数学真理困境的自然主义实在论求解，本文主要内容关键词为：实在论论文,自然主义论文,困境论文,真理论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N02 文献标识码：A 文章编号：1674-7062(2009)04-0026-07
1973年贝纳塞拉夫(P.Benacerraf)在其论文“数学真理”(Mathematical Truth)中提出一个恰当的数学真理解释理论应该满足两个条件：(1)为数学与科学提供一致的语义学，即数学之为真与科学之为真应该满足相同的真值条件；(2)为数学与科学提供一致的认识论，即认识数学与认识科学应该依赖于相同的可靠性证据。在他看来，现有的真理解释理论都不能同时满足上述两个条件。数学实在论认为数学与其他的科学一样，都是客观存在的，是不依赖于人脑的意识而存在的。这种以类似的方法处理数学和非数学论述的真理理论，坚持数学命题应该与其他科学语言具有同一的语义学解释，所要付出的代价是让我们如何能获得任何数学认识这个问题成为不可理解的；而反数学实在论所提供的真理解释强调数学真理必须具有合理的认识论意义，提出把我们能够清楚地知道其存在的种种真值条件归之于数学命题的真理解释，但所付出的代价是不能说明这些真值条件如何能够成为语句的真值条件。作为关于数学知识的两种理论，每一种解释都只满足上述条件之一，而必然以放弃另外一个条件为代价，这一两难境地被人们称为“数学真理困境”。该困境要求把柏拉图主义和经验主义的认识论结合起来解释数学真理。把数学对象看成是独立于人脑而存在的客观抽象物，同时要求为如何能够认识到这些对象提供直接的经验证据，这显然成为数学实在论必须面对又无法克服的难题。作为后奎因主义的主要代表人物，玛戴(P.Maddy)为求解这一难题提出了自然主义实在论的策略。她试图改变传统柏拉图主义观点，以使人们能够为如何获得关于数学对象的知识提供说明。
一 自然主义实在论的理论基础
玛戴的数学自然主义实在论策略有两个理论来源，其一是哥德尔数学哲学思想；其二是在数学中彻底贯彻奎因的自然主义原则，同时对奎因的不可或缺性论证作出了进一步扬弃。在有机整合这两种思想的基础上，她选择了数学自然主义实在论的基本立场：折衷的柏拉图主义(Compromised Platonism)和双重认识论(Two-tiered Epistemology)。在她看来，可以用折衷的柏拉图主义与双重认识论相结合来满足贝纳塞拉夫为数学真理解释提出的两个条件。
(一)折衷的柏拉图主义
玛戴继承了歌德尔的三个观点：数学实体实在论、对认知数学对象能力的说明以及双重的认识论。哥德尔主张抽象数学对象独立于人脑而存在，认为人们借助直觉能力来获得对抽象对象的认知。他强调直觉能力不同于人们的视觉能力，是某种超感能力。人们对集合论对象的感知是在一种隐喻意义上的。任何数学知识都内在地得到证实，认识主体与认识对象之间具有直接的联系，因而对数学知识的证实不必作为不可或缺性论证的结论。哥德尔同时也承认借助直觉不能获得所有的集合论原则，从而提出一种双重认识论来加以说明。在他看来，“即使它(一个公理)根本不具有内在的必然性，应用另一种方式仍有可能决定其真理性，即通过归纳研究它的‘成功’——即其结论的丰富性，尤其是在‘能够证实’的结论中(即无需新的公理就可得到论证的结论)。然而，依靠新公理更容易发现这些结论的证明，而且新公理可以将许多不同的证明精简为一个。”[1]182在其双重认识论说明中，第一重认识论说明什么是基础的东西，如皮亚诺公理，我们通过对集合论对象的直觉可以获得对这类知识的认识；第二重认识论说明则可以解释那些不十分显然的东西，比如选择公理。
