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中图分类号：O1-0 文献标识码：A 文章编号：1008-7095(2009)06-0041-08
概率论是17、18世纪欧洲思想和文化的产物，其每一概念和方法的提出和进展几乎都受到当时盛行的价值观、社会思潮和所拥有的社会资源的影响。在这方面，概率论中期望思想的发展历史提供了一个典型的案例。对它在17和18世纪的历史作一些研究，就会发现这个议题涉及启蒙运动时期的人们在所有领域中对清晰性和确定性的态度和希望。在这个过程中，他们遇到的一些困难以及他们对这些困难的回应，为审视数学的发展与社会文化之间的关系提供了一种具有启发性的视角。
一、早期期望思想的法律与经济含义
作为一种系统的数学研究，概率论产生于17世纪，其肇始的标志是1654年两位法国数学家帕斯卡(Pascal)和费马(Fermat)围绕着对赌博中一个点问题的探讨而展开的通信。所谓“点问题”是指当游戏在完成前被终止时，怎样处理两名技能相当的游戏者的赌金分配问题。例如，假设甲乙两个赌博者每人出32个比索的赌注，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的赌注——64个比索。在游戏进行到甲选择的点数出现了2次，乙选择的点数出现一次的时候，游戏不得不停止，他们该如何分配64个比索的赌注呢？[1]
帕斯卡和费马对此给出了各自的解答，一般认为，从以后概率论的发展状况来看，帕斯卡的方法更具有影响力。帕斯卡认为不管游戏的结果怎样，甲至少应得总数的二分之一，即32个比索。所以，不确定的期望只涉及另一半，此时，甲还有百分之五十的可能赢得另一半，所以，公平的分配应是甲分得自己的期望：32+1/2·32＝48(比索)，乙应得16比索(不确定的32的一半)。在这个问题的解法中，帕斯卡分析的中心点不是概率及其相关的值计算，而是两个赌博者的期望和公平。
帕斯卡和费马的信件直到1669年才出版，第一本关于概率理论的出版著作是由荷兰的物理学家惠更斯(Christian Huggens,1629-1695)于1657年出版的名为《论赌博中的推理》。在这本小册子中，惠更斯明确地提出了一个概念：在赌博中获胜的“运气的值”，这实际上就是以后所称的“数学期望”，他说：“我以这个假设开始：在游戏中必须赢的几率有一个值，如果你拥有了这个值，在一个平等的游戏中你就可以获得同样的机会，那就意味着在这个游戏中对所有的人都是公平的。”[2]显然，对于惠更斯来说，一个公平的游戏就是每一个参加者都具有相等期望的游戏，游戏不能对花代价进入风险的任何人不利。如果游戏是公平的，参加者必须情愿地交换他们的期望。惠更斯给出的其它一系列的证明也是建立在对一个公平的合同的直觉理解上的。现在概率论中用概率的术语来定义期望，而惠更斯则隐含地从期望导出概率。因为游戏被假定是公平的，所以概率是相等的。“关于期望推理的现代顺序被颠覆了：并非因为对所有参加者概率是相等的，游戏就是公平的，而是因为假设游戏是公平的——因为参加者的条件是没有差别的，就像由他们情愿交换条件所显示的那样。”[2]
所以，尽管由帕斯卡、惠更斯等人所启动的这门新知识被称作为概率的演算，但是严格来讲，他们提出的是期望的演算，而并非概率的演算。数学概率最早的表述以及由其实践者所提出的问题几乎都是借用期望的术语而表达的，或者至少可以被理解为平等的期望的术语。为什么帕斯卡、惠更斯等第一代的概率学家们选择了期望而不是概率作为他们理论的基础？这种对于期望的重视源自于他们那个时代的法律和经济的影响。16、17世纪西欧的商业气氛的日渐浓厚，于是法律和宗教界展开了关于是否应将商业中的冒险从宗教禁律中免除，以便应合关于赌博和高利贷的讨论。这种讨论使得人们将焦点聚集在与运气有关的一些合同公平上，这种合同涉及游戏、年金、联合投机险等具有风险的事宜，合同的公平依赖一种不确定的未来前景。这个议题早期发展的大部分内容关系到期望，这是关于未来收获价值的一个数字，而不是概率本身。
