要内容关键词为：内涵论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
著名数学教育理论家波利亚曾经强调：数学教学的本质在于使学生学会解题[1]。他结合自己数十年的教学与科研经验，提炼出了分析和解决数学问题的一般规律和方法，明确了“怎样解题”的4个步骤：弄清问题、拟订解题计划、实现解题计划、回顾反思等。为了经由解题提高数学素养，数学解题教学中不能忽视解题“回顾反思”这个环节。从某种意义上说，解数学题没有回顾反思就没有进步。本文拟对高中常规性数学问题教学如何落实解题反思进行初步的分析说明。
一、数学解题反思的内涵理解
在我国古代，读书、学习要“反求诸己”、“扪心自问”、“吾日三省吾身”、“笃学善思”、“熟读深思”，这些要求的本质是强调反思。那么从今天的观点看，什么是反思？就数学解题而言，所谓的反思其内涵又是什么呢？综合相关研究，可以发现，关于“反思”的理解主要有如下几种观点：(1)反思是一种心理活动，这种观点认为反思是自觉地把自己的活动过程作为认识对象的认识活动，是对思维的思维；(2)反思是一种认识论方法，这种观点下的反思是对于认识结果的观念的再认识和对于这种再认识之观念的再认识，这种理智向着认识深度不断推进，思维的结果是反思的对象，获得新的观念是反思的目的；(3)反思是一定的问题情境下，以审视或批判的态度，对呈现在自己面前的任何思想观念进行的积极主动、坚持不懈和细致缜密的探究性思维活动；(4)反思是一种自我反省过程，是一种带有批判性和创造性的思维活动，是以追求理性为目的的自我意识，即元认知；(5)反思是一种能力，这种观点认为反思是立足于自我之外的批判性地考察自己行动及情景的能力，它与思维的批判性是一致的。不难看出，尽管在不同时期和不同场合人们理解和应用反思的含义不同，但对反思所思考问题的角度以及反思的对象和反思的目的的认识是共同的，即反思的对象是思维本身，而反思的目的是为了指导未来的思维活动。
数学解题活动是一个由联想所学知识，运用数学思想方法，确定解题切入点、监控解题调节点，审视解题反思点，不断由低级向高级逐步抽象的复杂的心理过程，因而解题者在解题过程中的思维活动应逐渐由数学知识、思想方法这些相对具体的层面，向数学观念、解题策略等更为抽象的层次发展[2]。而“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心动力，是一种积极的思维活动和探索行为，是同化，是探索，是发现，是再创造”（弗赖登塔尔），只有通过积极、有效的反思才能使解题者从更高观点、更宽视野、更理性眼光去思考数学问题、领悟数学哲理。在数学解题教学实践中，具有反思意识的教师能够对师生解题过程中的行为表现及其行为之依据的“异位”进行解析和修正，获得不同于感觉所得来的内部经验，使师生数学解题的实践认识得以升华，境界拾级而上，行为渐趋合理，并达到经由解题实践提高数学素养的目的。解题教学中，倡导解题反思可以促使解题者避免就题论题的低效学习行为，深化数学理性思维。上海市普陀区教育局王华老师认为，解决数学问题有三种境界：就题论题，就题论法，就题论道。就题论题，只囿于题目本身，问什么答什么，不论方法，不思变式；就题论法，通过题目这个载体，思考解题的一般方法，明确建立能够举一反三的通法；就题论道，不只学习一般的解题方法，而且由联想推广到一般结论，力争找出反映问题本质属性的规律[3]。但就现实而言，由于缺乏反思的自觉，更多的师生至今依然在题海战术的泥沼中苦苦挣扎，不能不令人心痛！为了能达到就题论道的境界，数学解题实践中不能没有反思——比如：为什么这么想？这个问题的本质是什么？这类问题的基本解法是什么？有哪些方法路径？哪种方法更具有一般性？关键在哪里？自己打算如何解这道题？解题过程中如何防范和克服差错？自己是如何进行解题过程监控和调节的？当前数学问题的特征是什么？所获数学结论有哪些运用前景？问题及其解答涉及到哪些数学知识、思想方法？思考过程、理解过程、推理过程、运算过程可否优化？如何结合问题及其解答进行模型化、结构化的系统思考？正是在上述意义上，不难看出数学解题反思内涵体现在它不仅指向当前解题行为及实践经验的反省，而且是联系着过去并指向未来的解题实践活动，本质上是解题者在解题实践活动中获得自反性元认知思维能力和探索活动意识，是自我意识在逻辑思维、直觉思维高层次中的进一步凝结与发展，是对数学解题实践活动多维度的反向思考。显然，这种反向思考既是一种心理活动（思维活动）又是一种实践行为，它不仅涵盖着解题理念、方法原则和过程策略等诸多方面，而且体现了解题者本人面对数学问题时所反映出的主人翁态度，可以更有效地获得、拥有和改善数学解题的实践性知识。
二、数学解题反思的实践探索
近年来，本人从如下几方面进行了数学解题反思的实践教学，有效地提高解题教学的质量和水平。
(1)寻找漏洞