在本体论上，玛戴采取了与哥德尔一致的立场，她对数学和科学都坚持实体实在论态度。在她看来：“实在论就是认为数学是关于数、集合、函数等的科学，就同物理科学是对一般物理对象、天文学实体、亚原子粒子等的研究一样。”[2]2为了说明数学的客观性，她进一步指出，只相信数学对象存在还不够，唯心论者也会赞同这一点，因此还必须说明集合是独立于人脑而存在的。在形而上学的意义上，实体实在论既适用于科学，也适用于数学。在认识论的意义上，玛戴认为知识因果论同样适用于说明集合论公理，因为“柏拉图主义者的希望是：对人们感知一个物理对象的感官刺激模式的解释，同样可用于解释人们感知一个物理对象的集合的感官刺激模式。”[2]49人们可以通过观看和品尝苹果来获得对苹果的认识，与之类似，对集合的某些因果接触也可以提供与之相关的知识。她进而强调，日常对象对集合不具有优先性，因为世界先天就是物理和数学的。同特定的苹果能够例示“苹果”一样，独立于人脑的记号也能够例示“集合”。然而，哥德尔的直觉柏拉图主义与自然主义是相互抵触的。自然主义的基本原则是：科学是本体论问题的最后裁判；没有超出科学之外的断定某物“真正存在”的“第一哲学”标准。由此会产生质疑：物理世界中的人如何能够通过直觉获得关于抽象对象的知识？要消除这一疑问，玛戴就必须对传统柏拉图主义关于数学对象的描述进行修正，即像集合这样的数学对象是实在的，但不是在严格的柏拉图主义意义上的，而是具有与一般物理对象相同意义上的。从这个角度上讲，玛戴的实在论是一种折衷的柏拉图主义。
事实上，这种折衷的柏拉图主义是综合哥德尔式的柏拉图主义和奎因的自然主义的一种尝试，它可以有效避免单纯坚持其中之一而带来的不足。折衷的柏拉图主义一方面主张数学对象的独立存在性，另一方面把数学对象看作是类似于物理对象、可感知的东西。
(二)双重的认识论
在奎因自然主义的影响下，玛戴也成为一名自然主义者。然而，与传统的奎因自然主义不同，她反对不可或缺性论证，坚持一种彻底的自然主义。在她看来，数学是现代科学的核心基础，是同现代科学一样成功的理论，我们有充分的理由相信它的存在。不可或缺性论证为数学知识所提供的证实类型是外在的，即数学借助科学实践而得到证实，而玛戴认为数学真理的证实应依赖于对其自身对象的感知。不可或缺性论证只说明了应用数学的存在性，并不能对纯数学的存在性提供合理辩护。基础数学理论作为信念网络中理论性最强的一部分，不应由于它的“显然性”而被人们忽略，事实上对它的证实无论对于科学研究还是对于数学研究来说都很有必要。因而，应该为数学的存在性提供一种内在的证实标准，这是自然主义实在论与不可或缺性论证的不同之处。玛戴试图为数学的认识提供一种内在的证实，但她并未因此否认数学的可应用性。实际上，她不仅承认数学的可应用性，而且依靠数学的可应用性这一事实来反对形式主义。因此，她对不可或缺性的态度是双重的，在一个层面上支持不可或缺性论证关于数学可应用性的讨论，在另一层面上反对不可或缺性论证对纯数学存在性直接证实的缺失。需要指出，玛戴对数学可应用性的依赖是为了进一步论证其自然主义实在论的结论，而不是把数学的可应用性作为数学知识的证实依据。对此，她的态度非常谨慎。
从哥德尔那里，玛戴借鉴了其对纯数学的认知论证方式。这表明了她在认识论解释上所采取的双重认识论态度。玛戴指出，在较低的认识论层面上，“直觉”为我们提供基本数学理论的潜在规则，如哥德尔认为不同数学分支的公理强迫我们把它们看成是真的；在较高层面的认识论上，数学在自然科学中的应用能够提供一种外在的证实。这两层认识论相互支持、相互补充，把二者结合起来就能说明整个数学领域。在玛戴看来，自然主义实在论策略是替代不可或缺性论证的一种尝试，它为数学真理所提供的解释具有优先性、确定性和必然性，那是奎因和普特南的策略所不具备的。这种观点的优越性体现在它无需借助数学的可应用性来论证数学实在，因为它能确定地直接证实集合论的真理。