早在罗马时期，投机性合同(aleatory contract)，即涉及不确定性因素的所有协议被纳入罗马教规的体系中，成为法律合同的一个被认可的分支。这种形式的合同吸引了16、17世纪以来一些重商主义的辩护士们。根据格劳修斯(Hugo Grotius,1583-1645)、托马斯·霍布斯(Thomas Hobbes,1588-1679)、赛缪尔·普芬道夫(Samuel von Pufendorf,1632-1694)、洛克等人的论证，那些参与到巨大风险中的人理所当然地拥有一定的利润，这就是在贸易中为人所知的“风险的价格”。但是，并没有固定的数学法则可以把风险转化成补偿。由于缺乏某种共识或者数学的法则，亦缺乏可靠的、完善的统计学，法官、商人和神学家们在谈判中反复地争论类似如下的一些问题：“考虑到不确定性，怎样才能做到得以偿失？”等，在对于这样一些问题以及其它问题(如彩票、赌博等)的探讨中，合同法最关心的是如何规定这些投机性合同的所有参与者之间的条件平等。格劳秀斯认为，合同“旨在促进人类之间的利益交流”，因此公平的合同也就意味着条件的平等。这样，焦点就集中在保证期望公平上：如果一个契约中的所有合伙者或者参加者对于结果拥有平等的期望，那么这项事业就是公平的。所以，正是相等的期望，而不是赢输的概率保障了一个契约是公平的，从而也使得风险计算成为一个可操作的法则。正如法国法学家多马(Jean Domat,1625-1695)所说：“在赋予平等的条件之下，人们共同拥有事件的不确定性和相同的权力，这种状况也使他们的契约公正平等。”
赌博游戏也属于投机性合同所涉及的事宜，激发帕斯卡和费马通信的点问题就是法律期望的一个典型的问题：怎样公平地分配一场未完成的赌博的赌注。上面所引用的惠更斯对期望的定义是用一种公平交易或合同的术语而表达的；“在一个公正和平等的游戏中”，相等的期望是那些能够与另一方相互交换的东西。
因此，早期的概率期望承袭了当时常用术语“期望”的两种不同的定性的含义[3]，一是人们对于法律中公正的期望，另一种是源于经济学中的公平获利的思考。这两种关于期望的视角——法律的和经济的，一个与公平有关，而另一个与利益有关，两者铸造了尚未成熟的概率的早期数学理论。从1654年概率论最早形成直到1812年拉普拉斯的《分析概率论》的出版，法律的平等和经济的谨慎在不同的方向上推动了数学概率中的概念的发展，使得期望成为这个学科早期发展中的一个中心概念，而期望的这两重含义也使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁，并将概率论与理性和道德科学的启蒙观念联系在一起。
二、期望与理性
启蒙思想的重要特征之一就是认定“理性”(reasonableness)是人的本质，并且坚信人类的历史就是理性不断启蒙和理智力量自我发展、人性逐渐走向完善的历史。这种思想深深地扎根在17、18世纪间在欧洲广泛传播的理性主义精神氛围之中。理性主义者认为人的推理可以作为知识来源的理论基础，这种观点是随着笛卡儿的理论而产生和传播的，笛卡尔相信永恒真理(包括数学以及科学的认知及形而上学基础)可以单纯靠推理得到，关于物质世界的知识就可以从这些永恒的真理中推演出来，就像欧几里德的几何学那样被严格地推论出来。
然而，17世纪以来持续不断的宗教和哲学的争论带给人们这样的一种感觉：确定性是不可能的。在难以控制的不确定性的条件之下，许多人开始接受以洛克为代表的经验主义观点，即人们在生活中的实际判断不是基于确定的知识，而是基于从经验中得来的概率性的知识。“人是不能够像上帝那样从确定性的知识出发而行动的，作为堕落者，人仅仅获得了概率性的知识。人是由源自经验的概率性知识的引导而行动的。”[4]185所以，大多数的人类决定是在“昏暗的概率”中做出的，而不是在确定性的灿烂阳光中做出的。这种理解势必也蕴藏着对传统的基督教信仰的怀疑和威胁，许多思想家无意让自己的思想成为摧毁传统基督教信仰的工具，他们希望能够寻找一条怀疑论者的经验主义和笛卡儿及后继者严格的理性主义的中间道路。