这个解法很妙，先是将1用abc替代，后来又用到了abc用1替代。表面上看，解这道题的关键是“1的妙用”，解法技巧性很强，好像想到了就会做，想不到就不会做。但是，如果对这个解法本质进行深入反思，则不难发现，就目的而论，1与abc之间的相互替代无非是为了消去a，最后将所求的式子转化为只含有b、c的式子，即千方百计将一个三元代数式转化为一个二元代数式，这应当看成上述方法的本质。基于这种本质的认识，本题还可以用更朴素、更一般的方法来解答：
。
更一般地分析，对于代数式的条件求值问题，我们应当如何解答呢？我们可以把千变万化的题目归结为如下两种类型的题目：一种类型是“已知x=a，y=b求含有x、y的代数式的值”，这种类型解法比较直接，也比较简单，直接代入即可；另一种类型是“已知含x、y的方程A，求含有x、y的代数式B的值”，这种类型问题的解答，我们可以根据具体题目特点，确定相应的解法，大致可以归纳为：(1)变已知法，即根据所求式B的特征把已知式A变形为A′（A′的左边是含x、y的代数式，右边是0或常数），再把A′整体代入到所求式B中，求得B式的值；(2)变所求法，即根据已知式A（A式的左边是含x、y的代数式，右边是0或常数）的特征把所求式B变形为B′，使B′中含有A式的左边，再把A整体代入B′，从而求得B式的值；(3)两头挤法，即同时变换已知式与所求式，观察已知式A和所求式B的特征，将A式变形为A′（A′的左边是含x、y的代数式，右边是0或常数），把B变形为B′，使B′中含有A′左边的代数式，再把A′整体代入B′中。当然，在解答该类问题的最后，还应当注意对结果进行验证，对解法进行必要的提炼。
(3)分析特征
类似的问题还很多，只要能够注意从不同角度、不同方面、不同层次去思考问题、认识问题和解决问题，反思题目特征，将有利于选择最佳思路、最简捷方法，优化解题策略，也有利于巩固所学知识，培养和发展思维的广阔性、灵活性和创造性。
(4)反思求变
一个问题解完之后，回头看题目本身，常常会有深一层的认识，譬如：条件有没有多余？结论可不可以加强？结论可不可以推广？如果条件发生某些变化，会不会影响结论成立？经常进行这样的思考，将有利于增强解题者的能力。例如，有这样一道习题（源于教材）：已知AB是抛物线
的一条过焦点F的弦，
，求证：
。我们可以立足于问题结构进行必要的反思，并因此将原题进行一系列的变化，通过对问题结构的变化，使学生认清有关焦点弦的问题中曲线的定义、直线与曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系、图形的几何特性等内容之间的关系，从而全面系统训练抛物线焦点弦一类问题的求解，掌握问题内在结构和一般方法，把握问题本质和内在规律。
变题2：设AB是抛物线的一条焦点弦，O是原点，l是抛物线的准线，若点A在l上的射影是点C求证：B，O，C三点共线。
变题3：设AB是抛物线的一条焦点弦，O是原点，l是抛物线的准线，连接AO并延长交l于点P，连接BO并延长交l于点Q，求四边形PQAB面积的最小值。
变题4：设AB是抛物线的一条过焦点F的弦，(1)求证：
为定值；(2)求AB中点M的轨迹方程；(3)求原点O在AB上的射影点N的轨迹方程。
变题5：设AB是抛物线的一条过焦点F的弦，CD是抛物线的任何一条弦。求证：AB不可能是CD的垂直平分线。
变题6：设AB是抛物线
的一条过焦点F的弦，若抛物线上存在点C，使△ABC为等边三角形，求直线AB倾斜角的取值范围。
一般地说，习题变式的具体操作方法很多，比如，从题目形式入手可以有：变化条件、变化结构、逆向调换条件和结论；从题目条件结论之间的逻辑关系入手可以有：类比、强化、弱化。除此之外，还有同一种解法（或者体现了同一种思想），但涉及了不同的知识点的若干命题组合在一起（多题一解、多题归一）的广义变式。
(5)悟错省理
学生在解题过程中可能会出现形形色色的错误，为了纠错，教师应当通过引导学生学会悟错省理，即通过必要的反思，找出自己解题出错的原因，探究改错的方法，提出防范的措施，拓展解题的思路，并及时使自己的知识系统化，提升自己的理性思维水平。例如，在学习了不等式后的单元复习时有这样一道题：
如何引导学生发现自己的错误呢？
对于错解1，教师可以提问学生：解法中用了基本不等式，何时取“等号”？（生：且当仅当a=m，b=n时取“等号”）这时会出现什么情况？（生：取“等号”时会出现4=9，矛盾！）为什么会出现这样的错误呢？（生：因为两次用了基本不等式，涉及到两次取等号，但两次“等号”不能同时取到，所以按这种解法，am+bn的最大值
取不到。）在此基础上，师生可悟得如下道理：求最值时若多次运用基本不等式应注意等号能否同时取到，它能够帮助我们在解题的过程中及时地调整自己的思路
对于错解2，教师可启发学生反思：解法中没有运用基本不等式，又错在哪儿呢？（生：解法2中两次运用“完全平方非负”进行放缩，同样的道理，两次“等号”不能同时取到。）
反思了致错原因后，可再进一步回到探析问题求解目标的基础上，通过将条件进行必要的整体处理后再使用基本不等式，为此可以有多种解法。