基于哥德尔的柏拉图主义和奎因的自然主义这两个理论来源，玛戴对二者进行了有机整合，提出将折衷的柏拉图主义与双重认识论结合起来的策略，以此作为自然主义实在论对数学真理困境的有力回应。通过阐明我们能够感知实在的数学对象，就可以调和柏拉图主义本体论与经验主义认识论之间的矛盾。事实上，对于实在论者来说，求解真理困境就是要解决进入数学对象的认知通道难题。因此，玛戴的核心任务就是阐明数学抽象性与可感知之间的密切联系。
二 自然主义实在论对数学真理困境的求解
玛戴的策略是说明柏拉图主义者如何通过对集合的直接感知获得关于集合的知识。出于实用主义的考量，她将集合论看成数学的基础。在她看来，集合论在数学研究中发挥着统一的基础性作用。集合是“简单的、可以接触到的实体，以它为基础可以形成极为有效和充分的数学理论。”[2]62
因而，自然主义实在论策略有两个基本论点：(1)集合是处于时空中的，就像鸡蛋的集合一样；(2)集合是可感知的，人们可以通过看、听、闻等一般的方式感知集合。在玛戴看来，集合是处于时空中的，人们能够像看见苹果一样看见集合。对感知的这种解释借鉴了在赫布(D.O.Hebb)关于感知的心理学研究成果。赫布的研究表明，普通人一般在少儿时期会形成特定的神经心理学信元装配，人们通过这些信元装配感知和判定物理对象。玛戴指出这是开启人类对集合认知大门的钥匙。在她看来，这些信元装配能够消除感知与接触之间的距离，使认识主体能够从环境中把物理对象区分出来。玛戴称这种信元装配为“对象-探测器”，同时她还表明我们的大脑除了具有“对象-探测器”功能之外，还具有“集合-探测器”功能。“集合-探测器”能够使我们感知到物理对象的集合。依此类推，我们就能感觉到物理对象、物理对象的集合、物理对象的集合的集合……。由此，可以从可感知的集合导出ZF来。如果可以感知到数学对象，那么就无需再担心我们不可能获得这种对象的知识。在这个意义上，只要断言集合可感知，贝纳塞拉夫对实在论指出的认识论难题就能得到解决。
值得注意的是，人们显然需要具有某种经验才能具有“对象-探测器”和“集合-探测器”的功能，但任何特定的感知经验都不是必需的。玛戴承认直觉在某些时候是先验的，但她同时强调数学的先验性是非常弱的，因为仍有许多数学理论不能单凭直觉而得到证实。更重要的是，自然主义者不可能想当然地接受直觉，而必须查明为什么我们依赖直觉能够得到证实，凭什么相信直觉能够正确地提供关于独立数学领域的知识？要回答这些问题，她必须把哥德尔的直觉具体化，必须回到整体信念网络中来找寻答案。为了满足这一需要，玛戴为数学提供了双重的认识论说明，指出“最初的数学真理是通过直觉得到的，是显然的；较为理论化的假设通过它们的结论而得到外在证实；借助这种能力把低一层次的理论系统化，并对其进行说明等等。”[2]106随之，基本集合论也将得到自然化的说明。
在第二重认识论中，人们可以通过认识对象的有用性而证实它的存在性。因此，玛戴集中探讨了第一重认识论如何发挥证实认识对象存在的作用。在她看来，概念能使世界简单化，自然主义的认识论正是以此为基础逐渐发展起来的。概念能够允许人们看见如集合一样的事物，那是借助其他方式所不能发现的。“真正发生的是，在纯粹的感知输入和我们自己关于物理对象的原始信念之间存在着始终处于发展中的神经调节过程。”[2]7就像人们能看见金子一样，人们能感知一个集合(如一张桌子、椅子和墨水瓶)。通过与特定集合的接触，人们获得“集合”的概念，这种概念继而能帮助人们看到它们的例示。玛戴断言，当人们看到事物的时候，就获得了对它们的感知信念，关于集合的概念参与到上述过程中，并发挥重要的作用。