在这些温和主义者中，著名的是一些皇家学会的神学家们，例如，罗伯特·波义尔(Robert Boyle)，约翰·威尔金斯(John Willkins)等。他们认为，如果没有启示的帮助，而只承认数学的或“形而上学的”确定性可能超越了人类智力所达到的范围。这些护教者们亦主张只有理性的信仰才是合理的——不管是对宗教的、科学的、还是其它的信仰，因为缺少了理性，日常生活将会是不可思议的。他们认为信仰是实用的和有效的，同时信仰也是精神的和冥想的。波义尔注意到尽管建立在概率知识上的道德论证不能够自称具有形而上学的，甚至较低级的物理的确定性，它们“仍然是最可靠的向导，人类的行为，即便不是深思熟虑的行为，也通常是遵循着它们的。”这是人的理性对于具有确定性的“上帝理性”的反应。在理性的这个新的定义中，一个假说的证明无需具有一个数学证明那样的完全严格性，就像欧几里德几何的一个定理。他关心的问题是确定性的一个特定等级，一种适度的宗教信仰，以使得一个理性的人会接受它，并在他或她的日常生活中依据它而行动。这样，宗教信仰的问题就不是一个严格的证明问题，而成为一个充分见证的问题了。用波义尔的话说就是：“一定程度的证据可以合理地认为是充分的，以使得基督宗教的思想适于被人们接受。”根据这个实用主义的标准，即使最坚定的怀疑论者都暂停了他们的怀疑。[5]
护教者们把日常生活的这个“实用的理性”作为所有信念的标准：我们必须相信所有充分可能的事物，不管它是万有引力定律、上帝的存在、还是税赋的永恒性，唯有如此，才能激励理性的人在其日常的事务进程中采取行动。“可能的”一词对于护教者们意味着“最高的期望”。波义尔等人认为人们在生活的每一方面，从商业到宗教，最理性的做法就是将自己的期望最大化，不管是判断上帝的存在，还是断定航行至东印度群岛成功的实际概率，都必须依据可能的得失的量而断定。波义尔宣称的“谨慎支配”认可了根据期望进行的推理：所有理性的人都会同意：为了拯救生命牺牲一条被坏蛆感染的肢体、当感染天花或其它致命的疾病时要求助于一个未经证实的治疗法、为了一个巨大的收益前景投资一个有风险的商业冒险，这些或许是最明智的选择。所以，正是期望而不是概率吸引了护教者们，帕斯卡赌注就是根据期望进行这种推理的一个范例。
1669年，帕斯卡在他的《思想录》中论证到：“我们既不知道上帝的存在，也不知道上帝的本质。然而我们将倾向于哪一边呢？……，这里进行的是一场赌博，……让我们来权衡一下在上帝存在的赌注中的得失。让我们估计这两种可能性，如果你赢了，你赢得所有；如果你输了，你却一无所失。因此，你就不必迟疑去赌上帝的存在吧。”[6]对帕斯卡赌注的分析可用下表作进一步说明：[7]
在这里，帕斯卡把接受或拒绝基督教信仰的决定翻译成了期望的语言，既然所有的人类知识在本质上都是不完善的，人不得不依据不完善的知识而行动，那么，在不确定的情况下所要做的理性之事就是使自己的期望最大化。“智慧地行动的他是一位彻底地谨慎之人(prudent man)，这样将会使他以防一切偶然之事，不管发生什么，他都将谨致细微地去确保最重要的机缘。”[8]与那些“只是冒失去其活力”风险的信徒们相比，无神论者的冒险更大，因为他们会因轻率而冒失去“永恒的利益”的风险。所以，相信基督教比拒绝基督教是更为理性的选择，基于这样一种推断的信仰并不与理性相矛盾。
17世纪后半期帕斯卡赌注在英国和法国广泛流行，他与波义尔等人所阐释的“谨慎人”思想显示了这个时期概率论和宗教的许多特点，尤其促使了期望的思想在理性推理中的作用被广泛认可。正如Daston所说：“期望使得将平凡的日常生活的确定性与宗教和自然哲学的问题中可达到的确定性进行对比成为可能。所有的人可以对在实践的情景下构成审慎行为的成分达成一致，那种行为有能力引导涉及不确定的所有决定。期望的概念将审慎的和可靠的判断划归为一个普遍的可以应用于更加深奥的事物的度量。……期望只不过是用数学术语表达的理性。概率演算采用了由波义尔等人所应用的期望的预设含义——期望是合乎理性的判断(good sense)的测量。在概率期望的形式中，理性可以被应用到由于缺乏清晰的信念标准而使争议占统治地位的领域。所以，期望的计算就成为达成共识的一种演算。”[2]