比如，要感知一个集合，就需要我们有能力把关于那个事物的知识组织起来。然而，仅凭感知而知道的事物是非常有限的，对于集合来说亦是如此。我们不可能感知一个非直谓定义的集合，不可能从感知中了解有关这类集合论的任何知识。在玛戴看来，感知对象的结果会导致人脑的变化，即神经系统的通道会得到进一步发展。人们看到一个三角形，就是人们要求以某种特定的方式将眼睛聚焦于对象并形成一般的习惯，它会在大脑中留下记号。大脑随着人们对基本行为的学习(如看见一个对象)到复杂行为(敲鼓、做体操、学习数学等)的学习过程而发生变化。她指出，“信元装配就是那些允许具有辨识能力的主体看到一个三角形、并获得关于它的感知信念的东西……粗略地讲，人类发展神经系统对象的探测器，它准许人类感知独立存在的物理对象。”[2]58-59
玛戴的纲领通常被贴上后奎因主义的标签，这是由于她试图把自然主义延伸到数学中来。玛戴指出，人们对集合同样具有神经系统的“对象-探测器”，即“集合-探测器”。集合与物理对象的相互接触会引起人类大脑结构上的变化，而且“集合-探测器”所产生的结果是人们能够获得对集合的感知信念。例如，通过看见一个苹果，人们会禁不住把看到苹果作为一个单元。在她看来，某种附加的认知能力使人们能看见一对苹果，即事物可以被归类于集合中，而不是单单看到两个分离的事物。一个集合可被唯一地分割为数字，这与物理中的聚集不同。比如，一个苹果可以是一个事物(一个苹果)，也可以是多个事物(一个茎、一个果体等等)，而表示一对的集合则只包含两个元素。对于玛戴说，当人们看到一个苹果时，同时也能看到一个集合(一个单元素集)，即有两个对象存在，苹果和集合。一个集合也可以被看成与其他对象具有相同的地位，也可以被看成是一个单独的实体。她断言，人们看见集合，这就像在心理学课程中常常看到的一种关于年老女人和年轻女人的图画一样。在观察这幅图画时，人们用一种方式会看到年轻女人，而人们用另一种方式会看到年老女人。与之类似，人们在观察苹果时，可能看到一个苹果，也可能看到一个单元素集。
这种看见集合的能力同样还允许人们把不同的事物聚集起来，比如一张桌子、一把椅子和一瓶墨水。玛戴指出，关于“集合”的概念不会创造集合，而只与对集合的认知有关。集合和对象都是相互独立的实体，尽管我们察觉不到二者之间的差别。数学实体的存在性就是具有特定结构性质的物理对象的存在性。因此，数学对象是存在的，我们通过感知可以获得对数学对象的认识，这可以有效化解柏拉图主义本体论与经验主义认识论之间的矛盾，从而使我们走出贝纳塞拉夫的数学真理困境。
三 自然主义实在论存在的问题
如果自然主义实在论的策略能够成功，它将是对数学真理困境的最直接回应。然而，由于自然主义的影响，这种策略动摇了实在论者关于独立于人脑的集合的基本立场，而当它转向形而上学的问题时，又会受到其自然主义方法论的局限。自然主义实在论的根本目的是要将传统柏拉图主义与经验主义的认识论协调在一起，然而这使得它不仅一方面会遭受传统柏拉图主义的质疑，而在另一方面同时会遭到自然主义的反对。总的来说，自然主义实在论的求解策略主要存在以下几个问题：1、把集合论看作是数学的基础；2、对感知同一事物的多种描述；3、数学抽象性与可感知之间的矛盾。
(一)集合论作为数学的基础
自然主义实在论的基本论证是通过对集合的感知来完成的，这是因为玛戴把集合论假定为数学的基础。然而，关于集合本身的概念在数学实践中仍未达成共识。集合论并不像人们想象的那样，它实际上并不比以它为基础的东西更明显，关于“集合”的定义本身仍未得到澄清。对于康托尔来说，集合就是通过把事物放在一起而形成的，因为上帝为他那样做了。然而，抛开神学不谈，我们将无法区分一个聚集还是仅仅是聚集而已。此外，将集合论作为数学的基础，这种做法与数学先于集合论出现的历史事实相冲突。如果数学是建立在集合论之上的，那么为什么算术和几何学出现在它之前呢？
事实上，我们并没有统一的集合论理论，不同的集合论会产生不同的定理，它们不是同构的。比如，贝纳塞拉夫在“数不能为何物”(What Numbers Could Not Be)中表明，如果数字是集合，人们将不知道它是哪一种集合。比如考虑将自然数向集合论的下列化归路径，自然数的序列
0，1，2，3……
被认为可以等同于以下两种集合序列：
，｛｝，｛｛｝｝，｛｛｛｝｝｝，……(策梅罗集合)
或，｛｝，｛，｛｝｝，｛，｛｝，｛，｛｝｝｝，……(冯诺曼集合)
我们没有关于任何先于自然数的概念(就像皮亚诺公理所表达的那样)能够回答2=｛｛｝｝还是=｛，｛｝｝。如果像基础主义者所宣称的那样，对于自然数的皮亚诺公理试图断言关于独立存在的对象的真值，那么似乎表明应该存在一种事实，它能够说明2是否等于策梅罗(E.Zermelo)的｛｛｝｝。贝纳塞拉夫对柏拉图主义所提出质疑是，需要存在一种决定性的回答，它能够解决所有关于数学对象的同一性问题，然而在我们的实践找不到对此问题的答案。对于命题“一个双元素集包含在三元素集中”对于策梅罗集合和冯诺曼(J.Von Neumann)集合都是真的。然而，陈述“一个单元素集包含在一个三元素集中”对于策梅罗集合来说是假的，而对于冯诺曼集合来说是真的。该陈述可被概括为如下定理的形式：
(
x)(y)((x＞y)→(y∈x))
任意的x比任意的y大，当且仅当y的集合是x的集合的成员。该定理适用于冯诺曼集合，但不适用于策梅罗集合。因此集合论中会存在一些互不相容的概念，这些概念出于不同的目的，都可以恰当地表明集合论的结构和特征。数学实践表明，多个集合论领域是共存的，但是这一事实会导致任何试图将数学化归为集合论的愿望都成为泡影，因为集合论之间本身就是不可通约的，“其结果是把集合论的一神教沦落成混乱的万神殿。”[3]161玛戴对此的回应是，尽管策梅罗集合和冯诺曼集合不相同，但它们可以彼此映射。她承认可能还存在其他可能的基础，但是它们必须是集合论的“替代品”。它们必须是等价的描述，相等的但不相同。如弗雷格所指的那样，两个事物是相等的和两个事物相同之间存在着差别。相等的东西可被看成是一一对应，而相同则是指它们在各个方面都一样。一个六元策梅罗集合与一个六元冯诺曼集合是相等的，因为它们有相同的秩，但它们并不相同，比如上述定理只适用于其中一个。
迄今为止，数学是否可以成功地划归为一种集合论，仍未有定论。实用主义者强调至少大部分数学知识是可以划归为一个基础的，因为它适用于数学的不同分支。但无论从科学实践的角度，还是从哲学分析的角度讲，这种以偏概全的做法都不能充分地阐释数学真理的本质以及人们对数学的认识过程。
(二)感知同一事物的多种描述
玛戴在阐明对数学集合的感知过程中，并未对所有对象都提供认知证据，而实际上只是对一件事物做出了两种描述。齐哈若(C.Chihara)把这一问题总结为：“显然地，它(这个集合)自身看起来的确像苹果一样。毕竟，除了看到苹果之外，我没有看到任何东西，由于它和苹果具有相同的形状和颜色。或许感觉上不同，我来摸一下。但我除了感觉到它是苹果之外，感觉不到任何其他的东西。很明显，这个奇怪的实体感觉上与苹果没有差别。闻起来或尝起来如何呢？同样，这个集合的气味和口味跟苹果的完全一样。因此，它看起来、摸起来、闻起来和尝起来都和苹果一样，而且它也处于相同的空间位置和相同的时刻——然而它是一个截然不同的实体！”[4]223-224