就这样，期望以及与之有关的概率演算与公众的理性和判断力联系在一起。拉普拉斯在其《概率的哲学探讨》中总结道：“概率(期望)，归根结底就是将理性的判断划归为一个计算；它使我们感激精确性，即通过某种本能感受到的这种精确性的思想，但又常常不能说出这种精确性的原因。”[9]
三、期望与道德科学
18世纪的道德科学大约对应着后来的社会科学，两者具有许多共同的方面并且也具有历史的连续性。但是两者的突出差别是在分析的对象和单位方面。道德科学不仅寻求能够描述和理想化地预测心理学和社会现象的形式化理论，而且还承担了为理性思想和行为建立标准的责任。重农主义者们公开宣称寻求统治社会领域的“自然定律”，他们以一种非常不同于一个物理学家的方式来理解这些定律，他们认为对于物理定律的服从没有选择的余地，而对于道德领域的定律的服从则是自愿的、可选择的。18世纪的道德科学研究选定在一群“在处理事务和各种行为中以富有经验和智慧而闻名的人们”，这些被称为“理性人”(hommes éclairés)的个体的举止和行为是道德科学研究的主要目标，目的是得出一些明确的规则来引导资质平凡的大多数人。这种视角是心理学和个人主义的，也是描述性的。这些理论中所描述的社会只是一些个体的集合，带有从他们本身的角色推出来的一些特点。
对于18世纪的实践者，对于由道德科学所探求的理性的个体的思维过程的分析，古典概率论看起来是唯一合适的数学工具。通过将那些具有理性的精英行为的一些法则编撰成典，概率学者希望这些精英的理性法则为所有人所接受。而当被理解为工具的数学结果与这些理性的判断相矛盾时，数学家们就用启蒙的观念转而去尝试重新安排数学的结果。概率学者认为数学的理论只有描述理性并使之系统化，而不是控制和支配理性。
“理性人”的判断和推理成为所有理性信仰和行为的度量标准，但是，在世俗的事务中表现得如此理智的“理性人”这一关键的概念却没有精确的定义。“理性”的含义在这一时期亦历经几次变化，关于概率期望思想的争论依赖于“理性”这个词的模糊含义一直贯穿于概率学者的讨论中，关于概率期望的定义的争论的历史就成为数学家们试图调整期望的定义以便使之与理性的变迁并驾齐驱的历史。[5]
要理解概率的理论为什么对来自数学以外的压力如此敏感这种现象，还必须求助于启蒙时代人们对于数学的本质的理解。当时的数学被认为是自然科学的一部分，数学包含了关于物理世界的各种现象本质的理论，所以被称为混合数学。对于混合数学家来说，数学是对自然和社会的描述，这意味着在一类给定现象的重要特征和描述它的数学的模型之间必须获得即使不是完全的、也必须是近似的一致。如果数学的描述明显地偏离了现象，那么混合数学家就要义不容辞地修改他们的理论，和月球运动的数学理论一样，数学概率也是可以修改的。18世纪的概率学者把概率论理解为对人的“理性”的数学描述，所以，要接受启蒙学者们的实践观念和行为经验的检验。
当数学结果与理性的判断，尤其是与理性的理解相抵触时，18世纪的概率学者们就急切地重新检验他们的前提和证明，不断地对期望的定义与有关的理论进行修订和调整，以使之在法律、经济、或者心理学中的应用更有效。在这个过程中，对于一个著名的彼得堡(Petersburg)悖论的争论起到非常重要的作用。
尼古拉·伯努利(Nikolaus Bernoulli，)于1713年在给皮埃尔·蒙特莫特(Pierre Montmort)的信中提出一个问题：甲乙两人开始玩一种掷硬币的游戏，游戏的规则是：甲掷硬币，如果第一次掷硬币就出现正面，那么乙付一个先令给甲；如果在第二次投掷中才出现正面，则乙付两个先令给甲；如果在第三次中才出现正面，则乙付甲四先令；在第四次中才出现正面，则付给甲八先令；以此类推。为了使游戏对于两名选手都公平，在游戏开始前甲将多少钱预付给乙(甲的赌注，或称参加费)，才能使这场游戏为公平的？1738年，丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli，1700-1782)研究了这个由他的哥哥首先提出的问题，并在彼得堡科学院的《进展》杂志上发表，从此这个问题就以彼得堡悖论而著称。[10]