根据古德曼(N.Goodman)的生成原则，从完全相同的资料中永远不可能生成两个事物。人们应该注意到，不遵循古德曼的生成原则，会导致荒谬的结果。人们可能从一个苹果中产生出一个无穷的本体论。比如，根据玛戴的推理，集合是一个集合、一个魔术师、圣诞老人等共同的外延。每一个实体都可能具有它自身不可感知的性质，如圣诞老人与孩子有关，魔术师与魔术有关。关于集合独立于人脑而存在的断言，会产生一种无限夸大的本体论，因为人们能从中产生无穷多种集合。集合不可能只是物理的聚集，一个单元集合只具有一个成员，它的秩等于1，而一个物理对象的聚集则没有这种特性。比如，如果篮子里有两个鸡蛋，那么2就是应用于这个集合的唯一数字，而鸡蛋的聚集则包括2个鸡蛋，……许多分子、甚至更多的原子。
(三)数学抽象性与可感知之间的矛盾
运用玛戴的理论，我们事实上无法分辨鸡蛋的集合与包含鸡蛋的集合的集合之间的差别。因而，如果所有集合都是聚集，那么我们将不能离开集合论的第一层级。玛戴意识到了这种数学物理化的严重缺陷，因而也承认集合具有抽象性。但她所需要的抽象性概念不是在传统意义上的，因为传统的柏拉图主义者将关于抽象对象的信念作为柏拉图主义的核心，他们认为抽象对象是非时空的、不能被感知的。因此，玛戴需要她的集合在某种非传统的意义上保留抽象性，并试图在物理聚集与完全的非时空对象之间留出某种中间范围。她指出包含一个鸡蛋的集合与鸡蛋的聚集不同，而是与把鸡蛋作为个体的聚集相等同。虽然鸡蛋的集合与鸡蛋的聚集是由相同物质组成，并且分有相同的位置，但二者在结构上是不同的。任何物理的聚集都与无限多个集合相联系。比如鸡蛋的聚集不仅与两个鸡蛋的集合、而且还与包含这个集合的集合分有相同的位置。所有这些对象之间存在的区别(它们恰好都是由相同物质组成)在某种意义上是抽象的或者非物理的。正是这种集合与聚集之间在结构上的差别为玛戴提供了她所需要的非传统意义上的“抽象”概念。她主张集合存在于时空中，然而它们具有抽象性，二者以某种非相似的方式被结构化。那么通过在传统柏拉图主义的观点与传统的反柏拉图主义观点之间发现一种中间道路，玛戴能否避开贝纳塞拉夫的困境呢？更准确地说，玛戴的集合是那种既满足集合论的公理，同时又可以被人类见到的那种对象吗？回答是否定的，它们不可能同时被满足。
自然主义实在论采取的“折衷的柏拉图主义”立场，试图在传统柏拉图主义和经验主义实在论之间保持中立。经验主义实在论认为所有集合都是在时空中存在的；传统柏拉图主义则认为集合都是外在于时空中的。自然主义实在论认为某些集合是存在于时空中的，即非纯集合，如物理对象的集合、物理对象的集合的集合等，而其他集合是外在于时空的，即纯集合，如从空集通过像幂集运算一样的集合创造运算建立起来的反复的层级中的集合。然而，这是我们所不能接受的。因为首先，自然主义实在论没有为传统的柏拉图主义提供自然化的进步。贝纳塞拉夫对柏拉图主义的挑战的关键之处是我们不可能知道非时空的对象是什么样的，贝纳塞拉夫进而将质问自然主义实在论者如何知道纯集合与非纯集合是同类的，即如何知道二者遵循相同的规律，或者二者的层级是同构的。由于我们只具有对非纯集合的认识论路径，而纯集合是外在于时空的，因此不可能知道纯集合与非纯集合是同一类的。因此，自然主义实在论的推论与传统柏拉图主义者的推论一样是无法被证实的。如果玛戴的自然主义要想避免贝纳塞拉夫的认识论挑战，她将必须能够断言我们所感觉的对象就是集合论的对象，否则她将与传统的柏拉图主义处于相同的境地。她将需要一种说明：我们如何能够知道集合理论的对象是什么样的，假如我们与它们没有因果的关联；第二，经验主义实在论认为不存在纯集合，所有的集合都是玛戴的非纯集合，即所有集合既是可感知的又是抽象的，这里的“抽象”是在非传统意义上的，这种观点将无法说明无穷公理的真理性。当然，玛戴可能会通过把时空中的点作为物理对象(因而存在不可数多个物理对象)，或者通过主张即使对于有限多个元素也可能存在无限多个物理对象，因为在反复的层级中会存在无限多个集合来说明无穷公理。然而，她无法为空集公理作出合理的解释，由于没有物理对象可能是空集，她必须拒绝像ZF那样的标准集合，而代之以一种没有空集的集合理论。即使她的“基本的非空集合”可能发生作用，那么所付出的代价将是必须宣称ZF是错误的。然而为了给某一特定的科学分支提供一种合理的哲学解释，而把那种科学挑选出来并抛弃它们以达到拯救这种哲学解释的目的，这显然有待商榷。
对于玛戴来说，她必须要么放弃抽象性，那样会使她面对贝纳塞拉夫困境的语义难题；要么放弃可感知性，那样会使她面临贝纳塞拉夫困境的认识论挑战。事实上，我们并不能感知到任何集合的存在，因为我们无法感觉到一个聚集与一个集合之间在结构上的区别。比如在观察鸡蛋的篮子的时候，能否看到聚集和集合呢？在篮子中看不到任何无限多的集合，但是玛戴却断言我们能够看到包含两个鸡蛋的集合，这如何可能呢？由于集合和聚集由同样的物质构成，它们会对视网膜导致相同刺激，而如果视网膜只受到了一种刺激，那么关于这个集合的感知数据将与聚集的感知数据应该相同，因此我们不能感觉到聚集和集合的区别。能够感知聚集却感知不到聚集与集合之间存在的差别，由此可知，我们不能感知集合的存在。
于是，我们又重新遇到了贝纳塞拉夫的困境：我们不能认识像集合论那样的对象，因为我们没有得到它们的途径。我们对何为聚集具有感知知识，但是任何从聚集到集合的认识论跃迁都是没有保证的，因为我们没有关于这两类对象区别的数据。
自然主义实在论策略的核心在于其双重认识论最终导致了在本体论上的两种图景。一方面将抽象对象定义为“外在”于时空的东西；另一方面，强调关于任意对象的真理知识都必须包括与那些对象具有某种形式的先前接触。玛戴试图用“折衷的柏拉图主义”与一种双重认识论结合起来满足上述要求。然而，这种策略使得她一方面无法维护它所坚持的数学抽象本性，另一方面又无法合理地说明人们认识数学对象的感知能力。自然主义实在论采纳了实体实在论作为其在数学领域和科学领域共同的本体论立场，主张经验主义的直接感知是人们认识数学对象和物理对象的基本方式。然而，不仅是在数学领域中，在广义的科学领域(即包括科学，也包括数学)仅仅通过这种类似于玛戴所提出的感知方式，也不能将经验主义的认识论与实体实在论协调在一起，这正是导致其腹背受敌的深层原因之所在。随着科学日新月异的不断发展和科学哲学研究的不断推进，现代科学的研究领域已深入到宇观、微观尺度，超出了人类直接的感知范围，且理论体系越来越形式化、抽象化。比如在量子力学中，用来描述对象的理论实体——抽象的波函数在经验上没有与之对应可感知的物质实体。这就是说，因果认识论对自然科学的解释优位已经逐步丧失，将这种因果限制的标准强加于对数学的认识论说明显然也是不合理的。以这种因果认识论为基础的经验主义真理理论无论对自然科学、还是数学来说都是不恰当的，把它作为齐一的真理解释标准显然有失公允。因此，用实体实在论与经验主义的知识因果论来解释数学真理必然会导致自然主义实在论的失败。事实上，玛戴的自然主义实在论所要面临的问题实际上不仅是针对数学哲学提出的，而是在所有领域的哲学都需要认真面对的。从这个意义上讲，要想真正求解数学真理困境，我们的任务绝不仅是为数学提供一种单独的本体论和认识论，而应该将数学和科学置于相同的本体论、认识论的阐释基底上去讨论，那样才能为数学提供一种合理的语义学解释和认识论说明。探寻这样一种统一的阐释基底是所有哲学工作者的任务。
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