基于当时的理解，游戏若是公平的，甲的赌注应该等于他所赢得的数学期望。根据数学期望的定义，A的数学期望是：
这是一个无限大的数。因此，甲必须预付无限多的钱给乙。这个计算结果显然是荒谬的，没有任何一位理性的人愿意付很多的钱参加这种游戏。而实际的情况却是甲每次只需预付比较小的参加费，即可以使这个游戏是公平的。
这个问题之所以被称为悖论并不是因为有效的假设和方法与所推导出的数学结果产生矛盾，而是因为标准的数学分析的结果显然与常识相抵触。在对这个问题的讨论中，人们认为期望的定义是这个问题的核心，所以，令人满意的解决方法是必须用理性人的观点来重新定义期望。
1738年丹尼尔·伯努利提出要区分两种意义上的期望：一种是“数学期望”(mathematical expectation)，另一种是“道德期望”(moral expectation)。数学期望对应着传统意义上的期望——事件的值与事件发生的概率的乘积之和。丹尼尔·伯努利注意到：数学期望的这种标准定义是基于一个等可能性的假设——每个参与者都冒着相同的风险，所以应具有“尽可能满足其愿望”的相同前景，这个概念忽略了游戏参与者的个人具体情况。这样，伯努利就把“数学的”期望与投机性合同的法律内容联系起来，依靠一个确定的数就平衡了不确定的期望。数学期望就将法官在从参与合同的各方而获得的直觉公平量化了，保留了合同法的术语和目标。
丹尼尔·伯努利的“道德期望”认为必须考虑到参与者的个人背景，以及从结果中所获得的满足度。即道德期望是每次结果所产生的效用(utility)，这种效用会随着不同的参与者而不同。丹尼尔·伯努利把道德期望定义为“平均效用”，即每次结果的效用与其概率乘积之和。他举例说：一个穷人如果有百分之五十的可能赢得20，000达克特(ducat,当时流通的货币)，那么在抽彩中如果不抛出他的9，000达克特的彩票就是傻瓜。相反，一个富有的人在相同的情况下买进相同数目的彩票则是明智的。总之，人从冒险行为中所得到的利益必须顾及参与者的财产、环境和他们的能力等个体的因素。道德期望是对期望的一个经济学角度的解释。
达朗贝尔也对这个问题进行了论证，但是，他反对单纯地基于道德期望之上的论证。他认为，尽管伯努利关于游戏者的财产、环境和他们的能力等因素的思考使得概率论的某些结果更为精致，但是这样就把人类的冒险行为过于简单化了。他认为严格的数学理论未必一定可以应用到自然的物质世界中。理性的判断有时会与数学推理不一致。从物理的角度来看不可能连续投掷出一百次正面朝上，如果这种现象确实发生了，一定是硬币有问题，而不是数学理论的正确。
尽管不满意伯努利对于古典期望的选择，达朗贝尔承认他自己也没有成功解释理性的行为，甚至在简单的赌博情况中。例如，一个可能获得巨大奖金的彩票，比如是一百万法郎，但是只有很小的赢得的可能性；比如是0.0001，而古典期望定义会为每一张彩票提供100法郎的诱人的期望。但是，谨慎将会劝阻这样的一次投资。对于达朗贝尔来说，这种在数学期望和谨慎之间的不和谐暴露了概率论中的严重缺陷，这种缺陷使得它不能精确地描述理性行为。
就像丹尼尔·伯努利和达朗贝尔之间的争论所表明的那样，法律的、经济的、甚至物理的成分都交织在理性和期望的概念之中。法国博物学家布丰又提出了一个心理的解释，在其《自然历史》的附录“道德算术”一篇中，布丰将确定性分成等级，从数学的“纯智力”真理到建立在大量的证据之上的物理的确定性，一直到较弱概率的道德确定性。布丰认为，人们在冒风险时做出的判断依赖于个体如何权衡希望赢和害怕输的心理，每个个体在一次冒险中看到的并非相同的价值。这是一个关于期望的心理学的标准，虽然它仍然与理性的行为和信念联系在一起。
在布丰之后，有更多的数学家参与到这个问题的讨论中，包括法国数学家孔多塞等。最后对这一问题做出总结的是拉普拉斯在其《分析概率论》的第十章中给出的。在这一章中，拉普拉斯把由丹尼尔·伯努利提出的道德期望的一些问题进一步从数学分析的技术角度进行讨论。他把数学期望看作道德期望的极限，不仅是财富的分配，而且对风险的分配也是如此，这是风险规避理论的萌芽。在这里，他重新证明了丹尼尔·伯努利曾经提出的三个定理：“即使公正的赌博也总是损失的游戏；”“化解风险总是有益的；”“投保是有益的。”[11]拉普拉斯关于这三个证明的结构总体上是一致的，主要是为了说明道德期望比数学期望的值要小。所以，拉普拉斯得出结论说：“……从数学的观点来看，即使是最公平的赌博也总是没有好处的。”在这里，拉普拉斯是想从道德期望证明机会性游戏的有害后果，以便为谴责赌博活动提供数学的依据，规劝人类远离赌博。他向政府呼吁制定一些培养“人类本性中最美好的趋向”的计划，以免使人陷入赌博的陷阱中，因为关于道德期望的研究表明，即使在公平的游戏中，清醒的思考或者说人的理性也起不了作用。
尽管拉普拉斯凭借基于道德期望的研究结果提出了这些有益的建议，但是达朗贝尔和其他人对于这个理论的批评和提出的反例还是为之投下了一丝阴影，所以，在对于道德期望理论应用于道德研究的有效性表示乐观的同时，他还警告道：包含越多心理因素的期望，其复杂性就越难以控制：“由一个期望和所获得的道德的进步依赖于涉及每个个体的无穷小环境，这些无穷小的因素是不可能被清晰地计算出的。”
彼得堡悖论作为对概率期望理论的一次实践检验的最终结局是不了了之。至19世纪中期，将道德科学数学化的其他尝试也大都失败了，数学期望在概率论研究中的作用已经发生了变化，正像道德科学已发生的变化那样。此时启蒙特色的道德科学已让位于社会科学的研究。道德科学的研究者相信社会整体或社会结构仅仅是来自于它的个体成分，关于社会整体的陈述能够依据对个体特性的陈述来解释，而不是把社会和文化作为他们分析的基本单位。他们对于人类现象的解释在很大程度上是心理学似的。相反，19世纪的社会学家们则更多地回避了对社会成分的心理学解释，而将研究的焦点转向社会的整体画卷，即在整个社会中寻求一些宏观的规则，他们经常关注的是一些描述诸如犯罪、自杀等一些非理性的社会整体现象的行为。随着这种社会思潮的转向，概率统计学家也就失去了他们的学科素材。更进一步，彼得堡悖论在概率论的数学理论中并未出现任何逻辑上的矛盾，而数学理论所导出的结果与现实结果的严重不符合导致了人们对概率论中期望应用价值的怀疑，进而导致人们失去了数学有效性的判断标准。于是，他们也不再把关注的焦点集中在理性的个体或者一些特殊的个体上，随之数学期望也就失去了其作为概率论的中心地位，而让位于统计分布和大数定律的研究。[12]
四、结论
期望在早期概率论的研究中处于一个中心的地位，此时它蕴含了法律和经济学中两种不同的定性的含义。此后，概率学者们对于期望思想的探讨显然是17世纪欧洲理性主义思潮和18、19世纪启蒙思想实践的一部分，这种实践试图把人类活动的所有领域都纳入理性法则之下，他们调整对数学的理解以便使之与“合乎理性的判断”不断变化的定义相适应，并且应用理性人的标准作为决策制定的一个标准。此时的概率学者们乐观地认为没有什么可以阻碍他们将概率理论应用于一切领域之中，尤其是借助于期望的思想和方法，除达朗贝尔之外，他们大都轻视了道德领域的复杂性。
然而，“合乎理性的判断”绝不是铁板一块的，它容纳了几种社会文化因素的解释：法律的、经济的、物理的和心理学的，等等。特别是在法国大革命后期，暴力和非理性使得区别审慎和鲁莽的行为成为极其困难的事情，那么，“什么组成合乎理性的判断”这一问题不再是自明的。随着理性人的逝去，到了19世纪中期，数学被理解为只是清晰表述理论的一个工具，不再是某些个体精英的理性的一种描述；社会理论学家的注意力从研究一些理性的个体的行为转向了整个社会的性质。此时，概率理论在一些定量化的社会科学中仍然起着重要的作用，但是在这种应用中，统计分布和大数定律取代了期望而成为了概率论的中心议题。
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